2024屆山西省太原市高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題及答案

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：上午8:00—10:00）說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）Ax|x22x0，Bx|2x2，則AB（）1.已知集合A.[0,)B.C.2]D.[2,)2.已知復(fù)數(shù)z滿足i)z，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.(C.D.(x2y24x2y0的圓心坐標(biāo)為（B.(）3.圓A.(2,C.(4,2)D.(2)4.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功舉辦.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（A.18B.24C.32）D.36）5.已知，，且tan3，tan2，則（2A.B.C.D.123466.如圖是函數(shù)f(x)的部分圖象，則f(x)的解析式為（）sin6x6xA.f(x)C.f(x)B.f(x)D.f(x)x2xx2x2x6x2sin6x2x22x2xx27.已知橢圓C:y1的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，點(diǎn)M為C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)212122的角平分線交線段FF于點(diǎn)N，則1（）12NF1210102A.2B.C.D.258.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足alog3，b，c2，則（A.abcB.acbC.bac）D.bca二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）*n9.已知數(shù)列a中，11，n12n1nN，數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是n（）A.a是等比數(shù)列B.415nC.1000D.S2annn10.已知函數(shù)f(x)2sinxsinx，則下列結(jié)論正確的是（6）32A.ff6B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱C.f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞增12123D.將f(x)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱32|x|,0xe11.已知函數(shù)f(x)x，若方程f(x)a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，x，x，x，且滿足123424xxee2exxxx，則下列結(jié)論正確的是（）1234A.0a1B.2xx[22,3)121eC.xxxx4eD.1234xxxx2,4e2123412.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中，E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P和Q分別滿足DPDC，11111111DQDB，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）111A.當(dāng)時(shí)，三棱錐Q的體積為定值21B.當(dāng)時(shí)，四棱錐QABCD的外接球的表面積是24C.當(dāng)1時(shí)，不存在使得PQ1D1526D.PQEQ的最小值為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）y213.雙曲線x21的漸近線方程為______.41x214.12x)4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.|ab|15.已知非零向量a，b夾角為，則的最小值為______.3|b|16.已知實(shí)數(shù)，k分別滿足e2e，kke3，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則k______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題10分）*已知在等差數(shù)列a中，23，8a，S是數(shù)列b的前n項(xiàng)和，且滿足2Snn1nN.n3nn（1）求數(shù)列a和b的通項(xiàng)公式；nn，求數(shù)列c的前n項(xiàng)和n.cabnN*（2）設(shè)nnnn18.（本小題12分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，點(diǎn)D在線段BC上，BD，AD2，△ABC的面積為33.（1）當(dāng)2，且60時(shí)，求B；（2）當(dāng)1，且b2c28時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng).219.（本小題12分）“陽(yáng)馬”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，SAAB，SCBC，SASC32.（1）證明：四棱錐SABCD是一個(gè)“陽(yáng)馬；30（2）已知點(diǎn)E在線段AC上，且AEEC，若二面角ASED的余弦值為，求直線SE與底15面ABCD所成角的正切值.20.（本小題12分）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞停敲吹?天選12擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第33231天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩惶爝x擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閚，nnN*（2）記該同學(xué)第12（i）證明：P為等比數(shù)列；n59（ii）證明：當(dāng)n2時(shí)，n21.（本小題12分）.已知拋物線C:y2px(p0)的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)D，過(guò)拋物線C焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩2點(diǎn)，△面積的最小值為4.（1）求拋物線C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)E2)的動(dòng)直線l交C于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線C上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)任意的直線l，都有PMPN.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由.22.（本小題12分）已知函數(shù)f(x)xx(kxk，k1.（1）當(dāng)k1時(shí)，求f(x)的最小值；（2）當(dāng)x)時(shí)，不等式f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)k取得的最大整數(shù)值.2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一.單項(xiàng)選擇題：CBABCCAA二.多項(xiàng)選擇題：9.BD10.AC14.2511.ACD12.ABD16.三.填空題：13.y2x四.解答題：15.3e31d17.1）設(shè)a的公差為d，由題意得na7d3a2d,11aa2n1nN*；n1d當(dāng)n1時(shí)，則2Sbb1b1，1111當(dāng)n2時(shí)，則2Sn1n112Sn2Sn1nn1nn1，n是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，n；n1nN*，nn(2nn1nN（2）由（1）得cn*n123n1n1133532(2n3n2(2nn1，①n13332533(2nn1(2n3，②nT1233233n1(2nn，①－②得nn(n3n1nN*.1318.1）由題意得SaADsina33a622BD2BD4，CD2，AB2AD2BD2ADBD12AB23，2AB2BD2AD23B0B180B30；2ABBD21（2）由題意得BDCDAD(ABAC)，211414222c2bbcBAC4，AD(ABAC)2ABAC2ABAC24bc28bcBAC6，22a2b2c2bcBAC40a210，1SbcsinBAC33bcsinBAC63bc12，2bc)2b2cbc52bc213，2abc2(1013)△ABC的周長(zhǎng)為13).19.（1四邊形ABCD是正方形，ABAD，SAAB，SAADAAB平面SADSDAB，同理可證SDBCABBCBSD平面ABCD，四棱錐SABCD是一個(gè)“陽(yáng)馬；（2）由（1）得SD平面ABCDSDAD，SA32，AB3SD3，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得D(0,0)，0)，B0)，C(0,0)，S(0,，3AEECE,,0，11mAC,是平面SAE的一個(gè)法向量，則設(shè)mx,y,z111m,3x3yx11令11，則1m，3x3z111nSD,設(shè)nx,y,z是平面SDE的一個(gè)法向量，則222nDE,3z,22令y21，則n(,0)，312y2z21mncos,n|m||n|123013，153122934493310E,,0，444SD210SD平面ABCD直線SE與底面ABCD所成角的正切值為.520.1）設(shè)A“第i天選擇米飯?zhí)撞汀眎1,2)，則A“第i天選擇面食套餐，ii231313231根據(jù)題意PA，PA，號(hào)PA|A，PA|A，112121由全概率公式，得PAPAPA|APAPA|A2121122112333349；（2i）設(shè)n“第n天選擇米飯?zhí)撞汀?n)，12n則PPA，PA1P，PA|A，PA|A，nnnnn1nn1331323Pn由全概率公式，得PAPAPA|APAPA|A，n1nn1nnn1n1211312即PPn1P，n1nn33212112111P是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；n663n1111PnN*，（ii）由（i）可得n263n12111263111142635當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，n；279n1111當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，n2631259.p2p221.1）由題意得F,0，D,0，p設(shè)直線AB的方程為xtytR)，Ax,y，Bx,y，11222pxty,y2tpyp0，2由2得2pxy2yytp，yyp2，12122241y24pt，22yyyy12121△面積SDAB||yyp22t1p2，122當(dāng)t0時(shí)，SDAB取最小值p2p2，拋物線C的方程為y24x；（2）由（1）得拋物線C:y4x，假設(shè)存在定點(diǎn)Px,y2，00設(shè)直線l的方程為x5m(y2)(mR)，Mx,y，Nx,y，則30，y40，4334x5m(y由y244(2m0，得y4x2yy4m，yy4(2m，3434PMPNPMPN0，1PMPNxxxx3yy4y，3202y42023y4yy003040001602yyyyy1604y2my240，3403400y0當(dāng)y020時(shí)，即時(shí)，PMPN恒成立，存在定點(diǎn).P2)x1022.1）當(dāng)k1時(shí)，f(x)xx1，x(0,)，則f(x)x1，11令f(x)0，則0x；令f(x)0，則x，ee1f(x)在1e上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，e111f(x)在x處取得最小值f1；eee（2）①當(dāng)k1時(shí)，則f(x)xx110，顯然成立；xxxx1②當(dāng)k1時(shí)，原不等式