高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題 (12)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題(12)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.己知三個點A,B,C的坐標(biāo)分別為(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若△ABC為直角三角形，

求實數(shù)，〃的值.

2.已知m=(V3sina)x,cosa>x)>n—(coscox,—cosa)x)(a)>0,xGR)，f(x)=m-n-1且/(x)的圖

象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為最

(1)求函數(shù)/(￡)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若EMBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且匕=夕，/(B)=0,sinA=3sinC,求

a,c的值及4c邊上的中線.

3.已知向量五=(一2,1),b—(x,y).

(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先

后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足日7=-1的概率；

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間［1,6］上取值，求滿足商7<0的概率.

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知4一1,-1),8(2,—l),C(m,n)為三個不同的定點.以原點O為圓心

的圓與線段4B,AC,BC都相切.

(I)求圓。的方程及的值；

(口)若直線，:丫=一%+，46/?)與圓。相交于時,村兩點，且而?而=一去求f的值;

(HI)在直線A。上是否存在異于A的定點Q,使得對圓。上任意一點P，都有翳=4U為常數(shù))？

若存在，求出點。的坐標(biāo)及4的值；若不存在，請說明理由.

5.設(shè)向量方=(cos23°,cos67°),3=(cos68°,cos22°)，u=a+tK(te/?).(1)求五?1;

(2)求證的模的最小值.

6.在團ABC中，AB=2,AC=1,NBAC=120。，點E,尸在BC邊上且晶=4后，BF=fiBC-

(1)若4=%求AE的長；

(2)若元1.第=4，求；的值.

7.在直角梯形ABC。中，已知AB〃CD,zDAB=90°,AB=6,AD=CD=3,對角線AC交8〃

于點O,點M在A8上，且0M1BD.

(1)求麗!?麗的值;

(2)若N為線段4c上任意一點，求瓶.廂的取值范圍.

8.已知向量不=(cosa,sina),弓=(cos0,sin0)，且五與B滿足關(guān)系+31=E-kB|(k>

0).

(1)求值與方的數(shù)量積用％表示的解析式f(k)；

(2)方能否和B垂直？五能否和石平行？若不能，則說明理由；若能，則求出相應(yīng)的k值

(3)求弓與3夾角的最大值.

9.已知向量不=(cos|x,sin|x),加=(cos：,-sin,且％6[0,5，求：

(l)a-KS|a+b|;

(2)若f(x)=五.3-2川日++的最小值為一去求實數(shù);I的值.

10.在銳角△力BC中，設(shè)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且bsin4=^a.

2

(1)求B的大小：

(2)若48=2,BC=|,點力在邊AC上，,求8。的長.

請在①/W=DC；(2)ADBC=ADBA；③BD14C這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫

線上，并完成解答(如選多個條件作答，按排列最前的解法評分).

11.對于一個向量組近，說,雨，…，猊(nN3,neN*),令匕=4+詼+碼+…+猊，如果存在

可(pe/v*),使得|虧|之寓-虧那么稱可是該向量組的“長向量”.

(1)若又是向量組式，反,運的“長向量”，且樂=(n,x+n),求實數(shù)x的取值范圍；

(2)已知可詼，碼均是向量組近，無，碼的“長向量”，試探究用瓦,碼的等量關(guān)系并加以證明.

12.在平面上，給定非零向量石，對任一向量示定義￡=方-鬻反

網(wǎng)2

(1)若@=(2,3),方=(—1,3)，求7；

(2)若方=(2,1)，位置向量(某一點的位置向量是以原點為起點，以該點為終點的向量)日的終點坐標(biāo)

滿足方程+By+C=O,求位置向量晟的終點坐標(biāo)滿足的條件；

(3)已知存在單位向量石,當(dāng)位置向量五的終點坐標(biāo)滿足/=y時,位置向量晟的終點坐標(biāo)滿足必=X,

求方的坐標(biāo).

13.已知向量五=(2+sinx,1),b=(2,-2)>c=(sinx-3,1),d=(l,fc)(xeR,k&R).

(1)若xe［一且五〃@+求x的值.

(2)若函數(shù)f(x)=5.K，求/(x)的值域.

(3)是否存在實數(shù)%,使得位+辦1@+可?若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理

由.

14.平面向量立了夾角為60。，K|3-6|=2.

(1)若同=乎，求|2(-3旬;

(2)求方.0+2力的最大值.

15.已知向量記=(cosx,sin%),n=(cosx,—sinx),函數(shù)/'(%)=記?元+:?

(1)若居)=1，xe(0,7T),求tan(%+9的值;

(2)若f(a)=aej?),sin￡=區(qū),Se(0,)求2a+夕的值.

1UZ4'104

16.已知平面上三個向量為1l的模均為1,它們相互之間的夾角為120。.

(1)求證：(a-K)1c;

(2)若|k五+3+小>l(keR),求一的取值范圍.

17.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知平面向量五=(2,3),b=(-2,4)>c=(1,-1).

(1)求證：五一31五一不垂直；

(2)若往+4氏與3是共線向量，求實數(shù)4的值.

18.如圖在△ABC中，/-BAC=p滿足而=3而.

⑴若48=會求的余弦值;

(2)點M是線段C。上一點，且滿足前=小屈+之而，若AABC的面積為2g，求|而?|的最小值.

19.如圖，在平行四邊形ABC。中，己知/BAD=60。，|荏|=3,|而|=2，而==|CD.

D.C

(1)若前=根荏+n同，求〃?，”的值和向量前的模長;

(2)求前和前夾角的余弦值.

20.設(shè)6、尸2分別是橢圓C:,+\=l(a>b>0)的左、右焦點，E是橢圓C的上頂點，/“也是

等邊三角形，短軸長為2

(1)求橢圓C的方程：

(II)已知A,B分別為橢圓左右頂點，位于y軸兩側(cè)的P,。分別是橢圓C和圓/+y2=爐上

的兩個動點，且直線PQ與x軸平行，直線AP,3P分別與y軸交于M,N,證明：乙MQN=90°.

21.已知面=4，畝=2，且熱與了夾角為120°，求:

(1,在1方向上的投影向量(用向量W表示)

(2)(。-2b)?(a+b)；

⑶12aMi

(4)a與Q+￡)的夾角.

22.己知|方|=4,\b\=3，(2a-3b)-(2a+h)=61.

(1)求向量為與3的夾角仇

(2)若2=+M-c=0,求實數(shù)f的值及團.

23.已知向量力、石滿足：|五|=1,|石|=6，a'(b—a)=2-

(1)求向量方與方的夾角及|2方一b|的值；

(2)是否存在實數(shù);I使得(43-K)Lb,若存在，求實數(shù);I的值；若不存在，說明理由.

24.已知橢圓C：'=l(a>b>0)經(jīng)過點P(2,我),一個焦點F的坐標(biāo)為(2,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/：y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，若岫〃koB=-5求明?麗的

取值范圍.

25.已知五萬夾角為60。，且|初=2,若了=一料+t另(teR),則|現(xiàn)+用一項的最小值為

26.如圖，在2MBe中，AB=2,AC=3,/-BAC=60",麗=2而，CE=

BA

2甌

D,

C

(1)求co的長;

(2)若方=4定，麗=4夠求，〃的值，以及嘉的最小值.

27.2知向量記=(，，一乎),w=(sinx,cosx).

(1)若記，元，求x的值；

(2)若/與)的夾角為5xe(0,^),求x的值.

28.已知橢圓CW+3=l(a>6>0),A,B為橢圓的左、右頂點，點N(0,-2),連接BN交橢

圓C于點Q,AABN為直角三角形，且|NQ|：|QB|=3：2.

(1)求橢圓的方程；

(2)過A點的直線/與橢圓相交于另一點M,線段AM的垂直平分線與y軸的交點P滿足同?詢=

求點P的坐標(biāo).

29.已知點4(0,-1),B(0,l),動點P滿足|聞||屈|=證.就記點尸的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為直線y=-2上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別是E,F.證明：直線EF過定

點.

30.已知橢圓C:*+卷=l(a>b>0)的離心率e=多過右焦點尸(c,0)的直線y=工一c與橢圓交于

A,B兩點，A在第一象限，且|4F|=企.

(1)求橢圓c的方程；

(2)在x軸上是否存在點M,滿足對于過點尸的任一直線/與橢圓C的兩個交點P,Q,都有9.MQ

為定值?若存在，求出點〃的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案與解析】

1.答案：解：由已知得同=（3,1），AC=BC=（-1

當(dāng)乙4為直角時，而,充，則都?前=3（2-m）+1—巾=0，解得7n=（

當(dāng)48為直角時，血_L/，則布?豆？=3（—1一m）—7n=0，解得m=-*

當(dāng)4c為直角時，充_L而％則彳？?瓦：=（2一爪）（一1一機）+（1—6）（一?。?0,

即標(biāo)一…=0,解得m=萼.

綜上，當(dāng)△ABC為直角三角形時，，"的值為：或-:或萼

解析：本題考查的是向量垂直的判斷，考查向量數(shù)量積，是基礎(chǔ)題.

先求得南=（3,1），彳？=（2--血），方=（一1一皿m），再對乙4,乙B,4c為直角分類討論.

2.答案：解：（1）???f（久）=m-n

=->j3sina)xcosa)x—cos2a)x—g

V31

=--sin2a)x--cos2a)x—1

22

=sin(2tox--1,

???f(%)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為今

???-=即T=7T,

22

???23=竿=2,即3=1,

???/(%)=sin(2x-—1,

6

令一衛(wèi)+2kn￡2.x——+2/CTT,

262

解得上兀一x￡kn十三(kEZ),

OO

/（X）的單增區(qū)間為POT-1,kn+^k&Z.

(2)根據(jù)f(B)=sin(2F-J)-1=0,得到B=或

由sin/=3s山C,根據(jù)正弦定理得Q=3c,Xvb=V7?

在中由余弦定理得尼=*22即得到

Z14BCa4-c—2accosBfc=1,a=3,

記AC邊上的中線為30,

2

則(西2=的回)

(BA)2+2BA-BC+(BC>)2

二4

12+2X1X3X1+3213

44

??.I防I=吟

故a=3,c=l,AC邊上的中線為名.

2

解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，三角恒等變換，以及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，以及

正弦定理余弦定理的運用，本題屬于中檔題.

(1)先根據(jù)/(x)=m-n~l，運用向量坐標(biāo)運算公式和三角恒等變換得到/Q)=sin(2<ox-^)-1,

再根據(jù)f(x)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為會得到/(x)周期T,進而求出3,即求出f(x)的

解析式，最后令一m+2k7r<2x-%w］+2k7r,解出關(guān)于x的不等式，即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞

增區(qū)間；

(2)先根據(jù)/(8)=sin(2B-1=0,得到B=p再根據(jù)sinA=3sinC得到a=3c,

然后根據(jù)余弦定理得爐=a2+c2—2accosB,即可求出a、c的值，最后根據(jù)(前產(chǎn)=(半曳，，代

入數(shù)據(jù)運算即可求出AC邊上的中線.

3.答案：解：(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6x6=36個;

由蒼7=—1，得-2x+y=-l,.??滿足a-b=-l的基本事件為(1,1),(2,3),(3,5)共3個；

:滿足1?b——1的概率為P=/=白；

3612

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間［1,6］上取值，則全部基本事件的結(jié)果為0={(x,y)|14x46,1<y<6］；

滿足為小<0的基本事件的結(jié)果為4={(x,y)|l<x<6,l<y<6且一2x+y<0}；

畫出圖形如圖所示，

?2x

則矩形的面積為s矩形=25,

陰影部分的面積為S掰彩=25-ix2x4=21,

滿足方?b<0的概率為P—

解析：本題主要考查了古典概率和幾何概型的概率計算問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔

題.

(1)根據(jù)題意，求出滿足條件五不=-1的基本事件個數(shù)及總的基本事件個數(shù)，

代入古典概型公式進行計算求解即可；

(2)根據(jù)題意，畫出滿足條件五不<0的圖形，結(jié)合圖形找出滿足條件的點集對應(yīng)的圖形面積，利用

幾何概型的概率公式計算即可.

4.答案：(1)因為圓0與48相切，所以半徑等于。到48的距離.

直線AB：y=—1,所以丁=1,圓。：%2+y2=1.

圓。與AC相切，4(—1,—1),所以直線AC：x=—1,所以?=—1.

直線8C：當(dāng)=篙Q3(7+1)+5+l)(x-2)=0

0到BC的距離為1,所以二:=1=n=3或—1(舍)

VV十(71十1)

所以幾=3.

(11)設(shè)加=(右,丫1),麗=(無2/2)，因為M，N在直線/上，所以丫1=一/+3y2=-X2+t.

'V=-X+tX1+%2=t

聯(lián)立，爐+丫2=1得2--2比+產(chǎn)_1=0,所以t2-l

X/2=—

則一:=0M?麗=%1%2+%丫2=xlx2+(一%+亡)(一％2+t)

t(Xj+%2)+t2=t2-1=>t=±Y'

—2XTX2—

(HI)直線AO：y=x,假設(shè)存在這樣的。，設(shè)其坐標(biāo)為(a,a).

設(shè)P%，y。)，財=蹲=k髏篙.

由P的任意性，令曲=1,y0=。和久0=-1,y0=0代入得(i_a：2+a2=於=(_1J)2+a2

=(1-a)2+Q2=5(-1-a)2+5a2=>a=-，或Q=-1(舍)

所以￥=(__a)2+a2=2,因為A>0,所以a=V2.

將a=-$4=&代入M=*邛答吐耳,貝IJ2=吊黑：：。詈：=詔+據(jù)=1恒成立.

22

2(x0-a)+(x0-a)(%o+5)”+(yo+5)

所以這樣的。是存在的，坐標(biāo)為(一3一》，此時;l=&.

解析：本題考查了直線與圓的方程、點到直線的距離等知識，運用了特殊值法、韋達定理等方法，

屬于難題.

(I)因為4、8己知，所以通過。與AB的距離求半徑，再根據(jù)半徑求C點坐標(biāo)，注意到A點坐標(biāo)的

特殊性，AC這條直線是垂直于x軸的.

(11)將加、N點坐標(biāo)設(shè)出來，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為韋達定理代入即可求

解.

(III)事實上條件的意思是圓。是以A、。為頂點；I為定比的阿波羅尼斯圓，所以這樣的。點是存在

的.可以代入特殊點將。點坐標(biāo)求出來，再代入驗證.

5?答案：解：(1)a-b=cos23°cos680+cos670cos22Q=cos23°cos68°+s譏23°s譏68°

V2

=cos(23°—68°)=cos450=—;

(2)v\u\2=(a+tb)2=\a\2+t2\b\2+2ta-br

a2=COS223°+cos267°=cos223°+sin223°=1，由『=cos268°4-sin268°=1，

|u|2=l+t2+2t^=(t+^)2+|)

當(dāng)"—當(dāng)時,\u\min=^.

解析：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量數(shù)量積以及向量求模，也考查了三角恒等變換及

二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)利用向量數(shù)量積求解，利用三角函數(shù)和差角公式化簡求解；

(2)先求|u\2=(a+tK)2=|a|2+t2|b|2+2ta-b=(t+^)2+5然后求最小值.

6.答案：解：(1)設(shè)4B=a>^4C=b，

貝|J|磯=2,|K|=1，a-b=|a||K|cos120°=-I,

所以荏=而+屁=五+久3—方)=|為+

?畫=J(軻+須2=J1(16+l-4)=當(dāng)

(2)AE=AB+BE=a+A(b-a)=(1-A)a+Ab>

同理可得，AF=AB+BF=a+fi(b-a)=(1-+/ib，

AE-AF=[(1—A)a+AK]?[(1—/z)a+pb]

—4(1—2)(1—〃)+A/z—[(1-A)/z+(1—/i)A]

=4+7人林—5(4+〃)，

.??4+7加-5(/1+〃)=4,7川一5(A+〃)=0,

-117

同除以加可得，

解析：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查計算能力，是中檔題.

(1)設(shè)荏=五，AC=b＞利用向量的數(shù)量積以及向量的模求解即可.

(2)求出荏.都=4中的向量表示，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.

7.答案：解：(1)因為NDAB=90。，

所以以A為坐標(biāo)原點，AB,AO分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖：

「C

因為AB//CD,AB=6,AD=CD=3,DU---------------

所以A(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3).'〉〃

又因為對角線AC交班)于點O,IV/

所以由m=t就得方=(3t,3t),即O(3t,3t),PA/_____________

M

因此前=(3t,3t-3)，DB=(6,-3).

HuDO//DB?所以—3x3t—6x(3t—3)=0,解得t=y

因此0(2,2).

又因為點M在AB上，所以設(shè)

因此礪=(m-2,-2),BD=(-6,3).

而OM1BD,所以麗?前=一6(加一2)-6=0，

解得nt=1,即M(l,0),

因此麗=(1,0)，而前=(一6,3)，

所以前?前=-6，

即祠?麗的值為一6；

(2)因為N為線段AC上任意一點，

所以由(1)知：可設(shè)N(n,7i)(0<n<3)(包括端點)，

因此前=(n,n)，MN=(n-l,n).

所以而?MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因為函數(shù)y=2/—n的圖象開口上，對稱軸為n=；,

而0<n<3,

所以函數(shù)y=2n2—n的值域為卜'15],

即麗?麗的取值范圍是[一也詞.

解析：本題考查了二次函數(shù)，向量的數(shù)量積，相等向量的概念，向量垂直的判斷與證明，平面向量

的坐標(biāo)運算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題目條件，以A為坐標(biāo)原點，AB,AO分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用相等向量

的概念的坐標(biāo)運算得m=(3t,3t)，從而得O(3t,3t),再利用向量的坐標(biāo)運算得前=(3t,3t-3)和

DB=(6,-3),再利用平面向量共線的充要條件得得t=|，從而得。(2,2),設(shè)M(m,0),從而得而=

(TH-2,-2),前=(一6,3),再利用向量垂直的判斷的坐標(biāo)運算得m=1,從而得M(l,0),再利用向

量的坐標(biāo)運算得宿=(1,0),再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，計算得結(jié)論：

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合題目條件設(shè)N(n,n)(03)(包括端點)，再利用向量的坐標(biāo)運算得前=

(n,n)^MN=(n-再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得RV?祈可=2n2—n>最后利用二次函數(shù)，

計算得結(jié)論.

8.答案：解：(1)由已知得|五|=|1|=1.

V\ka+b\=V3|a-fcb|.

(ka+b)2=30-k石>,

k2\a\2+2ka-b+\b\2=3(_\a\2-2ka-b+k2\b\2^

???8ka,-b=2k2+2>?-a-b—(fc>0).

(2)由(1)知方?]>0.

五與石不可能垂直.

若五〃石，由五?石>0知方，方同向，

于是有方?/?=|a||b|cos0°=|a||K|=1>

即空1=1,解得k=2土舊，

4k

.??當(dāng)A=2土6時，a//b.

(3)設(shè)五與方的夾角為。，

則<\)?0=~~士-=育?77=卜g>0),

IHI6I4k

...cos0=i(fc+i)=l[(Vfc)2+(i)2]=；[(Vfc-^)2+2]，

二當(dāng)迎=親即k—1時，cos。取得最小值

又0。<0W180。，.?.1與石夾角。的最大值為60。.

解析：本題考查了數(shù)量積運算，向量的垂直與平行的判定與證明以及求夾角的問題；

⑴區(qū)五+石|=百|(zhì)日一上方|等式兩邊平方化簡求解.

(2)由(1)得心石>0,所以五不可能能否和方垂直，所以利用平行的等價條件白司=|立網(wǎng)求解.

(3)用上表示下?T\,利用二次函數(shù)求最值.

9.答案:解：(1)a-K=cos|xcos|-sin|xsin|x=cos2x,

???(a+b)2=a2+2a-b^b2

=1+2cos2x+1

=2+2cos2x

2

=4cosxf

又xe血堂,

A|a+b|=2cosx\

(2)/(%)=a-6-2A|a+h|=cos2x—4Acosx=2cos2x—4Acosx—1

=2(cosx-A)2-2A2-1,因為cos上€[0,1,

若4>1時，當(dāng)cos%=l,=1-4A<-3,與題意不符；

若2<0時，當(dāng)COSX=0,=與題意不符；

若0<A<1,當(dāng)COST=九fMmin=_2A2-1,

由—2萬-1=—|,入E[0,1],解得人=

故實數(shù);I的值為

解析：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，考查向量的數(shù)量積及向量的模的運算，及利用二次函數(shù)性

質(zhì)、余弦函數(shù)的性質(zhì)、分類討論求最值，屬于較難題.

(1)利用向量數(shù)量積、模的運算得結(jié)論；

(2)將⑴中方方及|五+1|的運算式子代入/(x)=方不一2七五+坂|，變形為f(x)=2(cosx-A)2-

2A2-1,通過分類討論求最小值，即可解得4的值.

10.答案：解：(1)在△4BC中，由正弦定理=以及bsinA=受a得siriBsinA=史sinA，

''sm4sinB22

因為△ABC為銳角三角形，

所以((),，，所以sinAW0,所以

22

又Be(().§,所以B；.

(2)若選①.

在△ABC中，因為AD=DC,所以喬="而+就).

所以前2+BC2+2BA-BC)

_22+(1)Z+2X2X|XCOS^_37,

4—16

所以80=且.

4

若選②.

在448c中，S^ABC=S^ABD+S&CBD，

即工B4?BC-sin-=-BA?BD?sin-+-BD?BC?sin-,

232626

即工x2x三x3=工X2XBDX」+3XBDX2XL

22222222

解得8。=迪.

7

若選③.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB

2/3\23TT13

=2-+(21-2x2x-xco?-=-j-.

所以北=叵.

2

因為SMBC=\BA-BC-sinB=1x2x|xy=^,

又SA4BC=：BDSC=WBD,

所以叵BD=遞，

44

解得：BD=引竺.

13

解析：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了

計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

(1)由正弦定理化簡已知等式，結(jié)合A,B為銳角進行求解；

(2)若選①.由題意可得前="明+能)，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算即可求解8。的

值；

若選②曲于SMBC=S-BD+S&CBD，利用三角形的面積公式即可求解BD的值；

若選③.由余弦定理可求4c的值，利用三角形的面積公式可得手BD=￥，即可求解.

11.答案:解:⑴由“長向量”定義得|可|＞同+樂|.

因為設(shè)=(弭％+九)，所以石*=(l,x+l)，雨=(2,x+2),aj=(3,x+3),

?,?/+石=(3,2%+3),

:.J9+(%+3產(chǎn)＞」9+(2%+3產(chǎn),解得一24X40,

二實數(shù)x的取值范圍為[一2,0].

(2)瓦，石，記的等量關(guān)系為近+石+碼=0.

證明：由題意可知，而是向量組宕而后的“長向量”，即滿足|萬|)|布+6.

所以同|2）同+62,即訪2》⑥+碼產(chǎn)，

展開化簡可得而2》近2+運2+2石.無，

同理石，雨也是向量組或，雨，雨的“長向量”，

則可2》瓦2+記2+2近怎,

可2》片十局2+2碼.瓦,

三式相加并化簡得：0》瓦2+詼2+碼2+2/?記+2底?詬+2石?碼,

即（西+詼+砧240,|二+通+雨|40,

?*?a1+a?+cig=0.

解析：本題考查了平面向量中新定義的理解與應(yīng)用，向量坐標(biāo)運算及模的求法，創(chuàng)新性好，正確理

解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于難題.

（1）根據(jù)長向量的定義可知|而|》|互+詼結(jié)合條件用坐標(biāo)表示出逼和碼+石，即可由向量的模

長公式得關(guān)于X的不等式，解不等式即可求得X的取值范圍.

⑵由“長向量”定義可得百2,石2,運2的不等式組，對三組式子合并化簡即可證明.

12.答案：解：（1）五不=-2+9=7，|石『=io,

-；14（-1,3）721176

'.a=（2,3）io-=G3）一（一斤可）=（虧「制

(2)設(shè)2=(zn,n),則方?b=2m+九,|b『=5,

、2(2m+n)、-3m-4n-4m+3n

~fzzx

???a=(jnfn)---------(2,1)=(--—,---),

-37n-4n-3x-4y

m=--------

55

設(shè)a'=(%y)，-4771+371*_-4x+3y

5-5

??,位置向量五終點坐標(biāo)滿足方程Ax+By+C=0,故個&X4+個包x8+C=0,

???(34+48)%+(44-38)y-5C=0,

位置向量/的終點坐標(biāo)滿足的條件為(3/+4B)x+(44-3B)y-5C=0,

(3)設(shè)3=(cos。,sin。)，5=(%,%2),則為?B=xcos。+/sin。，

?,?a'=(%,%2)—2{xcosS+x2sin0)(cos0,sind)=(—%2sin20—xcos2d,x2cos29—xsin20y

??,位置向量/的終點坐標(biāo)滿足y2=%,故/cos?2。一2x3sin29cos29+x2sin220=-x2sin20-

xcos20,

.%x3cos220—2x2sin20cos20+x(sin2204-sin20)+cos20=0恒成立,

.(cos20=01.(sin26=-19.?

QC/QA、c八

?(?sjm2?0(sm20+1id)=0r\,i?cios29=0r\,?292——TC4-2/C7T,k￡Z,

3

??.0=-yr4-lai,kEZ,

4

???cosO=—它，sin0=它或cos。=-?sin0=——,

2222

爭或石=4,4).

解析：本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，數(shù)量積運算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)定義式計算即可；

(2)設(shè)2=(加九)，求出3的坐標(biāo)(％y),用x,y表示出相，〃，代入4%+By+C=0整理得出結(jié)論；

⑶設(shè)另=(cosasin。)，a=(x,x2),求出/坐標(biāo)，代入y2=%化簡，根據(jù)等式恒成立求出cos。和5比。

的值.

13.答案:解：⑴b+"=(sin%-1,-1)，又五〃(b+F)，

???—(2+sinx)=sinx—1,即sin%=一：.

又xe［一詞］,

???%=一￡.

6

(2)va=(2+sinx,1),b=(2,-2)，

/./(%)=a-K=2(2+sinx)-2=2sinx+2.

又％6R,

???當(dāng)sinx=—l時，fQ)有最小值,且最小值為0;

當(dāng)sinx=1時，/(%)有最大值，且最大值為4.

???/(%)的值域為［0,4］.

(3)1五+d=(3+sin%,1+k)，b-be=(sinx—1,-1)?

若0+Z)JL@+?)，則(五+辦,@+0=0，

即(3+sinx)(sinx—1)—(14-fc)=0,

:.hsiirJ--2siiiJ--4=(sinT+1廠一5.

由sin%G[—1,1],得kG[—5,-1].

，存在kG[—5,—1]?使得位+d)1(64-c).

解析：本題考查向量的共線與垂直，數(shù)量積的應(yīng)用，向量與三角函數(shù)的聯(lián)系，難度適中.

(1)考查向量共線的坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算即可得到結(jié)果；

(2)由題設(shè)/(%)=a-b=2sinx+2,得函數(shù)的值域.

(3)由題設(shè)得(五+2)?0+弓=0,k=(sinx+l)2-5得解.

14.答案:解:⑴?.?向量區(qū)另夾角為603且|五一1|=2，

/.13—K|2=4?

即五2—2a-b+b2=4，

(v)2-2Xx|b|xi+\b\2=4-

解得：@=竽，

27

\2a-3b\2=4a2-12a-b+9b2=4x(^)-12x^x^x1+9x=誓,

--4V21

|2a-3b|=-y—

(2)因為|方—b|=2,所以0—6)2=4,所以|五E+?卜產(chǎn)一2五,匕=4,

又五7=|,||B|cos60。=?初|石I，

所以|磯2+\b\2-\a\\b\=4,

所以方?0+2石)=|a|2+2a-&=|a|2+|a||b|

同2+|洲b|

=4X___________________

|a|2+|K|2-|a||K|

\b\

+W

+（部-

1+百

=4x

（1+圖」3疆+1）+3

4

1+用+」__3

同1+

令”1+卷，則"@+2石)=京4啟=法=中,

當(dāng)且僅當(dāng)1=次，即號=6一1時，等號成立.

1。1

所以日,仁+2B)的最大值為第+4.

解析：本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積和基本不等式的運用，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

(1)由|五一3『=2得|方|=竽，從而計算出|21一3a2,進而可得結(jié)論；

(2)由?、?2%)=|為『+2五不=|初2+?百|(zhì)信|=4x譚譚|扁，分子分母同時除以

|小2,化簡后由基本不等式可得最大值.

15.答案：解：(1)因為向量記=(cos%,sin%),n={cosx,—sinx),

所以/(%)=m?n+|=cos2%—sin2%4-1=cos2x+

因為fg=1,所以cos%+g=l,即cos%=[

又因為XE(0,7T),所以工￡,

7r7T7Ttan丁+tan-

所以tan(j：+彳)=tan(彳+彳)----」7r---=-2—y/3.

4J4I一廟1(an-

?5

(2)若/(a)=-則cos2a+[=-',即COS2Q=-|.

因為cC(W),所以2Q€(7T」；)，所以sin2a=-41-cos22a=―>

2425

因為§譏夕=黑，，"),：)，所以cos/?={\一sin2s=

所以cos(2a+S)=cos2acos(i-sin2asin。=(—|)x^—(—|)x甯=爭

?7T7T

又因為2c€(7T.彳)，36(().5),所以2a+6E(71,2"),

所以2a+￡的值為，丁

解析：本題考查了向量的數(shù)量積、二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題.

(1)由向量的數(shù)量積可得f(x)=cos2x+p由/'(I)=1求得x的值，再由兩角和與差的三角函數(shù)公式

可得tau(_r+：)的值；

(2)先求得cos2a=—|,結(jié)合角的范圍得sin2a.同理由sin.得cos0,由兩角和與差的三角函數(shù)公式可

得cos(2a+6),故可得答案.

16.答案：(1)證明T0—石)N=五々B1

=|a|?|c|?cosl20°—|b|-|c|-cosl20°=0,

???(a-K)1c.

(2)解|k巧+1+E|>1o(k蒼+1+?)2>i

22

即42五2+b+^+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

■.^\a\=\b\=\c\=1.且乙瓦口相互之間的夾角均為120。，

32=K2=c2=1-ab=b-c=ac=

k?+1—2/c>1>即A2-2k>0>

k>2或k<0.

即左的取值范圍是(一8,0)U(2,4-00).

解析：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式.

(1)利用向量的分配律及向量的數(shù)量積公式求出值-方)I;利用向量的數(shù)量積為0向量垂直得證.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式將已知等式平方得到關(guān)于上的不等式求出

k的范圍.

17.答案:(1)證明：因為多=(2,3),」=(-2,4)，c=

所以五一b=(4,—1)，a—c—(1,4),

從而Q—Z?)-(a—c)=4x1+(―1)x4=0,

且五—方與五一不均為非零向量，

所以方一方與五一下垂直；

(2)解:因為五=(2,3),b=(-2,4)>所以W+43=(2-24,3+4/1)，

又力=(1,一1),且益+41與不是共線向量,

所以(2-24)X(-1)-(34-41)x1=0,

解得4=—|.

解析：本題考查了向量垂直的條件，向量的數(shù)量積運算，平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量共線的充

要條件，屬于中檔題.

⑴求出五一3與五一口坐標(biāo)，可得@一石>0=0，即可證明為一石與百一不垂直；

(2)求出五+4石=(2-24,3+4/1)，根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于4的方程，解之即可.

18.答案：解：(1)由題意可設(shè)|而|=a,則|而|=3a，

在中，有：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cos/.ADC,①

在△BCD中，有：BC2=DB2+CD2-2DB-CD-cos^BDC,(2)

①+3x②，可得C￡)2=i3a2,

在AACD中，有：AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cos^ACD,解得cos44C。=源.

26

(2)由于祠=m^+T而=小正+|而，且C,M,。三點共線，

所以m

因為梟謝=茨超17元I?日=2后

故|福.|而|=8，

可得箱2=G前四)24前近2+]而而=[+英正『+薄'%

當(dāng)且僅當(dāng)|亞|=2次時，

所以|宿Im的=2.

解析：【試題解析】

本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的運算，基本不等式在解三角形中的綜合

應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

⑴由題意可設(shè)|而|=a,則|而|=3a,在AACO中，△BC。中，利用余弦定理可得CD?=13a?,

在小ACC中利用余弦定理可求cos乙4CC的值.

(2)由已知可得病=m而+|而，且C,M,。三點共線，可求m=%利用三角形的面積公式可

求|荏正|=8,將已知等式兩邊平方后利用平面向量的運算，基本不等式即可求解|宿的

值.

19.答案：解：(1)???胡=鈕+#而+|而

=-2AD-3-AB,

n=-1,m=——2.

23

2

???\EF\=4而一|荏)2

1——>212—>—?4—>2

=-AD-2X-X-AD-AB+-AB

4239

=1-2+4=3.

|EF|=V3.即市的模長為次.

(2)■.■AC^AB+AD>

|初=J頌+AD)2=J32+22+2X3X2X|=V19.

_______12___

-.■AC-EF=(AB+AD>)-(-AD--^4F)

19c1c7

=^-AB-ADk-^AB+^-AD-^AB-AD

2323

=——x3—~x9+-x4=-2,

6322

3V57

???c…廊>=1=381

阮和前夾角的余弦值為-返.

38

解析：本題考查了向量的表示、向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)和向量的夾角，屬拔高題.

(1)利用向量的關(guān)系，把所求向量用兩個己知向量表示，然后利用向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)，求出向

量品的模.

(2)根據(jù)向量的夾角公式，分別求出向量前、前的數(shù)量積和模，即可求出兩個向量的夾角的余弦值.

20.答案：解：(I)；?忸E&&是等邊三角形

???b=43c,a=2c,

vb=V3

.?.b2=3,c2=1儲=4

橢圓c的方程為蘭+日=1.

43

（11）設(shè)「點坐標(biāo)（＞0，；/0），Q點坐標(biāo)（t,yo）

???42直線方程為丁=含0+2）

X（）+Z

M坐標(biāo)為（0,舞）

???8「直線方程為'=含0-2）

N坐標(biāo)為（0,聾），

???QN=y。）,西=-丫0），

2-x0Z+x0