高中數(shù)學(xué)必修二 第六章 平面向量及其應(yīng)用 章末測試（提升）(含答案)

第六章平面向量及其應(yīng)用章末測試（提升）

一、單選題（每題只有一個選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2021?陜西?綏德中學(xué)高一月考）下列命題正確的是（）

A.若a.B=a.c,則B=cB.若卜+q=,一.，則。.石=（）

C.若〃〃Z?,bile>則W/cD.若〃與坂是單位向量,則〃石=1

【答案】B

【解析】若3=6,則對任意的&入都有7很=73A錯；

卜+4=卜-母,則忖+彳=|￡-邛，即12+1=3一￡力+22,7B=0，B正確;

若弓=6，則對任意的￡,2,'allb>石〃"，但￡//）不一定成立，C錯；

￡與5是單位向量，只有它們同向時,才有￡是=1，否則￡是<1，D錯】

故選：B.

2.（2021?全國?高一課時練習(xí)）在AABC中，，在線段A8上，且AO=5,BO=3,若CB=2ScosN88=-。,

則下列說法錯誤的是（）

A.?ABC的面積為8B.AABC的周長為8+4石

3

C.AABC為鈍角三角形D.sinNCOS=?

【答案】D

【解析】如圖，在△88中，因CB=2C￡>,cosNCO8=-半，由余弦定理得

BC2=BD2+CD2-2BDCDcosNCDB,

則有4c=9+CC>2+或C。，即CD。-偵CQ-3=0,而C￡>>0,解得CD=石,

BC=275,

55

又由余弦定理得cosB=80+8c=CO=矩在"BC中，由余弦定理得：

2BDBC5

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcosB=^82+(2>/5)2—282石.竽=2也，

顯然sin8=g,AABC的面積5"阮.=；48?8。目118=8,A正確；

△/IBC的周長為AB+BC+AC=8+4后，B正確；

顯然4?是最大邊，cosNACB=%±空二竺1=一2<0,角N4cB為鈍角，C正確；

2ACBC5

____________2

sinZCDB=V1-cos2ZCDB=,D不正確.

故選：D

—.2—-1—?

3.（2021?河北?張家口市第一中學(xué)高一月考）已知點(diǎn)尸是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^AP=-AB+-AC,

則AABP與AACP的面積之比是（）

A.3:1B.2:1C.1:3D.1:2

【答案】D

【解析】點(diǎn)P是dBC所在平面上一點(diǎn)，過戶作PE//AC,Pf7/AB,如下圖所示:

__2__1______

山麗=_麗+_/=荏+宿

33

故AE:EB=2:1=PC:PB,

所以“8P與△ACP的面積之比為BP:PC=1:2,

故選：D.

4.（2021?貴州?威寧民族中學(xué)高一月考）已知“ABC的三邊上高的長度比分別為1：亞：2,若AABC的最短

邊與最長邊的長度和為6,則AABC面積為（）

A.2夜B.幣C.>/6D.2

【答案】B

【解析】不妨設(shè)的三功。、b、。上對應(yīng)的高的長度分別為f、"、2t,

a=2c

由三角形的面積公式可得;W==所以〃=岳=2°，所4

b=6c

所以c為最短邊，。為最長邊，所以a+c=3c=6,所以。=4,c=2,h=2y/2?

所以cosB="+'——乙=16+4^=3,則8為銳角，故sin5=Jl-cos?B=^-,

2ac2x4x244

所以SAnr=—?csinB=—x4x2x-^-=V7.

/224

故選：B.

5.（2021淅江省蘭溪市第三中學(xué)高一月考）扇形。的半徑為1,圓心角為q，P是AB上的動點(diǎn)，則而屈

的最小值為（）

A.—y2B.0C.—-D.

【答案】C

由題設(shè)，AP=OP-OA，BP=OP-OB，

二APBP^（OP-OA）（OP-OB）^OP-OP（OA+OB）+OAOB^

：.OAOB=~,渭=i，

.?.麗?麗=g—麗?（厲+麗），要使衣.麗的最小，即而，e+而同向共線.

又|函+函=|函=1,

二（麗?麗濡=，1=一；-

故選：C

4

6.（2021?江西?南昌縣蓮塘第一中學(xué)）已知在△4/C中，角4B,。的對邊分別為。，b,。，若b+c=§a,

2

且cosB=§,則（）

A.A=2BB.A=BC.A+B=90。D.2A=B

【答案】A

2222

【解析】由題意得MCRa+c-ba+（c-b）（c+b）^+（c-b）x-a

laclaclac3

44

所以〃=§匕，乂b+c=]Ci,

7

所以c=

,2.2__2Z?2+—fe2~-h2

所以cosA=——5~~—=-----———

2"2b/b9,

9

cos2B=2cos2B-l=2xf--1=-->

UJ9

所以cosA=cos2B,因?yàn)锳U。,/),A+3VTT,

所以A=23,故A正確，B、D錯誤;

sinA=^1-cos2A=-^^-,sinB=-71-cos2B=

93

24A/5622

所以cos(A+3)=cosAcosB-sinAsinB=x------------x-----=-------HO,

I39327

所以A+Bw90。，故C錯誤.

故選：A

7.（2021?黑龍江?哈師大附中高一期中）已知“8C中，A=],45=2,若滿足上述條件的三角形有兩個,

則8c的范圍是（）

A.（73,2]B.（V3,2）C.（2,+oo）D.（6+8）

【答案】B

【解析】如圖，點(diǎn)C在射線4G上移動，從點(diǎn)8向射線AG引垂線，垂足為〃，由題意可知石,

若三角形有兩個，則點(diǎn)C應(yīng)在點(diǎn)〃的兩側(cè)（如：C,,C2）,而4比2,所以寬1的范圍是（6,2）.

故選:B.

8.（2021?江蘇?泰州中學(xué)高一期中）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜

愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓加前輪），圓〃（后輪）的直徑均為1,4ABE,/XBEC,

△反。均是邊長為1的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動該自行車的過程中，麗?麗的最大

值為（）

A.3B.3+gC.3+上D.373

【答案】B

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為》軸，過。做AO的垂線為N軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

uui/11、mm(3

所以AP=15Cosa+2,QsinaJ.BD=—

，股*3n八61.3上.。百/吟,

APBD=—x\—cosa+2----x—sina=—cosa----sina+3=——cosa+—+3.

2(2J224426J

所以福?麗的最大值為3+3

2

故選:B.

二、多選題（每題至少有2個選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?江蘇?濱?？h八灘中學(xué)高一期中）在AABC,下列說法正確的是（）

A.若acosA=bcos8,則為等腰三角形

B.若a=40/=20,B=25。，則AABC必有兩解

C.若A/WC是銳角三角形，則sinA>cos8

1).若cos2A+cos2B-8S2c<1,則AABC為銳角三角形

【答案】BC

【解析】對于A,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,.?.sin2A=sin2B,二人二臺或24+28=180°即

4+8=90,為等腰或直角三角形，故A錯誤；

對于B,asinB=40sin25°<40sin300=4()x1=20,即“sin8cbea,.?.△ABC必有兩解，故B正確；

對于C,QVABC是銳角三角形，.[A+B〉],即W>A>g-8>0,由正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式得

222

sin^>sin^y-sj=cosB,故C正確；

對于D,利用二倍角的余弦公式知l-2sin2A+l-2sin2g-l+2sin2c<1，BPsin2A+sin2B-sin2C>0,即

a2+b2-c2>0,.*.cosOO,即C為銳角，不能說明“ABC為銳角三角形，故D錯誤.

故選：BC

10.(2021?重慶南開中學(xué)高一期中)已知AABC面積為12,BC=6,則下列說法正確的是()

A.若cos5=拽，WhinA=fB.sinA的最大值為現(xiàn)

5513

C.5c+9b的值可以為9:D.1c+吆2b的值可以為：9

bc2bc2

【答案】AD

【解析】設(shè)4B,C所對的邊為。也c,因?yàn)锳ABC面積為12,故gacsin8=12,

故acsinB=24.

對于A,若cosB=空,結(jié)合5為三角形內(nèi)角可得sin8=好，故祀=246.

55

2/s

因?yàn)閍=6,故c=4石，故/=36+80-2x246x-^=20,故6=26.

62右26.

由正弦定理可得sinAsinB石?故sinA=g,故A正確.

-5~

對于B,由余弦定理可得從+C2—?08SA=36,

所以。2+C2=2)CCOSA+36>2bc即182cosA)，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立.

12424A3

而不反sinA=12,故A=—故18N—r(1-cosA),整理得到tan彳工二，

2sinAsinA24

cA

AA2tan不2

「sinA=2sin—cos—=---------J

而22i+ta/A1A

1+tan-

2A

tan—

2

因?yàn)椤?lt;，嗎今故或+叫的故s"的最大值為青

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=5時等號成立，故B錯誤.

3

—besinA-2bccosA

對于C'￡+&=*36-2/?ccos/l2

bcbe

.3

—+—=—sinA+2cosA,而一sinA+2cosAW

bc22

cb5

故W+L故c錯誤.

對于D,若Jc+芻2b=：9,則可得cq=4或c：=1

bc2bb2

c=4h

b2sinA=6

若：=4,則AsinA=24，消元后得到:

bi,17Z?2-8Z?2cosA=36

h~+c~-2〃ccosA=36

sinA

所以—7=>整理得到6sinA+88sA=17,

17—8cosA6

但6sinA+8cosA<10,故矛盾即，=4不成立.

b

h=2c

c2sinA=12

若昌，則<feesinA=24，消元后得到：

5c2-4c2cosA=36

h2+c2-2/?ccosA=36

win/Ai

所以u*W，整理得到3sinA+4cosA=5，

5-4cosA3

34L

結(jié)合sin?A+cos2A=1可得sinA=g,cosA=g,此時c=2j5,8=4j5,

故D正確.

故選：AD.

11.（2021?山東日照?高一期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.在“LBC中,若A>5,則sinA>sinB

B.在銳角三角形ABC中，不等式一/>0恒成立

C.在AABC中，若acos3-6cosA=c,則AABC是直角三角形

D.在中，若6=3,A=60。，三角形面積S=3百，則三角形的外接圓半徑為巫

3

【答案】ABC

【解析】對于A,在中，由A>B=a>6,利用正弦定理得2RsinA>2Rsin8nsinA>sin8,故A

正確.

■rr人2Ir2_2

對于B,由銳角三角形知0<A<7，則COSA=一。>0,..b2+c2-a2>0，故B正確.

22bc

對于C,由acos8-AcosA=c,利用正弦定理得sinAcos3-sinBcosA=sinC,即sin（A+8）=sin（A-B）,

故A+B+A-B=^,即A=],則AA8C是直角三角形，故C正確.

對于D,S=-bcsinA=-x3xcx—=3y/3,解得c=4,利用余弦定理知

222

a2=b2+c2-2bccosA=9+\6-2x3x4x-=13,所以”=內(nèi)，又因?yàn)?^-=萬、2=3回=2H，

2sin60733

R='魚,故D錯誤.

3

故選：ABC

12.（2021?浙江杭州?高一期中）任意兩個非零向量和正，九定義：比③后=”,若平面向量1五滿

n-n

足|年2向>0,M與5的夾角M，且萬麗和B⑥萬都在集合，〃“}中，則1③5的值可能為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】CD

【解析】首先觀察集合Cl“eZ}={…,7廠321'一1『，1'153彳『“1卜從而分析萬皿和居”的范圍如下：

jJ*-[cos。，且|為之2訪|>0,

因?yàn)閑e（o,q）,：.-<cos^<l,而5(8)日=匕g

2aa

b1

可得o<一cose<——,

a2

_flVh111B"h[

又5③M￡{~7I九wZ}中，:.—cos8=—,從而一=

4a一4a4cos。

一b萬

2麗=B=T-C。"又"。"<1,所以“麗=4cV且述也在集合中〃Z}

中，

故有a?b=2或3.

故選：CD.

三、填空題（每題5分，共20分）

13.（2021?內(nèi)蒙古包頭?高一期末）在銳角三角形A8C中，內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,6,c.若第sinA=6,

則cosA+cos3+cosC的取值范圍是

(6+13

【答案】El

【解析】：2/?sinA=>/3a,

由正弦定理可得2sinBsinA=>/5sinA,

又“IBC為銳角三角形，???sinAwO

sinB=正~,又6為銳角，

2

??.8=工

3

/.cosA+cosB+cosC=cosA+COSy+cos(夸-A)

cosA+cosB+cosC=cos/A+--—cosA+sinA

222

j]

?*.cosA+cosB+cosC=—cosA+sin；4+—

222

7T1

/.cosA+cosB+cosC=sin(A+—)+一,

62

TTTTTT7T

又為銳角三角形，B=0<A<,且A+g>],

71.71..717124

??-<A<—,故一<A4+一<—,

62363

—<sin(A+—)<1

26

.6+1

.?--------<cosAA+cosBD+cosC<—,

22

A/3+13

/.cosA+cosB+cosC的取值范圍是

2,2

故答案為:

14.（2021?河北?石家莊市華西高級中學(xué)高一月考）如圖，在平面四邊形A5CO中,

AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=A。=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則麗.麗的最小值為

A

【答案】221

1O

【解析】延長。,區(qū)4交于點(diǎn)“，因?yàn)锳3_L3cAO，C2/ZMO=120。，所以288=60°,NDHA=3（f,

在RtAAD"中，NDH4=30",AD=\,所以AH=2,DH=6,

在RtZ\8C，中，NC〃B=30°,BH=3,所以CH=2區(qū)BC=5

所以QC=BC=5不妨設(shè)麗=4反（04241）,則麻卜四,且麗與麗的夾角為弓，刀與通的

夾角為9，

貝IJ麗.麗=（方-碼?（而+麗+碉

=DAED+DADA+DAAB-DEED-DEDA-DEAB

=0+W1+|網(wǎng)網(wǎng)cos生+3萬_0-|網(wǎng)網(wǎng)cos看

=1+-+322-0->/32X—=322--2+-.

2222

所以J時，麗.麗取最小值3、工|二，』+2=馬

4⑷24216

Et

H

21

故答案為：—.

Io

15.（2021?安徽?合肥藝術(shù)中學(xué)高一月考）aABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知

6tsinBcosC+csinBcosA=——b,b=6，a>b,則2a+。的最大值為.

2

【答案】2萬

/o

【解析1由題得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=——sinB,

2

因?yàn)閟inBwO,

6

所以sinAcosC+sinCcosA=2一

立

所以sin(A+C)=sinB=2

7T

因?yàn)閍>b,所以=

由正弦定理得求！=￡=U?=2,，"=2sinA,c=2sinC

T

所以24+c=4sinA+2sinC=4sin4+2sin(4+巴)=5sinA+>]3cosA

3

=2A/7sin(A+0),

所以2o+c的最大值為2萬，此時sin（A+e）=l.

故答案為：2不

16.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)布吉中學(xué)高一期中）已知的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c.角

6為鈍角.設(shè)△/18C的面積為S,若4bs=a伊則sin/+sinC的最大值是.

【答案】J9

O

222

【解析】由題設(shè)，S=；〃csin8,l/llj2abcsinB=a(b+c-a)f

方2?(.2_/n

???sin8=勺上——=cosA=sin(--A),又3為鈍角即A為銳角，

2bc2

TTTT

：.B+--A^7T,即8=2+A,又C=/r-(4+8),

22

冗汽

cosB=cos(—+A)=-sinA且sin8=sin(—+A)=cosA,

22

而sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA(1+cosB)4-cosAsinB=sin2B-cos2B-cosB

19

=l-cosB-2cos72B=-2(cosB+-)72+-,

1,9

當(dāng)cos8=-：時，sinA+sinC的最大值為三.

48

9

故答案為：—

O

四、解答題(17題10分，其余每題12分，共70分)

17.(2021逢國商一課時練習(xí))如圖，在平面內(nèi)將兩塊直角三角板接在一起，已知乙4BC=45,NBC￡>=60,

⑴試用：工表示向量

⑵若卜卜1,求AAC、

【答案】⑴筋=>石。CD=a+^-l)b-,(2)6+1.

【解析】(1)因?yàn)?工,啟1,所以&=矗-/工分，

由題意可知，AC//BD,BD=^BC=y/3AC,

所以8力=6。則A3==，

cb=AD-AC=a+(43-\)b

⑵因?yàn)椴?=1,所以"=&,a-^=|a|■|/>|cos=\/2x1x=1

所以低.cb=：a+(V3-l)^j=p|+(括-1)17=2+6-1=1+6

18.(2021?湖北?大冶市第一中學(xué)高一月考)在銳角AMC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已

知a=且cosC+(cosB-#sin8)cosA=0.

(1)求角［的大??；

(2)若方=26，求AABC的面積；

(3)求處+c的取值范圍.

【答案】(1)出3+6；閉(8,4萬］

【解析】(1)VcosC+(cosb-VSsinfijcosA=0,

/.-cos(A+8)+cosBcosA-V3sinBcosA=0,

-cosAcosB+sirvAsinB+cosBcosA—V3sinBcosA=0,

sinAsinB-V3sinBcosA=0,

VsinB>0,

sinA=6cosA，

又cosAw0,

tanA=5/3,

71

Q0</4<p

萬

AA=一；

3

(2)\*a2=b2+c2-2Z?ccosA,

12=8+/-2x2缶xL

2

C=5/2+y/6，

???0q^ABC-——2hcsinA=3+>j3

a_2A/3_

(3)由正弦定理可得：而二—T=

sin—

3

2b+c=8sinB+4sinC=8sinB+4sin=1OsinB+2V3cosB

=4日sin（B+6）,

其中tan。=sin6=^^,cosO=?。為銳角，

51414

TVTT

因?yàn)锳ABC為銳角三角形，則

62

從而e+^<8+e<e+],得而仁+^卜M如。）"

sinf—4-^^=sin—cos^+cos—sin^=-^—

<6J667

所以乎<sin（B+J）41,8<4x/7sin（B+^）<4>/7,

所以8<26+c44"，從而4+c的取值范圍為（8,4近]

19.（2021?山東鄒城?高一期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，Z.BAC=^,BC=\,AB+AC=2+^,

6

AB<AC,A8//CD,點(diǎn)E為四邊形A5CD的外接圓劣弧CO（不含端點(diǎn)C,。）上一動點(diǎn).

（I）判斷“ABC的形狀，并證明；

（II）若恁=工礪+），屈（x,yeR）,設(shè)ND4E=〃，y=/（?）,求函數(shù)的最小值.

2

【答案】（I）AABC為直角三角形，證明見解析；（ll）y.

【解析】（I）證明：在AABC中，

由余弦定理知：CB?=48?+AC?-24C-cosNC4B,

二1=（AB+AC『-（2+@AC.A8,

又因?yàn)锳8+AC=2+G，所以AC-A8=26

所以A3,AC分別為方程丁-（2+6卜+26=0的兩根，

因?yàn)锳B<AC,所以=AC=2,

所以AC2=A32+8C2,所以ABJ_8C,即AA8C為直角三角形;

(H)解：如圖,

因?yàn)锳3_LBC,

所以AC是四邊形A8CO的外接圓的直徑，AD1DC,

TT

所以四邊形ABCD為矩形，連接OE,ZAED=ZACD=4,

6

設(shè)4E交。。于尸，作CG平行于A廠且交A8于G,

則四邊形AGC尸為平行四邊形，所以衣=而+標(biāo),

又因?yàn)锳C=xA8+yAE(x,yeR),

Ap

由平面向量基本定理知：荏=)，殖所以，=元

在AWE中，因?yàn)橐?ED=f,ZDAE=a,

6

乃

所以44?！?式5-。,

6

AEAD

由正弦定理知:

sin/ADEsinZAED

5711

所以AE=2sin~6~ar

AHi

在中，AF=-------=--------

cosacosa

________]

f(a)=y=—

所以I)AE

2cosa-sin|--a

I6

2

12

l+2sin(2a+奈ae

cos2a+>/3sinacosa14-cos2a+\f3sin2a

因?yàn)樗?a+*7te7157T

666

(l+2sin(2a+?

/.sin2a+?e2J,

所以，當(dāng)a=g時.，f(a)取最小值，最小值為!■.

o3

20.（2021?吉林?延邊二中高一月考）由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受

到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺一

處老舊小區(qū)時提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中

國的生機(jī).某商場經(jīng)營者陳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地?cái)偂保?jīng)營冷飲生意.已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，

如圖所示，其中/APB=12O。，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個路燈，經(jīng)測量點(diǎn)R到區(qū)域邊界3、%的距離分

別為^S=4m,RT=6m,（m為長度單位）.陳某準(zhǔn)備過點(diǎn)R修建一條長椅MN（點(diǎn)加，N分別落在R4,PB

（1）求點(diǎn)S到點(diǎn)T的距離：

（2）求點(diǎn)尸到點(diǎn)R的距離;

（3）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)PM等于多少時，該三角形尸區(qū)域面積最小？并求出面積的最小值.

【答案】⑴2五；⑵生巨；⑶PM=8b，32石.

3

【解析】（1）連接ST、PR，

在ARST中，ZSRT=6O°,

由余弦定理可得：ST2=42+62-2X4X6XCOS60°=28):.ST=2幣.

⑵在ARS7中，由余弦定理可得，cosNSTR=5尸+爐—S-=邁

2STRT7

在APST中，sinZPTS=cosZSTR=,

7

SPSTSTsinZPTS8百

由正弦定理可得:,解得:SP=

sinZPTS-sinl200sin120°

45/21

在直角△SPR41,

1/o

⑶義“產(chǎn)?PN.sin120。=號PM.PN,

S&PMN=S^PRM+S-2x4+2x6-2PA.

—PMPN=2PM+3PN>2j6PM?PN.

4

:.PMPNN3,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

因此，S^PMN=^-PM-PN>32^/3.

21.(2021?江蘇江寧?高一期中)已知函數(shù)〃x)=2cosxsin卜+看).

JTJT

⑴求“X)的最小正周期及“X)在區(qū)間-7］上的最大值

A3

(2)在銳角AMC中，Xy)=p且乎G，求出。取值范圍.

【答案】(1)最小正周期為兀，最大值|;(2)(3,26工

+COSA

【解析】⑴