2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與課本題目鞏固-模塊09-解三角形

模塊九：解三角形1、余弦定理(1)余弦定理:三角形中任意一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即在△ABC中,角A,B,提示:在△ABC中,若∠C=π(2)余弦定理的推論及其變形推論:cosA=b2由余弦定理知在△ABC中,若∠A為銳角,則cosA>0,從而b2+c2?a2>0,即b2+c2>a2;若∠A為鈍角,則cosA<(3)余弦定理的證明(閱讀課本人教A版必修二P42)2、正弦定理(用不同方法給出證明)(1)正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為在正弦定理中,設(shè)asinA=bsinB=csinC(2)正弦定理的變形與推廣邊化角。1)a:b2)a=2RsinA,徑);.角化邊.3)sinA=a2R,sinB=b4)asinB5)a=(3)正弦定理的證明(閱讀課本人教A版必修二P46)3、三角形中三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系利用正弦定理、余弦定理解決三角形的綜合問(wèn)題時(shí),要注意三角形三個(gè)內(nèi)角的一些三角函數(shù)關(guān)系:在△ABC中,(1)sinA=tanA=?tanB+tan(2)sinA2∴tanA1?tanB-(tanB+tanC),∴tanA?tanAtanBtanC∴tanAtanAtanBtanCcos2A4、三角形的面積公式在△ABC中,角A,B,(1)S△A(2)S△A(3)S△ABC=12a+b(4)數(shù)量積形式的三角形面積公式:在△ABC中,設(shè)AB=mS(5)坐標(biāo)形式的三角形面積公式:在△ABC中,設(shè)S注:其他表示三角形面積公式形式,請(qǐng)閱讀課本人教A版必修二P54)5、三角形中的兩個(gè)重要模型(1)三角形周長(zhǎng)的求解:三角形周長(zhǎng)等于三邊和,但是有的時(shí)候需要轉(zhuǎn)化。周長(zhǎng)=模型:a(2)三角形面積最值:均值不等式求面積:均值不等式結(jié)合完全平方公式運(yùn)算模型:a等量代換:aS6、測(cè)量中角的有關(guān)術(shù)語(yǔ)及計(jì)算1.方位角○名師點(diǎn)睛正南方向:指從原點(diǎn)O出發(fā)經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線與正南的方向線重合,即目標(biāo)在正南方向線上,可類(lèi)推正北方向、正東方向和正西方向.從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角,如圖(1).圖(1)圖(2):北偏東m°圖(3):南偏西2.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北偏東(西)、南偏東(西)xx度,如圖(2),(3).3.仰角與俯角在同一鉛直平面內(nèi),目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角.如圖.4.坡角坡角:坡面與水平面的夾角.坡度:坡面的垂直高度h和水平長(zhǎng)度l的比.設(shè)坡角為α,坡度為i,則i=h【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】人教A版必修二P512.如下頁(yè)圖,在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α,沿傾斜角為β的斜坡向上走a?m到達(dá)B處,在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ.求證:山高h(yuǎn)(第2題)人教A版必修二P53(第8題)8.如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,在點(diǎn)12.如圖,在△ABC中,已知(第12題)AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P13.一條河的兩岸平行,河的寬度d=500?m,一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船在靜水中的速度v1的大小為v1=10?km(1)當(dāng)船逆流行駛,與水流成鈍角時(shí);(2)當(dāng)船順流行駛,與水流成銳角時(shí);(3)當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛,與水流成直角時(shí).請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算上面三種情況下船行駛的時(shí)間,判斷是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛,與水流成直角時(shí)所用時(shí)間最短.人教A版必修二P5315.△ABC的三邊分別為a,b,c,邊mmm16.在△ABC中,求證:20.已知△ABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為(1)三角形的面積S=p(2)若r為三角形的內(nèi)切圓半徑,則r(3)把邊BC,AC,Ahhh人教A版必修二P5421.如圖,為了測(cè)量?jī)缮巾擬,N(第21題)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,A,B,(1)指出要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并標(biāo)示在圖中);(2)用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M,N22.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角(1)求A;(2)若a=2,則△ABC的面積為312.海中有一座小島,周?chē)?nmile內(nèi)有暗礁.一艘海輪由西向東航行,望見(jiàn)該島在北偏東75°;海輪航行8nmile以后,望見(jiàn)該島在北偏東人教B版必修三P(4)如果在△ABC中,角A的外角平分線AD與BCB人教B版必修三P一例4如圖9-1-8所示平面四邊形ABC已知B+DAD=25,求四邊形人教B版必修三P例5在△ABC中,求證:bc【上述公式成為射影定理,熟記熟練應(yīng)用】人教B版必修三P11求證:在ABC中,有a人教B版必修三P12(3)已知sinA+sinB:sinA+sinC:sin(5)已知△ABC的頂點(diǎn)為A1,1,Bm+分別根據(jù)下列條件，判斷△AB(1)a2tanB=b2人教B版必修三P12(1)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2(2)已知△ABC中,AB=43,AC=23,AD(3)已知三角形的兩邊和為4,其夾角為60°(4)在△ABC中,已知(5)在△ABC中,已知A=2B(1)已知△ABC中,(1)求角B;(2)若b=2,求△人教B版必修三P14例2如圖9-2-5所示,在某海濱城市A附近的海圖9-2-5面出現(xiàn)臺(tái)風(fēng)活動(dòng).據(jù)監(jiān)測(cè),目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向、距城市A300?km的海面點(diǎn)P處,并以20?km/h的速度向西偏北30(3)如圖所示,在傾斜角等于15°的山坡上有一根旗桿,當(dāng)太陽(yáng)的仰角是α=45°時(shí),旗桿在山坡上的影子的長(zhǎng)是(第3題)(第4題)(1)如圖所示,在曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),活塞A作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng),設(shè)連桿AB長(zhǎng)為340?mm,曲柄CB長(zhǎng)85?mm,求曲柄CB從初始位置CB0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)人教B版必修三P16(5)如圖所示,A,B(第5題)頂P處測(cè)得3點(diǎn)的俯角分別為α,β,γ.計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通穿山隧道.為求出隧道DE的長(zhǎng)度,你認(rèn)為還需要直接測(cè)量出AD,EB,B5.已知△ABC的周長(zhǎng)為2+1(1)求AB(2)若△ABC的面積為16sinC6.在△ABC中,已知(1)求cosC(2)若CB?CA=57.已知AD是△ABC的角平分線,且(第8題)A=60°,求8.如圖所示,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇水平地面上一點(diǎn)A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC1.已知△AB(1)若sin2A=sin2B(2)若sinA=cosB,則(3)若cosAcosBcosC<(4)若cosA?BcosB?2.已知向量a與a+b的夾角為60°,且a=8,b=73.已知?ABCD中,對(duì)角線AC=57,它與兩條鄰邊AB和AD的夾角分別是30°和454.在△ABC中,已知c=b1+2cosA,求證:5.在△ABC中,(1)求sin2B(2)若a=3,求b6.在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),已知∠BA7.在四邊形ABCD中,B=D=90°,A8.在△ABC中,已知(1)若sinC:sinA=4(2)求△AB9.已知D是Rt△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=(1)求證:sinα+(2)若AC=3DC10.已知銳角△ABC中,(1)求證:tanA=(2)若AB=3,求11.根據(jù)三角形的3邊長(zhǎng)a,b,c求三角形面積S,既可以用我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的S也可以用海倫公式S其中p=a人教B版必修三P211.在△ABC中,∠ABC=90(1)若PB=12,求(2)若∠APB=150°人教B版必修三P2