2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 二次函數(shù)-將軍飲馬問題專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)--將軍飲馬問題專項(xiàng)訓(xùn)練（學(xué)生版）目標(biāo)層級圖

課中講解一.兩條線段之和最小內(nèi)容講解例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線為y＝．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)M，連接PC，若△PCM為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)P滿足（2）的條件，且點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上時(shí)，如圖2，將拋物線沿射線BC方向平移，平移后B，P兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，P′，取AB的中點(diǎn)E，連接EB′，EP′，試探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．

過關(guān)檢測1.已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖1，當(dāng)FC+FO的值最小時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；2.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（5，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，）．（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)E為對稱軸上一點(diǎn)，連接AE、CE；①當(dāng)AE+CE取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

二.絕對值之差最大值內(nèi)容講解例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+，分別交x軸于A與B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AD．（1）如圖1，P是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)AP⊥AD時(shí)，求P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，在直線AP上方、對稱軸右側(cè)的拋物線上找一點(diǎn)Q，過Q作QH⊥x軸，交直線AP于H，過Q作QE∥PH交對稱軸于E，當(dāng)?QHPE周長最大時(shí)，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使|QM﹣AM|最大，并求這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

例2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)E（2，n）在拋物線上．（1）求直線AE的解析式；（2）點(diǎn)P為直線AE上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PE．當(dāng)△PAE的面積S△PAE最大時(shí)，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)F，使|FE﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；

過關(guān)檢測1.如圖，已知直線l：y＝﹣1和拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0），拋物線L的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，直線y＝kx+1與y軸交于點(diǎn)F，與拋物線L交于點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求拋物線L的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)．①以點(diǎn)P為圓心，PF為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)Q（2，3），當(dāng)|PQ﹣PF|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2.如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M．（1）求該拋物線的解析式．（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

三.線段之和最小值內(nèi)容講解例1.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．D是拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸DE上求作一點(diǎn)M，使△AMC的周長最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和周長的最小值．

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)為D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線AD的解析式；（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點(diǎn)M為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥BD交線段AD于N點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是y軸、線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求線段之和MP+PQ+QO的最小值；

過關(guān)檢測1.綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

2.如圖1，已知二次函數(shù)y＝mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D和點(diǎn)B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l：y＝﹣x﹣對稱．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)解析式；（2）如圖2，作直線AD，過點(diǎn)B作AD的平行線交直線l于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是直線AD上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AE上的一動(dòng)點(diǎn)．連接DQ、QP、PE，試求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，請說明理由：

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線AC的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；2.如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

3.如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OC＝3．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D（2，2）是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長的最小值．2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)--將軍飲馬問題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）目標(biāo)層級圖備注：本節(jié)內(nèi)容主要是二次函數(shù)之將軍飲馬類問題，包括三個(gè)部分，兩條線段之和最小，絕對值之差最大值以及三條線段之和最小值，難度不大。因?yàn)閷④婏嬹R基礎(chǔ)模型和變式在之前的講義中都詳細(xì)講解過，所以在本節(jié)內(nèi)容中就不再贅述基礎(chǔ)模型，老師可根據(jù)學(xué)生具體掌握情況進(jìn)行補(bǔ)充。其中絕對值之差最小值題型考的不多，但是老師可以自行補(bǔ)充，絕對值之差最小值即動(dòng)點(diǎn)位于定點(diǎn)線段的中垂線上。

課中講解一.兩條線段之和最小內(nèi)容講解例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線為y＝．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)M，連接PC，若△PCM為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)P滿足（2）的條件，且點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上時(shí)，如圖2，將拋物線沿射線BC方向平移，平移后B，P兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，P′，取AB的中點(diǎn)E，連接EB′，EP′，試探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）y＝，過點(diǎn)B，C，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，），則c＝，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）分∠PCM＝90°、∠CPM＝90°兩種情況，分別求解即可；（3）作點(diǎn)E關(guān)于P′B′的對稱點(diǎn)E′，將點(diǎn)E′沿P′B′方向平移2個(gè)單位得到點(diǎn)E″，連接E、E″交P′B′所在的直線于點(diǎn)B′，點(diǎn)B′沿P′B′方向平移2個(gè)單位得到點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′、B′為所求，即可求解．【解答】解：（1）y＝，過點(diǎn)B，C，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，），則c＝，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+；（2）①當(dāng)∠PCM＝90°時(shí)，由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)知，△ABC為直角三角形，故AC⊥BC，當(dāng)△PCM為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴點(diǎn)P（﹣1，0）；②當(dāng)∠CPM＝90°時(shí)，則點(diǎn)C、P關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，此時(shí)點(diǎn)P（2，），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：點(diǎn)P（2，），設(shè)圖象沿BC方向向左平移3m個(gè)單位，則向上平移m個(gè)單位，則平移后點(diǎn)B′、P′的坐標(biāo)分別為：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），點(diǎn)E（1，0），分別過點(diǎn)A、E作直線BC的平行線n、m，過點(diǎn)B′作直線m的對稱點(diǎn)B″，則EB′＝EB″，當(dāng)B″、E、P′三點(diǎn)共線時(shí)，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最?。稽c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則直線m與直線n、直線m與直線BC等距離，則點(diǎn)B″在直線n上，直線BC的傾斜角為30°，則直線B′B″的傾斜角為60°，則設(shè)直線B′B″的表達(dá)式為：y＝x+b，將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入上式并解得：直線B′B″表達(dá)式為：y＝x+（4m﹣3）…①，設(shè)過點(diǎn)A的直線n的表達(dá)式為：y＝﹣x+b′，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：直線n的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）…②，聯(lián)立①②并解得：x＝2﹣3m，故點(diǎn)B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．過關(guān)檢測1.已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖1，當(dāng)FC+FO的值最小時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；【分析】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣1，4），點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），作點(diǎn)O關(guān)于直線AD的對稱軸R，連接CR交AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所求點(diǎn)，即可求解；【解答】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3，函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣1，故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣1，4）；（2）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣1，4），點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），作點(diǎn)O關(guān)于直線AD的對稱軸R，連接CR交AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所求點(diǎn)，F(xiàn)C+FO＝FC+RF＝CR為最小，連接AR，設(shè)直線OR交AD于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：y＝2x+6①，則tan∠DAO＝2＝tanα，設(shè)∠HOA＝∠β，則tanβ＝，則cosβ＝，sinβ＝，OH＝AO?cosβ＝，OR＝2OH＝，yR＝ORsinβ＝，同理xR＝﹣，故點(diǎn)R（﹣，），由點(diǎn)R、C的坐標(biāo)得，直線RC的表達(dá)式為：y＝x+3…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，y＝，則點(diǎn)F（﹣，）；2.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（5，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，）．（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)E為對稱軸上一點(diǎn)，連接AE、CE；①當(dāng)AE+CE取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，）；【分析】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；（2）①點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接CB交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，即可求解；【解答】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），故﹣5a＝，解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+；（2）①函數(shù)的對稱軸為：x＝2，點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接CB交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，故答案為：（2，）；二.絕對值之差最大值內(nèi)容講解例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+，分別交x軸于A與B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AD．（1）如圖1，P是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)AP⊥AD時(shí)，求P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，在直線AP上方、對稱軸右側(cè)的拋物線上找一點(diǎn)Q，過Q作QH⊥x軸，交直線AP于H，過Q作QE∥PH交對稱軸于E，當(dāng)?QHPE周長最大時(shí)，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使|QM﹣AM|最大，并求這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，設(shè)直線AP的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2+x+），則點(diǎn)H（x，﹣x﹣），PH＝，可求出點(diǎn)Q（10，﹣9），取點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′（6，0），連接QA′，此時(shí)，|QM﹣AM|最大，即可求解；【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+，令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣2或6，故點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（6，0）、（0，）、（2，3），直線AD表達(dá)式中的k值為：，AP⊥AD，則直線AP表達(dá)式中的k值為﹣，設(shè)直線AP的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝﹣，則直線AP的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣，故點(diǎn)P（2，﹣）；（2）設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2+x+），則點(diǎn)H（x，﹣x﹣），PH＝＝＝，?QHPE周長＝2（PH+QH）＝2（﹣x2+x++x++）＝﹣x2+x+，當(dāng)x＝﹣＝10時(shí)，周長取得最大值，此時(shí)，點(diǎn)H（10，﹣16）、點(diǎn)Q（10，﹣9），取點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′（6，0），連接QA′，交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)，|QM﹣AM|最大，將點(diǎn)A′、Q的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線A′Q的表達(dá)式為：y＝﹣x+，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝9，故點(diǎn)M（2，9）；最大值為QA′＝＝；例2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)E（2，n）在拋物線上．（1）求直線AE的解析式；（2）點(diǎn)P為直線AE上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PE．當(dāng)△PAE的面積S△PAE最大時(shí)，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)F，使|FE﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線AE的解析式即可；（2）如圖1，作鉛直高度PD，即y軸的平行線PD，設(shè)P（t，），表示PD的長，代入S△PAE＝×（xE﹣xA）×PD可得二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)即最值，得當(dāng)t＝0時(shí)，S△PAE最大，此時(shí)點(diǎn)P（0，），作點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)P'，過點(diǎn)P'、E作直線P'E，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，當(dāng)三點(diǎn)F、E、P'共線時(shí)，|FE﹣FP'|的值最大．【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，即，∴x1＝﹣2，x2＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0），當(dāng)x＝2時(shí)，∴E（2，）…………（2分）設(shè)直線AE的解析式為：y＝kx+b，則有，得∴直線AE的解析式為：……………（3分）（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線AE于點(diǎn)D，設(shè)P（t，）（﹣2＜t＜2），∴D（t，），∴PD＝，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為xE，S△PAE＝×（xE﹣xA）×PD＝（﹣）＝，………（5分）圖2∴當(dāng)t＝0時(shí)，S△PAE最大，此時(shí)點(diǎn)P（0，），即拋物線與y軸的交點(diǎn)．∵拋物線的對稱軸為，則如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)P'，過點(diǎn)P'、E作直線P'E，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，則|FE﹣FP|＝|FE﹣FP'|＝P'E，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，當(dāng)三點(diǎn)F、E、P'共線時(shí)，|FE﹣FP'|的值最大．……………（6分）由點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性知P'為（1，），∴，∴|FE﹣FP|的最大值為．…（8分）過關(guān)檢測1.如圖，已知直線l：y＝﹣1和拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0），拋物線L的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，直線y＝kx+1與y軸交于點(diǎn)F，與拋物線L交于點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求拋物線L的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)．①以點(diǎn)P為圓心，PF為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)Q（2，3），當(dāng)|PQ﹣PF|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）①點(diǎn)F（0，1），設(shè)：點(diǎn)P（m，m2），則PF＝＝m2+1，而點(diǎn)P到直線l的距離為：m2+1，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ﹣PF|最大，即可求解；【解答】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2…①；（2）①點(diǎn)F（0，1），設(shè)：點(diǎn)P（m，m2），則PF＝＝m2+1，而點(diǎn)P到直線l的距離為：m2+1，則⊙P與直線l的位置關(guān)系為相切；②當(dāng)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ﹣PF|最大，將點(diǎn)FQ的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：直線FQ的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x+1…②，聯(lián)立①②并解得：x＝2±2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+2，3+2）或（2﹣2，3﹣2）；2.如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M．（1）求該拋物線的解析式．（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得N在直線OM上，根據(jù)解方程組，可得答案；【解答】解：（1）將A、B兩點(diǎn)代入解析式，得，解得．故拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3（2）存在點(diǎn)N使得|MN﹣ON|的值最大．過程如下：如圖1：作直線OM交拋物線于兩點(diǎn)，則兩交點(diǎn)即為N點(diǎn)，y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝1．設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，即M（1，2）．設(shè)直線OM的解析式為y＝kx，將M（1，2）代入函數(shù)解析式，得k＝2．直線OM的解析式為y＝2x．聯(lián)立拋物線與直線OM的解析式，可得解得：，∴存在點(diǎn)N，其坐標(biāo)為N1（，2），N2（﹣，﹣2）三.線段之和最小值內(nèi)容講解例1.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．D是拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸DE上求作一點(diǎn)M，使△AMC的周長最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和周長的最小值．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）連接BC交DE于點(diǎn)M，此時(shí)MA+MC最小，進(jìn)而求解；．【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下圖，連接BC交DE于點(diǎn)M，此時(shí)MA+MC最小，又因?yàn)锳C是定值，所以此時(shí)△AMC的周長最?。深}意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此時(shí)△AMC的周長＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是拋物線的對稱軸，與x軸交點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，對稱軸為x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵點(diǎn)M在第四象限，在拋物線的對稱軸上，∴M（2，﹣1）；例2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)為D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線AD的解析式；（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點(diǎn)M為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥BD交線段AD于N點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是y軸、線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求線段之和MP+PQ+QO的最小值；【分析】（1）根據(jù)題意可得A，B，C坐標(biāo)，根據(jù)對稱可求D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求AD解析式（2）作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT，設(shè)M（m，2），則T（m，m+），根據(jù)相似三角形可得MK＝MT，用m表示△CMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題，可求M點(diǎn)坐標(biāo)，作M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)M1（﹣，2），作O關(guān)于BD的對稱點(diǎn)O1（，），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可求MP+PQ+QO的最小值；【解答】解：（1）令x＝0，則y＝2∴C（0，2）∵對稱軸為x＝＝，且C，D關(guān)于對稱軸對稱∴D（，2）令y＝0，則0＝﹣x2+x+2∴x1＝﹣，x2＝2∴A（﹣，0），B（2，0）設(shè)直線AD解析式y(tǒng)＝kx+b解得：k＝1，b＝∴直線AD解析式y(tǒng)＝x+（2）如圖1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT設(shè)M（m，2），則T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2）∴AH＝DH∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA∵M(jìn)T∥DH，KN∥CD∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA∴KT＝KN，MT＝MD∵M(jìn)N∥BD，∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB∴△ADB∽△MND∴∴ND＝MD∵DT＝MD∴NT＝MD∵KN∥CD∴＝∴KT＝MT∴KM＝MT＝（﹣m）∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m∴當(dāng)m＝時(shí)，S△CMN最大值．∴M（，2）如圖2作M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)M1（﹣，2），作O關(guān)于BD的對稱點(diǎn)O1（，）∵M(jìn)P+PQ+OQ＝M1P+PQ+O1Q∴M1，P，Q，O1共線時(shí)，MP+PQ+OQ值最小∴最小值為M1Q1＝過關(guān)檢測1.綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】方法一：（1）根據(jù)拋物線的解析式可得出A、B、C、D的坐標(biāo)，設(shè)AC解析式為y＝k1x+b1（k1≠0），利用待定系數(shù)法求解即可．（2）先根據(jù)題意結(jié)合圖形，畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置，然后利用平行線的性質(zhì)，及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求出三個(gè)Q的坐標(biāo)．（3）因?yàn)锽D的長固定，要使△BDM的周長最小，只需滿足BM+DM的值最小即可，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，連接B′D，則與AC交點(diǎn)即是點(diǎn)M的位置，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出B′的坐標(biāo)，得出B′D的解析式，繼而聯(lián)立AC與B′D的解析式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．方法二：（1）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，并求出直線AC方程．（2）先用參數(shù)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)平移法表示出Q點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)，把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．（3）找出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B’，根據(jù)斜率垂直公式，利用直線AC的斜率求出直線BB’的斜率，從而求出BB’的直線方程，與AC直線方程聯(lián)立，并求出F點(diǎn)，再利用黃金法則五，求出B’坐標(biāo)，最后求出B’D與AC的交點(diǎn)M．【解答】方法一：解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)直線AC的解析式為y＝k1x+b1（k1≠0），則，解得，∴直線AC的解析式為y＝3x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為（1+，﹣3）；③當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．（3）過點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F＝BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1＝∠2．∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB，∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA＝1，OB＝3，OC＝3，∴AC＝，AB＝4．∴，∴BF＝，∴BB′＝2BF＝，由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，∴，∴，即．∴B′E＝，BE＝，∴OE＝BE﹣OB＝﹣3＝．∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．設(shè)直線B′D的解析式為y＝k2x+b2（k2≠0）．∴，解得，∴直線B′D的解析式為：y＝x+，聯(lián)立B′D與AC的直線解析式可得：，解得，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．方法二：（1）略．（2）略．（3）設(shè)B點(diǎn)關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為B′，顯然BB′被直線AC垂直平分，交點(diǎn)為F．由BB′⊥AC，∴KBB′×KAC＝﹣1，∵KAC＝3，∴KBB′＝﹣，設(shè)BB′直線方程為y＝﹣x+b，∵B（3，0），∴?F（﹣，），∵點(diǎn)F為BB′的中點(diǎn)，∴FX＝，F(xiàn)Y＝，∴B′（﹣，），∵D（1，4），∴?M（，），∴△BDM的周長最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．2.如圖1，已知二次函數(shù)y＝mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D和點(diǎn)B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l：y＝﹣x﹣對稱．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)解析式；（2）如圖2，作直線AD，過點(diǎn)B作AD的平行線交直線l于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是直線AD上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AE上的一動(dòng)點(diǎn)．連接DQ、QP、PE，試求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，請說明理由：【分析】（1）令y＝0，可求A，B點(diǎn)坐標(biāo)，由直線：y＝﹣x﹣與x軸所成銳角為30°，可求D點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求解析式．（2）由A，D兩點(diǎn)可求AD解析式，BE∥AD，可求BE解析式，即可求E點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)P關(guān)于AE的對稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E'，由對稱性可得PQ＝P'Q，PE＝EP'＝P'E'，則DQ+PQ+PE＝DQ+P'Q+P'E'，所以當(dāng)D，Q，E'三點(diǎn)共線時(shí)，DQ+PQ+PE值最小，即求DE'的長度．【解答】解：（1）∵令y＝0，∴0＝mx2+3mx﹣m∴x1＝，x2＝﹣∴A（﹣，0），B（，0）∴頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣∵直線y＝﹣x﹣與x軸所成銳角為30°，且D，B關(guān)于y＝﹣x﹣對稱．∴∠DAB＝60°，且D點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣∴D（﹣，﹣3）∴﹣3＝m﹣m﹣m∴m＝∴拋物線解析式y(tǒng)＝x2+x﹣（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3）∴直線AD解析式y(tǒng)＝﹣x﹣∵直線BE∥AD∴直線BE解析式y(tǒng)＝﹣x+∴﹣x﹣＝﹣x+∴x＝∴E（，﹣3）如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于AE的對稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E'根據(jù)對稱性可得PQ＝P'Q，PE＝EP'＝P'E'∴DQ+PQ+PE＝DQ+P'Q+P'E'∴當(dāng)D，Q，E'三點(diǎn)共線時(shí)，DQ+PQ+PE值最小即DQ+PQ+PE最小值為DE'∵D（﹣，﹣3），E'（，3）∴DE'＝12∴DQ+PQ+PE最小值為12

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線AC的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；【分析】（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得到拋物線解析式，再整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；（3）求出點(diǎn)D關(guān)于直線x＝3的對稱點(diǎn)D′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接D′N與直線x＝3的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′N的解析式，再令x＝3求解即可得到m的值；【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，解得，∴直線AC的解析式為y＝x+1；（3）∵點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)（3，m）在直線x＝3上，∴點(diǎn)D關(guān)于直線x＝3的對稱點(diǎn)D′坐標(biāo)為（5，4），令x＝0，則y＝3，所以，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)直線D′N的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，解得，所以，y＝x+3，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝×3+3＝，所以，m＝；2.如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），