高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是利用“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想方

法.它為代數(shù)問題和幾何問題的相互轉(zhuǎn)化架起了橋梁，數(shù)形結(jié)合重在結(jié)

合，它們完美的結(jié)合，往往能起到事半功倍的效果.

例、已知函數(shù)32,當(dāng)xe(0,1)時(shí)取得極大值，當(dāng)

b-2

xeQ2)時(shí)取得極小值，求點(diǎn)(a,與對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及二T的取值范

圍.

分析：利用極值的有關(guān)知識(shí)判斷導(dǎo)函數(shù)方程的根的范圍，再由導(dǎo)函數(shù)的圖

象與相應(yīng)二次方程的根的關(guān)系得到關(guān)于出力的線性不等關(guān)系，點(diǎn)(內(nèi)刃所

b-2

對(duì)應(yīng)的區(qū)域.第(2)問利用斜率求出二T的取值范圍.

解：函數(shù)，㈤的導(dǎo)數(shù)為，S)=/+ax+23,當(dāng)xe(0,1)時(shí)取得極大值，當(dāng)

xeQ2)時(shí)取得極小值，則方程V+ax+26=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間

(QD內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi).

由二次函數(shù)/(?=/+"+2占的圖象與方程x2+ax+2b=0的根的分布之間

,/((0)>0,僅>0,

</\1)<0,=<0+28+1<0,

的關(guān)系可以得到l/'Q)>ft[a+b+2>0.

口。3平面內(nèi)滿足約束條件的點(diǎn)(。，與所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)?不包括邊

界，其中點(diǎn)

&-31),5(-10),。(-2,0)如右圖所示).

△可少的面積為義血=(4為點(diǎn)上到Oa軸的距離)

b-26-2

點(diǎn)CQ2)與點(diǎn)(a,與連線的斜率為顯然二山，即

整體代換思想

我們?cè)谒伎紗栴}的時(shí)侯，如果能根據(jù)題目中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題中貌似獨(dú)

立，但實(shí)質(zhì)上又相互聯(lián)系的量看成一個(gè)整體，從而在宏觀上尋求解決問題

的途徑，這種思想稱之為整體思想.整體思想主要有整體代換、整體求

值、整體變形、整體構(gòu)造等.

例、已知—+蘇+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于

因B，C三點(diǎn).若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),且了。)在~L0］和［4,習(xí)上有相同的

單調(diào)性，在［02］和［4,5］上有相反的單調(diào)性.

(1)求。的值；

(2)在函數(shù)了⑸的圖象上是否存在一點(diǎn)做(％%),使得了。)在點(diǎn)般的

切線斜率為比？

(3)求M3的取值范圍.

解：(1);了㈤在［一則和［02］上有相反的單調(diào)性,

.?.x=0是/⑴的一個(gè)極值點(diǎn).

故/(工)=0,即3ax?+2占x+c=0有一個(gè)解為五=0,

c=0.

(2)因?yàn)榱刷沤粁軸于點(diǎn)3(2,0),所以弘+4占+々=0,即d=-4@+2a).

令/(工)=0,得3ax2+2bx=0,

2b

...演x-一uA,=~~3~a.

因?yàn)榱刷樵冢邸?］和［4,5］上有相反的單調(diào)性，

假設(shè)存在點(diǎn)河(如此)，使得了。)在點(diǎn)河的切線斜率為劭.

則/'(%)=比，

即3ax；+2bx0-%=0.

A=(2b)2-4x%x(一％)=482+36ab=Aabf—+9

b

而a,A<0.

故不存在點(diǎn)做（6此）,使得了㈤在點(diǎn)M的切線斜率為先.

（3）由題意，設(shè)/（*）=。/+分2+6+々的函數(shù)圖象交x軸于點(diǎn)工的坐標(biāo)為

（a。）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（40）.

則/（x）=^（x-a）（x-2）（x-0=a[^一（2+）+jff）x2+（2a+2#+o^x-2矽],

a+fi=---Z

a

b--a（2+a+jS）f<d

比較系數(shù)得id=-2a效.得用一一五.

所以Mb=\a~網(wǎng)=J(a+附-4郵

凡=3.故34|閡《4道

本題的第（2）、（3）兩問都用到了整體代換的思想，避免了求。，小的

值，大大簡化了運(yùn)算.運(yùn)用整體思想解題是不是很巧妙？

分類討論思想

分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種解題思想，對(duì)某一問題進(jìn)行正確地分類討論要

有一種全局的觀點(diǎn)，注意在分類時(shí)要不重不漏.

例1、已知aeR,求/（x）='e⑻的單調(diào)區(qū)間.

解：函數(shù)/㈤的導(dǎo)數(shù)/（x）=（2x+a/）*

（1）當(dāng)a=0時(shí)，若x<0,則/'（力<。；若x>0,則/‘5）>0.

則”X）在（一8,0）內(nèi)為減函數(shù),在+8）內(nèi)為增函數(shù).

2

2x+ax'>0=x<一—

（2）當(dāng)a>0時(shí)，由々或x>0,

(-8，二〕

則在I4或(。+8)內(nèi)為增函數(shù),在Ia'J內(nèi)為減函數(shù).

2

2x+以/>0=0<x<--

(3)當(dāng)a<0時(shí)，由

則“X)在-j內(nèi)為增函數(shù)，在(-8,0)和(-Z'+sj內(nèi)為減函數(shù).

從該例的解答中可以看出必須熟練掌握一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解給定區(qū)

間上/5)函數(shù)為增函數(shù)，/0)4°函數(shù)為減函數(shù).但要確定尸(X)的

符號(hào)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

例2、已知/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)/(x)的最大值.

0<g(a)+g0)--a)ln2

(2)設(shè)0<a<5,證明:

解：(1)了⑶的定義域是(一1+8),則/⑶=不

當(dāng)時(shí)?，/V)>0；

當(dāng)x>0時(shí)，/V)<0.

又，(0)=0,則當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)、/⑴取最大值0.

⑵因即…設(shè)力g3)+g(x)2(誓)

=lnx—ln言

則L12〃2

當(dāng)0<x〈a時(shí)，F(xiàn)'(x)<。,

因此尸(“)在(。。)內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng)x>a時(shí)，尸3>0,

因此F(x)在(a,+8)內(nèi)為增函數(shù).

從而當(dāng)x=a時(shí)、尸(x)有極小值F3).

又因尸(a)=0,b>a,

所以磯>0,即。"⑷+幽聞竽)

設(shè)G(x)=尸(*)—(x—a)ln2,

QUG'(x)=lnx_ln2=lnx-ln(a+x)

當(dāng)x>0時(shí)，G(x)<0,G⑶在(Q