高中數(shù)學(xué)-【課堂實(shí)錄】教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

基本不等式（一）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自人教版必修五第三章第四節(jié)，是在前面學(xué)習(xí)了不等關(guān)系、一元

二次不等式以及二元一次不等式（組）的基礎(chǔ)上繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生探討的，通過古

代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖引出，讓學(xué)生深感中國(guó)數(shù)學(xué)歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，而它在今天的

高中數(shù)學(xué)中又有著很大的用處，是后面解決函數(shù)最值除了導(dǎo)數(shù)以外一個(gè)很有用

的工具。數(shù)學(xué)基本不等式的推導(dǎo)蘊(yùn)含著一般到特殊、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，而

證明中用到的分析法也為后面在選修2-2中學(xué)習(xí)推理證明打下了基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生熟知（a-6）220,也在初中學(xué)習(xí)了直徑所對(duì)圓周角為直角，半徑，弦長(zhǎng)

與直角三角形的射影定理，所以在重要不等式的證明，以及基本不等式的幾何

解釋方面理解起來很容易。但在用分析法證明時(shí)是陌生的，尤其是分析的格式

是學(xué)生頭一次接觸。當(dāng)認(rèn)知了基本不等式之后，應(yīng)用基本不等式解題主要在“和”

與“積”之間轉(zhuǎn)換與周旋，變形中經(jīng)常用到不等式的性質(zhì)，而如何利用基本不

等式的變形達(dá)到目的應(yīng)該是學(xué)生應(yīng)用過程的一個(gè)難點(diǎn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、學(xué)會(huì)由重要不等式導(dǎo)出基本不等式，了解如何用分析法證明基本不等式，

理解基本不等式的幾何意義

2、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問題，從中領(lǐng)略基本不等式的變形

在解決最值問題中的魅力。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等

式的證明過程；用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問題.

教學(xué)難點(diǎn)：如何將基本不等式變形求最值；基本不等式中等號(hào)成立的條件

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一個(gè)環(huán)節(jié)：引入主角

1、由趙爽弦圖引出重要不等式

PPT顯示趙爽弦圖，簡(jiǎn)單介紹下最初趙爽的弦圖是用來證明數(shù)學(xué)中一個(gè)重要

的定理一一勾股定理。

問：弦圖中有哪些關(guān)于面積的關(guān)系？（找關(guān)系時(shí)提醒學(xué)生考慮關(guān)于“面積”的

關(guān)系）

問題1、比較正方形ABCD的面積S和里面的四個(gè)小三角形面積之和S'的大小，看

可以得到怎樣的不等關(guān)系？

目的：由形到數(shù)，從面積關(guān)系中得到重要不等式的代數(shù)形式：a2+b2>2ab

>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=加寸取等）

問：a、方的范圍可不可以擴(kuò)大到R?怎樣證明？

引出重要不等式：cr+b2＞2ab（?,此旦當(dāng)且僅當(dāng)。=胡寸取等）

2、由一般到特殊，引出基本不等式

問題2、在重要不等式中，用右代替3代替可以得到什么數(shù)學(xué)結(jié)論？

一弓他基本不等式：倔,等（.＞。,人。，當(dāng)且僅當(dāng)a=麗取等）

代數(shù)解釋：幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)

問：|4。|=凡|3。|=》如何用。、方表示|。。|與|CD|?

問：D點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，在什么位置時(shí)等號(hào)成立？

幾何解釋：半徑大于等于半弦長(zhǎng)

目的：以數(shù)構(gòu)形，讓學(xué)生在實(shí)際圖形中感受基本不等式的幾何解釋。

3、探究基本不等式的證明

證明：用“分析法”證明:

要證*2疝(1)

2

只要證a+b>2\[ai>(2)

要證（2）,只要證a+b-2yfab>0(3)

要證（3）,只要證(Va-V^)2>0(4)

顯然，（4）是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立.

（學(xué)生的思路可能比較多，可以作差，也可以在第二步中把兩邊平方等）

4、數(shù)學(xué)建構(gòu)：回憶重要不等式與基本不等式，對(duì)兩個(gè)不等式進(jìn)行區(qū)別

從兩個(gè)不等式的適用范圍、文字描述、取等條件三個(gè)方面讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)不等式進(jìn)行比

較區(qū)別，在思維上形成知識(shí)框架，方便后面的應(yīng)用。

第二個(gè)環(huán)節(jié)：基本不等式的應(yīng)用

5、例題解析

例1、（1）已知。＞0,/?＞0,。6=36,求a+6的最小值。

（2）已知?！?,人＞0,。+8=18,求應(yīng)》的最大值。

這兩道題的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生直接利用基本不等式的兩個(gè)簡(jiǎn)單變形

Q+人2屬用I次74（色電尸進(jìn)行解題，要學(xué)會(huì)公式的正用、逆用、變形用。

2

例2四個(gè)問題的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生掌握使用基本不等式求最值的三個(gè)條件：一正二定三相

等

(1)已知％<0,求函物(x)=x+，的最大值。

x

方法指導(dǎo)：負(fù)值轉(zhuǎn)化為正值

(2)若%>3,函數(shù)丁=尤+，；，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最力值，并求其最小值。

x—3

方法指導(dǎo)：配湊出積為定值

(3)若0<x<g,求函數(shù)y=x(l-2x)的最大值。

方法指導(dǎo)：配湊出和為定值

練習(xí)：設(shè)0<x<],求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值。

本練習(xí)題的設(shè)計(jì)目的是對(duì)(3)中所涉及方法的進(jìn)一步鞏固與體會(huì)。

(4)函數(shù)/。)=療11+能否用基本不等式求最小值？

G+2

方法指導(dǎo)：不要忽略檢驗(yàn)等號(hào)是否能夠取得，若不能取得，可利用對(duì)勾函數(shù)的單

調(diào)性解題。

設(shè)計(jì)意圖：通過上述幾道題的應(yīng)用與講解，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)基本不等式的內(nèi)

涵及外延的理解，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散的思維能力。

第三個(gè)環(huán)節(jié)：課堂總結(jié)，知識(shí)點(diǎn)播，思維升華

1、重要不等式與基本不等式的內(nèi)容

重要不等式：a2+b2>2ab(a.eR,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等)

基本不等式：beR,當(dāng)且僅當(dāng)/=Ml寸取等)

2

2、基本不等式的使用條件：一正二定三相等

3、基本不等式的應(yīng)用：求最值

第四個(gè)環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)效果測(cè)評(píng)及布置作業(yè)

基本不等式(一)學(xué)情分析

學(xué)生在前面幾節(jié)中剛學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)、一元二次不等式以及簡(jiǎn)單的線性

規(guī)劃問題，對(duì)不等關(guān)系已有了一定的了解，不等式的思維已經(jīng)漸漸進(jìn)入學(xué)生腦海。

而本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生也都有一定的知識(shí)基礎(chǔ)，像學(xué)生熟知(。-6)220,也在初

中學(xué)習(xí)了直徑所對(duì)圓周角為直角，半徑，弦長(zhǎng)與直角三角形的射影定理，所以在

重要不等式的證明，以及基本不等式的幾何解釋方面理解起來很容易。但在用分

析法證明時(shí)是陌生的，尤其是分析的格式是學(xué)生頭一次接觸。當(dāng)認(rèn)知了基本不等

式之后，應(yīng)用基本不等式解題主要在“和”與“積”之間轉(zhuǎn)換與周旋，變形中經(jīng)

常用到不等式的性質(zhì)，而如何利用基本不等式的變形達(dá)到目的應(yīng)該是學(xué)生應(yīng)用過

程的一個(gè)難點(diǎn)。包括后面在應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意應(yīng)用的三個(gè)條件反映了學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)性，關(guān)于這點(diǎn)的把握在教學(xué)中也是通過例2的幾個(gè)例子來讓

學(xué)生認(rèn)知、并加深印象，使學(xué)生掌握應(yīng)用基本不等式要注意的事項(xiàng)，尤其是三相

等，是后期學(xué)生在運(yùn)用基本不等式時(shí)最容易漏掉的解題環(huán)節(jié)，所以，學(xué)數(shù)學(xué)必須

要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木駪B(tài)度。

基本不等式（一）效果分析

本節(jié)是新授課，上課前印發(fā)了導(dǎo)學(xué)提綱給學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，所以整堂課學(xué)生能跟上老師的

節(jié)奏，并在教學(xué)過程中不斷修改自己提綱中的錯(cuò)誤，說明學(xué)生的預(yù)習(xí)在聽了老師的講解之后

糾正了一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，學(xué)到了新知。本節(jié)課的設(shè)計(jì)不管是例題還是后面的測(cè)評(píng)，難度都比

較容易，適合這個(gè)班級(jí)的學(xué)生，容量也不是特別大。關(guān)于基本不等式的引出、證明以及幾何

解釋，學(xué)生理解的都不錯(cuò)，設(shè)計(jì)的問題也都在教學(xué)過程中發(fā)揮了該發(fā)揮的作用，讓學(xué)生感受

到知識(shí)的潛移默化。知識(shí)建構(gòu)完成后,通過幾個(gè)例題讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用基本不等式的應(yīng)用條件,

并做適當(dāng)?shù)姆椒偨Y(jié)和停頓，這些都會(huì)使學(xué)生的學(xué)校效果得到消化。

后面5道檢測(cè)題，學(xué)生前三題做的不錯(cuò)，第1題要琢磨其他選項(xiàng)到底為什么不行，不是不

滿足一正就是等號(hào)取不到，第2題用到對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，第3題跟前面例題2（2）屬于一

個(gè)類型。難點(diǎn)的設(shè)計(jì)是在第4題跟第5題上，第4題首先第一步要把函數(shù)解析式變形，而如

何變，以及怎樣變形才漂亮考驗(yàn)學(xué)生的能力，并不是每個(gè)學(xué)生都能做出來，本題是選了一名

學(xué)生在黑板上演示自己的做法，確實(shí)能變出來，但變形并不漂亮。第5題是一道實(shí)際應(yīng)用問

題，學(xué)生是不擅長(zhǎng)處理應(yīng)用題的，如何設(shè)？單位是否統(tǒng)一？怎樣列式？如何作答？所以本題

是教師在黑板上給學(xué)生板書做題步驟。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了基本不等式以及使用條件，也理解了基本不等式可以用來

處理最值問題。

基本不等式（一）教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自人教版必修五第三章第四節(jié)，是在前面學(xué)習(xí)了不等

關(guān)系、一元二次不等式以及二元一次不等式（組）的基礎(chǔ)上繼續(xù)引領(lǐng)

學(xué)生探討的，通過古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖引出，讓學(xué)生深感中國(guó)數(shù)學(xué)

歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，而它在今天的高中數(shù)學(xué)中又有著很大的用處，除了承

接前面不等式的性質(zhì)、解不等式之外，還為后面不等式的證明（后面

在選修2-2中講學(xué)習(xí)推理證明）以及解決函數(shù)最值、值域問題奠定了

基礎(chǔ)，是除了導(dǎo)數(shù)以外處理函數(shù)最值一個(gè)很有用的工具?；静坏仁?/p>

是高考必考內(nèi)容，其重要性不言而喻。

【教學(xué)重點(diǎn)】用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索

基本不等式的證明過程；用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問題.

【教學(xué)難點(diǎn)】如何將基本不等式變形求最值；基本不等式中等號(hào)成立

的條件

基本不等式（一）評(píng)測(cè)練習(xí)

一、選擇題

1、下列不等式正確的是（）

2jj

x2+1>-2xB>y/x+—r=>4(x>0)C>x+—>2D>sinx+-......>2(xk/r)

Jxxsinx

2、設(shè)x>0,則y=3-3x-4的最大值為（）

X

A、3B、3-3&C>3-26D、-1

3、設(shè)若石是3°與3"的等比中項(xiàng)，則,的最小值為（）

ab

A.8B.4C.1D.-

4

4、設(shè)x,yeR,且x+y=5,則3'+3,的最小值是（）

A.10B.6GC.45/6D.186

5、已知M是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且4949行，

若△MBC,AMCA和△MAB

—,x,y

的面積分別2"”,則的最小值是（）

A.9B.18C.16D.20

空三個(gè)數(shù)的大小順序是（）

6、a、b是正數(shù)，則竺而,

2a+b

a+bt—r2ab「i—ra+b2ab

A.----<y/ab<----B,y/ab<----<----

2a+b2a+b

2ahf—ra+h

C.----<yjah<----D.而

a+b2a+b2

7、已知函數(shù)/（幻=『+屹一'2-1口+“+"是偶函數(shù)，則此函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱

坐標(biāo)的最大值為()A.行B.2C.4D.-2

8.某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,設(shè)這兩年平均增長(zhǎng)率為x,則

有()

A.B.C.x<…D.壯皿

2222

二、填空題

9、函數(shù)y3的最大值為.

10、若正實(shí)數(shù)羽y,滿足2x+y+6=孫，則孫的最小值是

11、在等比數(shù)列｛例｝中，4>0,且qq=16,則4+%的最小值為—

三、解答題

12、設(shè)〃,b,c￡(0,4~oo),且a+b+c311,求證：(1)(—1)(—1)28.

abc

13、不等式4、+a?2、+120對(duì)一切xcR恒成立，求〃的取值范圍。

14、已知向量機(jī)=(sinA,；)與"=(3,sinA+石cosA)共線，其中A是aABC的內(nèi)角.

(1)求角A的大??；(2)若BC=2,求aABC面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)AABC

的形狀.

答案：『4：ACBD5~8：BCBC

9、-10、1811、8

2

3.B

【解析】

試題分析：由題意(百)2=3"-3"=3"+&,所以a+h=\,則

-+-=(-+-)(a+b)=2+-+->2+2=4,故選B.

abahah

考點(diǎn)：1,等比數(shù)列的性質(zhì)；2.均值不等式的應(yīng)用.

5.B.

【解析】

試題分析：

?.?福?/=］詞枷，《COSA=26,ZR4C=30。

AB?AC=4

?sinA=1

AA"C,AMC4和AM鉆的面積分別為g,x,y,

?JM是AABC內(nèi)一點(diǎn),

1,

—+工+y=1

2

1

…=5

又；x>O,y>0

1(-+-)=(-+-)U+y)=5+2+如25+2x2=9

2xyxyx>'

14

.?.-+->18,選B.

xy

考點(diǎn)：1、向量的數(shù)量積；2、正弦定理求三角形的面積；3、利用均值不等式求最值.

7、B

【解析】

試題分析：由已知/(x)=f+s—立二5x+a+b是偶函數(shù)，則X的奇次事前的系數(shù)

b-h-a?=0即。2+/=2,且/>>o,此時(shí)函數(shù)圖象與〉軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

a+止也(/+02)=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=8=1時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為2.

考點(diǎn)：1、二次函數(shù)是偶函數(shù)即一次項(xiàng)的系數(shù)為零；2、利用重要不等式之2”。求最

值.

11、8

【解析】等比數(shù)列｛%｝中4=16,.,.a4tz5=16va?>0,a4+a5>2y/a4-a5=8

14、(1)-(2)V3,等邊三角形

3

【解析】(1)因?yàn)榧印āǎ?/p>

所以sinA,(sinA+GcosA)——=0.所以'^-H-sin2A——=0,

2222

即sin2A一工cos2A=1,即sin(2A-工］—1.

22I6j

因?yàn)锳e(0,n),所以故2A—￡=2，A=-.

6I66J623

22

⑵由余弦定理，得4=b+c—be.又SAABC=—bcsinA=---be,

24

而b'+c"22bcbc+422bcbc<4(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立)，

1V3x/3r

所以SZ\ABC=-bcsinA=---beW---X4=j3.

244

當(dāng)aABC的面積取最大值時(shí)，b=c.

ir

又A=2,故此時(shí)△ABC為等邊三角形.

3

基本不等式(一)課后反思

本節(jié)課提前給學(xué)生印發(fā)了導(dǎo)學(xué)提綱，在學(xué)生的選擇上也沒有選用特別好的學(xué)生，從

導(dǎo)學(xué)提綱做的情況來說并不太理想，學(xué)生填寫的丟三落四或者不貼題，當(dāng)然，畢竟是預(yù)