新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實(shí)現(xiàn) 課件 5.3.1 向量的內(nèi)積、長度及正交性

5.3.1

向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積定義：設(shè)有n維向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，則稱[x,y]為向量x

和y

的內(nèi)積．說明：內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x

和y都是列向量時(shí)，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．定義4：設(shè)有n維向量令則稱[x,y]為向量x

和y

的內(nèi)積．向量的內(nèi)積[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顧：線段的長度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，則若令x=(x1,x2,x3)T，則[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0向量的長度定義5：令稱||x||為n維向量x的長度（或范數(shù)）．當(dāng)||x||=1時(shí)，稱x為單位向量．向量的長度具有下列性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，||x||=0；當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，||x||>0．齊次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的長度定義：令稱||x||為n維向量x的長度（或范數(shù)）．當(dāng)||x||=1時(shí)，稱x為單位向量．向量的長度具有下列性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，||x||=0；當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，||x||>0．齊次性：||l

x||=|l|

·

||x||．三角不等式：

||x+y||≤

||x||+||y||．xyx+yy向量的正交性施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=||x||·||y||當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，定義6：當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，把稱為n維向量x

和y

的夾角．定義7：當(dāng)[x,y]=0，稱向量x

和y

正交．結(jié)論：若x=0，則x

與任何向量都正交．xy定義8：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組.

若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理3：若

n維向量a1,a2,…,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,…,ar線性無關(guān)．證明：設(shè)k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2從而k1

=

0．同理可證，k2=k3=…=kr=0．綜上所述，a1,a2,…,ar線性無關(guān)．例：已知3維向量空間R3中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量a3

，使a1,a2,a3兩兩正交．分析：顯然a1⊥a2

．解：設(shè)a3=(x1,x2,x3)T

，若a1⊥a3

，a2⊥a3，則

[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2T

a3=x1－

2x2+x3=0得從而有基礎(chǔ)解系，令．定義：n維向量e1,e2,…,er是向量空間中的向量，滿足e1,e2,…,er是向量空間V

中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）；e1,e2,…,er兩兩正交；e1,e2,…,er都是單位向量，則稱e1,e2,…,er

是V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．（規(guī)范正交基）例：是

R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．也是

R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．是

R4的一個(gè)基，但不是標(biāo)準(zhǔn)正交基．設(shè)

e1,e2,…,er是向量空間V

中的一個(gè)正交基，則V中任意一個(gè)向量可唯一表示為x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特別地，若e1,e2,…,er

是V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則問題：向量空間V

中的一個(gè)基a1,a2,…,ar

向量空間V

中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基

e1,e2,…,er？求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化過程設(shè)a1,a2,…,ar

是向量空間V

中的一個(gè)基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基b1c2a2b2返回令c2

為a2

在b1上的投影，則c2=l

b1，若令b2=a2－c2=

a2－

l

b1，則b1⊥b2

．下面確定l

的值．因?yàn)樗?，從而a2－b1第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化過程設(shè)a1,a2,…,ar

是向量空間V

中的一個(gè)基，那么令于是

b1,b2,…,br兩兩正交，并且與a1,a2,…,ar

等價(jià)，即

b1,b2,…,br

是向量空間V

中的一個(gè)正交基．特別地，b1,…,bk與a1,…,ak

等價(jià)（1≤

k

≤

r）．第二步：單位化設(shè)b1,b2,…,br

是向量空間V

中的一個(gè)正交基，那么令因?yàn)閺亩鴈1,e2,…,er

是向量空間V

中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．例：設(shè)，試用施密特正交化過程把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化．解：第一步正交化，取例：設(shè)，試用施密特正交化過程把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化．解：第二步單位化，令例：已知，試求非零向量a2,a3

，使a1,a2,a3兩兩正交.解：若a1⊥a2

，a1⊥a3，則

[a1,a2]=a1T

a2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0即a2,a3

應(yīng)滿足方程x1+x2+x3=0．基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化即為所求．（以保證a2⊥a3成立）定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡稱正交陣．9即

A?1=AT，于是從而可得方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交．