人教A版高中數(shù)學第一冊(必修1)課時作業(yè)4：第一課時函數(shù)的奇偶性

3.2.2奇偶性

第一課時函數(shù)的奇偶性

課標要求素養(yǎng)要求

1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概

通過本節(jié)內(nèi)容的學習，讓學生結合實例，

念和幾何意義.

利用圖象抽象出函數(shù)性質(zhì)，提升直觀想

2.能判斷函數(shù)的奇偶性，能運用奇偶函

象和邏輯推理素養(yǎng).

數(shù)的圖象特征解決一些簡單問題.

課前預習知識探究

新知探究

A情境引入

在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象，如圖，六角形的雪花晶體、建

筑物和它在水中的倒影……

問題1上述材料中提到的圖形對稱指的是“整個圖形對稱”還是“圖形的部分”

對稱？

提示整個圖形對稱.

問題2哪個圖形是軸對稱圖形？哪個圖形是中心對稱圖形？

提示①是軸對稱圖形，②既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

已口識福1

1.偶函數(shù)的定義及圖象特征

(1)偶函數(shù)的定義：設函數(shù)五x)的定義域為I,如果Vx?/,都有一x?/,且外一x)

="),那么函數(shù)兀0是偶函數(shù).

(2)偶函數(shù)的圖象特征：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.反之，圖象關于y軸對稱的函

數(shù)一定是偶函數(shù).

2.奇函數(shù)的定義及圖象特征

(1)奇函數(shù)的定義：設函數(shù)人外的定義域為I,如果Vx?/,都有一x?/,且川一x)

=—f(x),那么函數(shù)人X)是奇函數(shù).

(2)奇函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.反之，圖象關于原點對稱的函

數(shù)一定是奇函數(shù).

拓展深化

『微判斷』

1.對于函數(shù)y=/(x),若存在x,使五一%)=—兀￥),則函數(shù)y=/(x)一定是奇函數(shù).(X)

提示反例：五只二%2,存在x=0,五-0)=—10)=0,但函數(shù)人炒二%2不是奇函數(shù).

2.不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(X)

提示函數(shù)1力=0,X?R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

3.奇函數(shù)於)的定義域為R,且五一2)=5,則42)=—5.(J)

『微訓練』

1.而0=三十=的圖象關于對稱.

『解析』1%)的定義域為(一8,o)u(o,+°°),

又八―x)=(-X)3+±=-13+J=一艮由,

:小x)為奇函數(shù).???其圖象關于原點對稱.

『答案』原點

2.函數(shù)人x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時,/(x)=—x+1,則次-2)=.

『解析』???當x>0時，Xx)=-x+1,.\/(2)=—2+1=—1.又五x)為定義在R

上的奇函數(shù)，.\A—2)=一八2)=1.

『答案』1

『微思考』

1.如果函數(shù)汽X)具有奇偶性，那么函數(shù)人X)的定義域一定關于原點對稱嗎？

提示定義域一定關于原點對稱.由函數(shù)奇偶性的定義知，若X在定義域內(nèi)，則一

X一定也在定義域內(nèi)(若一X不在定義域內(nèi)，則八一X)無意義)，因此，具有奇偶性

的函數(shù)的定義域必關于原點對稱.

2.若奇函數(shù)xx)在x=0處有定義，則汽0)的值是多少？

提示由于函數(shù)“￥)是奇函數(shù)，則五-x)=一/(x),又函數(shù)4r)在x=0處有意義，

于是汽o)=A—o)=一八0)，即肌o)=o,所以#o)=o.

課堂互動題型剖析in

題型一函數(shù)奇偶性的判定

角度1一般函數(shù)奇偶性的判斷

『例1—1』判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1次無)=2一因；

22

(2求助:出—1+A/1—%；

X

(3Mx)=A-T1.

解(1)函數(shù)1X)的定義域為R,關于原點對稱，又八一X)=2—I—X|=2—|x|=/(x),

為偶函數(shù).

(2)函數(shù)火用的定義域為{—1,1},關于原點對稱，且五x)=0,又五一x)=—<x),

火一力=火為，

.\Ax)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)函數(shù)兀x)的定義域為{x|xWl},不關于原點對稱，

.?次0是非奇非偶函數(shù).

角度2分段函數(shù)奇偶性的判定

x+1,x>0,

『例1-2』判斷函數(shù)五x)=「八的奇偶性.

解Hx)的定義域是(一8,0)u(0,+8),關于原點對稱.

當x>0時，一x<0,

八一力=1_(_%)=l+x=/(x)；

當x<0時，一%>0,

^-^)=l+(-x)=l-x=?.

綜上可知，對于XG(—8,0)U(0,+°°),都有7(—x)=/(x),Hx)為偶函數(shù).

角度3抽象函數(shù)奇偶性的判斷

『例1-3』⑴已知函數(shù)?x),x?R,若對于任意實數(shù)a,Z?都有人。+力=/(<2)

+?,求證：為奇函數(shù)；

(2)已知函數(shù)f(x),XGR,若對于任意實數(shù)X1,X2,都有人為+無2)+y(xi—X2)=2fixx)fixi),

求證：人x)為偶函數(shù)；

(3)若函數(shù)五X)的定義域為(一/,/)(/>0),證明：兀￥)+五一X)是偶函數(shù)，?-/(-%)

是奇函數(shù).

證明(1)令。=0,則五。)=汽0)+五。)，.\/(0)=0.

令。=一羽b=x,則五0)=/(—x)+?x),

又；Ax)定義域為R關于原點對稱，.?/x)是奇函數(shù).

(2)令無1=0,X2=X,則於)+>(—x)

=次0求x)①，

令X2=0,X1=X,得火x)+y(x)

=肌0求X)②.

由①一②得五一x)=/(x).又?.了(X)定義域為R關于原點對稱，..式X)是偶函數(shù).

(3)?.?尤￡(—I,Z),—%￡(—I,Z),

可見八一X)的定義域也是(一/,I).

若設網(wǎng)x)=?r)+A一X),

G(x)=?-/-%),

則Hx)與G(x)的定義域也是(一/,I),顯然是關于坐標原點對稱的.

又只一x)=/(—%)+人乃=/勸，

G(—x)=y(~x)—fix)

=—『兀v)一五一x)』=—G(x),

:.E(x)為偶函數(shù),G(x)為奇函數(shù)，即五x)+1—x)是偶函數(shù)，1%)—7(一%)是奇函數(shù).

角度4含參函數(shù)奇偶性的判斷

『例1—4』判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(X)=X2+-(X7￡:0,a?R)；

(2次x)=|x+a]一|%一a](a￡R).

解(1)①當a=0時，?=^,對任意x?(—8,0)U(0,+8),五—#=(一%)2

=x2=/x),則函數(shù)兀0為偶函數(shù)；

②當oWO時，兀0=/+*工N0）,取x=l,得汽1）=1+匿取尤=—1,得五-1）

X

=1-?，則八一D+ya）=2W0,/（-1）-/1）=-2^0,即汽_1）工一火1）,五一

i）wy（i）,則函數(shù)五工）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

綜上所述，當aWO時，函數(shù)人x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；當。=0時，函數(shù)

為偶函數(shù).

（2）函數(shù)的定義域為（一8,+8）,關于坐標原點對稱.

①當aWO時，K-'尤）=|—x+a|—|—x-a\=|.r—a\—|x+a|=—（|x+tz|一|.x—。|）=—

40，所以函數(shù)兀。為奇函數(shù)；

②當?=0時,函數(shù)兀t）=|x+a|一|x—a|=|x|一國=0,此時函數(shù)兀0既是奇函數(shù)又

是偶函數(shù).

綜上所述，當aWO時，函數(shù)五x）為奇函數(shù)；當。=0時，函數(shù)八》）既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù).

規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的四種方法：

（1）定義法:

定義域關于-__＞（非奇非偶函數(shù)）

原點對稱？

{/（T）=TU）I奇函數(shù)）

f(-X)與/(%)__1-偶函數(shù)1]

的關系1-1------------------------

/（T）與/（8）非奇非

、無上述關系、偶函數(shù),

（2）圖象法:

{/（*）為奇函數(shù)）

{/?）為偶函數(shù)）

（3）驗證法：求出函數(shù)的定義域，當定義域關于原點對稱時，利用奇偶性所滿足式

f（―Y）

子的等價形式，即判斷人的切:一x）是否為0或亍癡一（/（x）W0）是否為±1.

（4）性質(zhì)法：利用奇、偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數(shù)的奇偶性

判斷.

『訓練1』判斷下列函數(shù)的奇偶性:

（1次%）=/+必；

(2)/(x)=k+i|+k-i|；

2X2+2X

(3求x)=

x+1

x2,x<0,

(4次%)=1q、

[%3,xNO.

解(1)函數(shù)的定義域為R.x)=(—X)3+(—X)5=—(x3+%5)=是

奇函數(shù).

(2求x)的定義域是x)=|—x+l|+|—x—l|=|x—l|+|x+l|=/(x),.?優(yōu)%)是偶

函數(shù).

(3)函數(shù)xx)的定義域是(一8,-1)U(-1,+8),不關于原點對稱，.?/>)是非

奇非偶函數(shù).

(4次。的定義域為R,

當X<0時，-X>0,八一%)=(一力3=一必，而五x)=f,

...當x<0時不滿足八一x)=y(x)，也不滿足八一x)=-y(x).故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

題型二奇、偶函數(shù)的圖象特征

『例2』知函數(shù)五x)=金1，令g(x)=/(1).

(1)已知人光)在區(qū)間『0,+8)上的圖象如圖，請據(jù)此在該坐標系中補全函數(shù)人防

在定義域內(nèi)的圖象，請說明你的作圖依據(jù)；

(2)求證：“x)+g(x)=l(xWO).

(1)解?./a)=V^,的定義域為R.

又對任意XGR,都有八_力=；211=3上=Ax)，??/>)為偶函數(shù)，故人X)

\JiyILJiIJL

的圖象關于y軸對稱，其圖象如圖所示,

(2)證明

1+f1+f

??Hx)+gQ)—i+f+i+f一］+『一1,

即於)+g(x)=l(xWO).

規(guī)律方法(1)先判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)利用函數(shù)的奇偶性作圖，其依據(jù)是奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象

關于y軸對稱.

『訓練2』(1)如圖給出了奇函數(shù)丁=而0的局部圖象，則五一2)的值為()

33

A

-2B「萬

11

C，2D.—2

(2)設奇函數(shù)五x)的定義域為『一5,5』，當x?『0,5』時，函

數(shù)丁=而0的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合

為()

A.(2,5)

B.(-5,—2)U(2,5)

C.(-2,0)

D.(-2,0)U(2,5)

3

『解析』⑴奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，因此，X-2)=-^2)=-1

⑵因為原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y=/(x)在『一5,5J上的圖象

關于坐標原點對稱，由y=/(x)在『。，5J上的圖象，知它在

『一5,0J上的圖象，如圖所示，由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(一

2,0)U(2,5).

『答案』(1)B(2)D

題型三利用奇偶性求函數(shù)值

『例3』已知函數(shù)人功=加+"一2,人2020)=3,貝U1A—2020)=()

A.17B.15

C.-3D.3

『解析』，.^2020)=aX20203+&X2020-2=3,

.，.aX20203+6X2020=5,

:米-2020)=一。X20203—6X2020—2

=—5—2=—7.

『答案』A

規(guī)律方法已知五。)求人一。)，判斷人為的奇偶性或構造已知奇偶性的函數(shù)，利用

奇偶性找出火。)與五一a)的關系即可.

3

『訓練3』已知函數(shù)八x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>l時，火》)=1—1,則

五一2)=()

51

A..B「］

1

C.OD，2

『解析』因為於)為奇函數(shù)，所以五—2)=—，*2)=—住-1)=一

『答案』B

素養(yǎng)達成逐步落實

—■、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，重點提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

2.奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，

有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式五一%)=切>)=/(—x)積x)=

0.八元)=±1。X)力0).

3.(1)若火x)=0且人防的定義域關于原點對稱，則Hx)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)/(x)為奇函數(shù)=兀￥)的圖象關于原點對稱，為偶函數(shù)=y(x)的圖象關于y軸對

稱.

二'素養(yǎng)訓練

1.下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是()

『解析』選項A中的圖象關于原點或y軸均不對稱，故排除；選項C,D中

的圖象所示的函數(shù)的定義域不關于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中

的圖象關于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù)，故選B.

『答案』B

2次x)是定義在R上的奇函數(shù)，且五一3)=2,則下列各點在函數(shù)五x)圖象上的是

()

A.(—3,-2)B.(3,2)

C.(2,-3)D.(3,-2)

『解析』點(一3,2)關于原點的對稱點為(3,-2).

『答案』D

3.已知於),g(x)為定義在R上的奇函數(shù),且」一2)+g(—2)=5,則#2)+g(2)=

『解析』由題意得/(2)+g(2)=一『五一2)+g(—2)』=-5.

『答案』-5

4.已知函數(shù)人x)是定義在區(qū)間『。一1,2al上的奇函數(shù)，則實數(shù)。的值為..

『解析』由題意知a—1+2a=0,得a=；.

『答案』|

5.求證：函數(shù)兀的圖象關于y軸對稱.

證明..,函數(shù)八。的定義域為(一8,0)U(0,+°°),關于原點對稱且五-x)=(—

(，)2=f+q=Ax)，

為偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱.

課后作業(yè)鞏固提覆)

基礎達標

一、選擇題

1.已知而0是定義在R上的偶函數(shù)，則人5)+五-5)=()

A.OB.5

C.2/(5)D.?

『解析』因為次x)是偶函數(shù)，所以五—5)=/(5),故人5)+五―5)=才(5).

『答案』C

2.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在(0,+8)上是增函數(shù)的是()

A.y=x3B,y=|A|+l

C.y=-f+lD.y=2x+1

『解析』排除法.偶函數(shù)只有B,C,而函數(shù)y=|x|+l在(0,+8)上為增函數(shù),

函數(shù)y=—f+i在(0,+8)上為減函數(shù).故選B.

『答案』B

3.若函數(shù)/x)滿足=1,則五x)的圖象的對稱軸是()

A.x軸B.y軸

C.直線y=xD.不能確定

『解析』=1今4—x)=『x),兀0為偶函數(shù),...其圖象的對稱軸為y軸.

『答案』B

4.y(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列結論中不一定正確的是()

A.^-x)+?=0B.^-X)-?=-2/(X)

f(x)

C人為五一x)WOD六二不一=-1

『解析』於)為奇函數(shù),則五一x)=一五外，所以A,B,C均正確.只有/(x)W0

f(x)

時，才有j、=T，D不正確.

f(—X)

『答案』D

5.如果人乃是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是()

A.y=%+/x)B.y=xf(x)

C.y=x2+/(x)D.y=%2/(x)

『解析』是奇函數(shù)，X)=

令y=g(x).

對于A,g(—x)=—x+j(—x)=-x—fix)=~g(x),

y=x+?c)是奇函數(shù).

對于B,g(-x)=-xj[-x)=xj{x)=g(x),

???y=切＞)是偶函數(shù).

對于C,g(—x)=(-%)2+/(—%)=%2—fix),

由于g(—x)Wg(x),g(~x)^~g(x),

.??y=f+Ax)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

對于D,g(一龍)=(一為次一x)=一寸@)=—g(x),

；?y=Ex)是奇函數(shù).

『答案』B

二、填空題

6.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(填序號).

①〉二％2?！怠?；②y=(l1)<③y=2；④y=|x|(xWO).

『解析』對于①④，其定義域顯然不關于原點對稱，故其為非奇非偶函數(shù)；又

fx+1

②中，由J1—X得定義域為『一1,1),不關于原點對稱，故②也是非奇非

11—xWO

偶函數(shù)；對于③，其定義域為R,且對VxGR都滿足火一力=火功=2,故③是偶

函數(shù).

『答案』③

7.設而0是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時4x)=f+1,則五-2)+汽0)=,

『解析』,.7(x)為奇函數(shù)，且x>0時，TOOuf+l,

.\/(-2)=-/2)=-(4+l)=-5.

又購=0,

.*./-2)+?=-5+0=-5.

『答案』-5

8.已知g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且兀0—gOOuV+f+1,

則人l)+g(l)=.

『解析』在人工)一中，

令X=-1,得八一1)—g(—1)=1,

又八-1)=汽1)，g(T)=-g(D，

???HD+g⑴=1.

『答案』1

三'解答題

9.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1求x)=f—3f；

7i—x2

(2)?=k+2|_2.

解(1說》)=/-3f的定義域是R,關于原點對稱.

又找一x)=(一%)4一3(一x)2=x4-3A2—f(x),

??.Kv)=f—3f是偶函數(shù).

(2)由勺??得一IWXVO或OV%W1,

也十2|氏2,

??小?的定義域為r-i,o)u(o,u,關于原點對稱，

?&-小一￡J

??加)-|x+2|-2-X-

\11——

又火一元)=_丫=—ZU)，故段)為奇函數(shù).

10.已知小尸加+笈+血老。)是偶函數(shù)，求證8⑴=加+東+飆./。)為奇函數(shù).

證明..,?v)=ax2+6x+c(aW0)是偶函數(shù)，

即a(—x)2—bx-\-c=a^~\-bx-\-c,.'.b=0,

.'.g(x)=ax3+cx,其定義域為R,

又g(—x)=a(一x)3c(一x)=一(tzx3+ex)=一g(x).

.,.g(x)為奇函數(shù).

能力提升

f+%+12

11.已知函數(shù)?￥)=.F+］，若八。)=］，則五一。)=.

『解析』根據(jù)題意，加尸小］=1+6?而以冗)=*彳是奇函數(shù)；故

24

K—a)