蘇教版（2019）高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第15講《平面向量的概念和運(yùn)算》（解析版）

蘇教版（2019）高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第15講《平面向

量的概念和運(yùn)算》（解析版）

一、【知識(shí)梳理】

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做該向量的模

0向量長(zhǎng)度為o,方向任意的向量【0與任一非零向量共線】

單位向量

基長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量

平行向量方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量叫做平行向量，也叫共線向量

本

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

概

念相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量

向量夾角起點(diǎn)放在一點(diǎn)的兩向量所成的角，范圍是,工5的夾角記為<2,B〉

投影<a,b>^0,Bcos。叫做B在￡方向上的投影【注意：投影是數(shù)量】

￡

重平面向量ei,e2不共線，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（4〃），使=。若為ky軸上

要基本定理的單位正交向量，（Z〃）就是向量。的坐標(biāo)

法一般表示坐標(biāo)表示

則a.h（BwO共線o存在唯一實(shí)數(shù)力,

共線條件（內(nèi)，凹）=之（々，%）0%%

平定a=Ab

理垂直條件Q_LB=a?b=0%乂=°

面

加法法則a+b的平行四邊形法則、三角形法則a+B=(芯+w，y+必)

向—?—?—?—?—?—9—>—?—?

算律a+b=b+a,(Q+/?)+C=〃+(/?+C)與加法運(yùn)算有同樣的坐標(biāo)表示

量法則￡一石的三角形法則

線減法a-b={xx-x2,yi-y2)

、—A-At-

運(yùn)算分解

性MN=ON-OMMN^(xN-xM,yN-yM)

運(yùn)為向量，2>0與。方向相同，

概念A(yù)a=(Ax,Ay)

算與方向相反，砌=|而

數(shù)乘4<02

起算丸(〃4)=,(4+]LL)a=九4+4Q,

算律與數(shù)乘運(yùn)算有同樣的坐標(biāo)表示

A(a+B)=%以十焉

概念a4)=a-bcos<a,h>

數(shù)問=M+,2,

量2

主要性質(zhì)|用工+弁?收+

積a.a=a,H-2+yM￡

運(yùn)

—>—?—?—?—?—?—?—?—?

算a,b=b,a,(a+b)*c=a*c+b*c,與上面的數(shù)量積、數(shù)乘等具有同樣

運(yùn)算律

(幾辦5=〃?(一1)=/(a石)。的坐標(biāo)表示方法

二占士t對(duì)于平面上的任一點(diǎn)0,OA,為不共線，滿足5>=m蘇+n為(x,y￡R),

線定理則P,A,8共線=m+n=l

設(shè)6(X1，X),P2(x2,y2)，尸(x,y)是線段［6的分點(diǎn)，且4》=/1尸/，4是

實(shí)數(shù)，。JJ

定比分點(diǎn)

X.+混X,+X、

級(jí)

坐標(biāo)公式X=-------x=------

1+/o中點(diǎn)坐標(biāo)公式＜2

結(jié)則?

、一切+儀,與+%

\---------

論〔1+212

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是mb,c：

(1)Q4+。6+OC=6=。是AABC的重心

三角形(2)04?OB=OBOC=OCOAo0為AABC的垂心

"四占”(3)a04+bO6+cOC=0。0為A4BC的內(nèi)心

(4)蘇=麗=歷o0為A4BC的外心

二、【真題再現(xiàn)】

1、(2022全國(guó)甲卷理)設(shè)向量［,B的夾角的余弦值為g,且同=1,W=3,則僅Z=

【答案】11

【分析】設(shè)［與B的夾角為。，依題意可得cos6=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出￡力，最

后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)￡與否的夾角為8,因?yàn)椤昱cB的夾角的余弦值為g，即cos6=；,

又卜|=1,W=3,所以4名=卜|卡卜056=1、3*!=1,

所以(2々+石)/=2￡%+片=2￡3+件=2x1+32=11.故答案為：11.

2、(2022全國(guó)甲卷文)已知向量&=(m,3),5=(1,m+1).若￡，〃，則機(jī)=.

3

【答案】一：

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

_33

【詳解】由題意知：無5=加+3(m+1)=0,解得/〃=——.故答案為：一一.

44

3、(2022全國(guó)乙卷理)己知向量滿足|i=1,巧|=百，值一2司=3,則()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：-又???|初=i,|51=6,|a—251=3,

???9=1-4灑1+4x3=13—4無5，，小5=1，故選：C.

三、【考點(diǎn)精講】

考點(diǎn)1基本概念辨析

UU

【例1】1、（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)/為單位向量，下列命題中：①若）為平面內(nèi)

LU1___LU1

的某個(gè)向量，則a=|a14：②若￡與％平行，則a=|4|%；③若￡與為平行且Ia|=1,則a=%,

假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，￡與|￡|耳的模相同，但方向不一定相同，故①是

uiiiu___

假命題:若￡與為平行,則￡與％的方向有兩種情況:一是同向，二是反向，反向時(shí)a=-|a|4,

故②③也是假命題.

綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.故選：D

2,（2021?全國(guó)高三月考（文））對(duì)實(shí)數(shù)。、夕和向量G,5,正確的是（）

A.p（a-b^-pa-pbB.a-b-c=a（b-c^

C.若忖5=Wa,則￡=BD.若pa=qa（p,q€R）,則P=4

【答案】A

【解析】對(duì)于A：由數(shù)乘向量的性質(zhì)可知：p{a-b^=pa-pb,故A正確：

對(duì)于B：萬石七表示與"平行的某個(gè)向量，①（加@表示與Q平行的某個(gè)向量，顯然不一定

相等，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于c：當(dāng)萬=6或5=0時(shí)，同B=顯然成立，但2=萬不成立，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于1）：當(dāng)萬=0時(shí)，〃￡=</￡成立，但〃二夕不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1、（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（理））判斷下列四個(gè)命題:①若￡/后,則￡=石；②若法引,

則￡=/；；③若|￡|=|坂|,則Z//B；④若￡=石，則|￡|=1〃1.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】因向量共線，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若小則￡=石是假命題，

①不正確；因模相等的向量，方向不一定相同，即若|。日向，則3=石是假命題，②不正確；

因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若|“1=1引，則3/4是假命題，③不正

確；由相等向量的定義可知：若3=石，則1-1=1"是真命題，④正確，

所以，正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選：A

2、（2021?全國(guó)）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；

②若熱=1。，則KZ或＞一泰

③若（，為實(shí)數(shù)），則八必為零；

④己知兒，〃為實(shí)數(shù)，若2：=〃力，則；與X共線.

A.0B.1

C.2D.3

【答案】A

【解析】①錯(cuò)誤，如在口的中，AD=BC^但是這兩個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別不重合：

②錯(cuò)誤，模相等的兩個(gè)向量，方向關(guān)系不確定；

③錯(cuò)誤，若兀：=6（八為實(shí)數(shù)），則4=0或

④錯(cuò)誤，當(dāng)/1="=0時(shí);Xa=/ib=0）但;與W不一定共線.故選：A

3、（2020內(nèi)蒙古鄂爾多斯市第一中學(xué)）下列結(jié)論正確的是（）

A.若向量ffl，山共線，則向量由，ifl的方向相同

B.向量?jī)膳c向量前是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上

C.AABC中，D是BC中點(diǎn)，則Al5=g（AEi+R）

D.若日//6，則使2=入6

【答案】c

【分析】根據(jù)向量共線的定義，可知A,5錯(cuò)誤；D選項(xiàng)忽略了零向量的情況，所以錯(cuò)誤：C

選項(xiàng)可通過向量加法運(yùn)算得到，所以C正確.

【詳解】A選項(xiàng)：共線，則向量方向相同或相反，可知A錯(cuò)誤；

3選項(xiàng)：而和國(guó)共線即麗//CD，則ABC。未必在同一條直線上，可知8錯(cuò)誤：

4

C選項(xiàng)：根據(jù)向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算法則，可得§，可知。正確；

O選項(xiàng)：若G為非零向量，B為零向量，則M/區(qū)，此時(shí)不存在/leR，使得口=幾5,可

知。錯(cuò)誤，本題正確選項(xiàng)：C

考點(diǎn)2線性運(yùn)算

（2）（2021?三亞華僑學(xué)校高三月考）已知平行四邊形ABC。，點(diǎn)E,產(chǎn)分別是A8,BC

的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)通=a,AD=b,則前等于（）

【答案】（1）D（2）A

【解析】（1）由圖可得，a=q+%,〃=2q+02所以a-B=-4+3e?故選：D

（2）連結(jié)AC,則AC為AABC的中位線，

_.1_11_

EF=-AC=-a+-b,

222

故選:A

3、（2021?全國(guó)）在平行四邊形ABC。中，通+5+麗等于（）

A.BAB.DAC.DCD.BC

【答案】A

【解析】畫出圖形，如圖所示：

AB+CA+BD=(AB+BD)+CA=AD+CA=CA+AD=CD=BA■故跡:A.

4、（2021?四川射洪中學(xué)高三月考（理））已知（=（3,1）,5=（2,2）,若力，則實(shí)數(shù)4的

值為（）

2323

A.——B.——C.-D.-

3232

【答案】C

2

【解析】因?yàn)椤?/5,所以34—2=0,解得幾=§故選：C

5、（2021?深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三月考）已知向量萬=（2,加），B=（2,4）,若打5則忖-同=

（）

A.右B.5C.2百D.4A/5

【答案】B

【解析】由向量"=（2,機(jī)），5=（2,4）,alb

*,2X2+4XAH=0,所以m=一1,

/.5=（2,-1）,/.a-b=（0,-5）,即卜一可=5.故選：B

【變式訓(xùn)練】

C.3q—2^D.—3q+2%

【答案】A

.,—?■?―????>.?-9，，?■

【解析】由圖知：〃=3q+e2，b=q+小，則a-B=2q-3%.

故選：A

向量￡一5二()

C.-3q+%D.—q+3e2

【答案】D

【解析】如下圖所示，a-b=AO-BO=AO+OB=AB--e^3e2.

n---1--T---r

IIII

故選:D.

3、（2021?全國(guó)高三月考（理））已知平面上四點(diǎn)A,B,C,D,則以下說法正確的是

（）

A.AB-BC=ACB.AB+AC=BC

C.AB+BC+CD+DA=BDD.AB+DC=AC+DB

【答案】D

【解析】AB+BC=AC'故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

AC-AB=BC，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

ULU1UUliULW1UUU1

AB+BC+CD+DA=O<故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)辂?〃=麗-反=屈，

^AB+DC=AC+DB^故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

4、（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)G+無無）-第=（）

A.AFB.FDC-6D.以

【答案】D

□胖加JAD+FE-AE-FD-AF=AD-AE+FE-FD-AF=ED+DE-AF=-AF=FA

故選：D.

5、（2021?海南昌茂花園學(xué)校高三月考）已知向量￡=（%+2,3）,[=（%/）,且;〃力,則x的

值是（）

A.-1B.0C.2D.1

【答案】I）

【解析】由題意x+2-3x=0,x=l.故選：D.

6、（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知向量2=（2,3）出=（3,2）,貝亞-'=（）

A.A/2B.2

C.50D.50

【答案】A

【解析】由己知，a-^=（2,3）-（3,2）=（-1,1）,所以|￡一」|=J（-l）2+『=0,故選：A.

考點(diǎn)3共線問題

[例3]k（2021嚏國(guó)高三專題練習(xí)）已知向量￡花且而=￡+2反方=-52+6反函=7—-25，

則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

2、（2021?上海外國(guó)語大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）向量々石不共線，點(diǎn)只Q、S共線,

已知而=2￡+痛,礪=￡+反而=2￡-3日，則衣的值為（）

34

A.—1B.—3C.■—D.—

53

【答案】（1）A（2）D

【解析】（1）由通=￡+2反元=-52+6員詼=7￡-2況

可得而=前+而=2￡+好=2（￡+2楊=2而，所以48,0共線，所以A正確；

因?yàn)檐?￡+2后和配=-5￡+6人顯然A,B,C三點(diǎn)不共線，所以B錯(cuò)誤；

由BC=-5〃+6B，CD=1a—2b＜顯然8,C,￡）三點(diǎn)不共線，所以C錯(cuò)誤；

又由/=而+阮=-4￡+昉=-4（￡-2&，CD=la-2b，顯然4C，D三點(diǎn)不共線，所以D

錯(cuò)誤.故選：A.

（2）因?yàn)槭?麗+旃=￡+B+2￡-3B=3￡-2萬，又因?yàn)辄c(diǎn)P、Q、S共線，所以

PQ=AQS（A^O）,所有2￡+以=*3］刈，因此如+防=3二-24，

'_2

［2=323

故，…，解得I,故選：D.

k=-22,4

'k=——

3

3、（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形A8CD中，A5=2AD=2C。=23C,E是

8c的中點(diǎn)，連接AE,BD相交于點(diǎn)F,連接CF,則下列說法正確的是（）

73-1—73-2—

A.AE=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

4255

f172771—37

C.BF=——AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

【答案】ABD

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合平面向量共線定理即可判斷答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，AE=AB+BE=AB+~BC=21-AB+AD+DCI

T1(——I->'3f]-

—AB-\——AJ3+A.D-\—AB——A.B-\—AD,故A選項(xiàng)正確；

212J42

對(duì)rB選項(xiàng),因?yàn)?,F,。二點(diǎn)共線,設(shè)A/%A5+(1—x)AZ),由AZ〃，所以存

在唯一實(shí)數(shù)4,使得崩=丸藍(lán)，結(jié)合A可知,

3T1一、X-^AAB=\^A-\+X\AD,

xAB+(\-x)AD=^-AB+-AD\=>因?yàn)?/p>

42J

—>3T3f2f

AB,A。不共線，所以］nx=j，所以AE=-AB+gA。，故B選項(xiàng)正

—A—\+x—0

12

確;

TTT2T2T

對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B,BF=AF-AB=--AB+-AD,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

->->->->i->—3—2—1f3f

對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合B,CF=CD+DA+AF=一一AB-AD+-AB+-AD=—AB--AD,

255105

故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.

4、(2021秋?遼寧期末)如圖，在△49B中，OC=1CM，OD=^OB，AD與BC相交于點(diǎn)

M，設(shè)&=a>OB=b-

(1)試用b表示向量。M；

(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在上取一點(diǎn)凡使得即過點(diǎn)設(shè)&=MA,OF=“晶,

求人+|1的最小值.

【分析】(1)根據(jù)A,M,D三點(diǎn)共線和E,M,尸三點(diǎn)共線可得向，根據(jù)向量相等可

得人1，入2的值，從而表示出0%;

13

(2)由E,M,尸三點(diǎn)共線，可得五+五=1,由基本不等式可得入+口的最值.

【解答】解：(1)由4,M,。三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)Ai使得。>=&+京=2+

X^AD=Q+4(—ci+2b)—(1—b?

由8,M,C三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)入2,使得盛=而+易=7+X2BC=5+&(-％+

|a)=^a+(l-22)b,

由平面向量基本定理知

^-1=7T1->QT

：所以0"=8+科

1入2=q

(2)若后=疝，OF=/xOB,則0。=吳+曰=吉備+得瓶

13

又因?yàn)镋,M,F三點(diǎn)共線，所以二+一=1,

3

11”34

另

XZ另

U1I-+T+++++

=-為-=-

所以入+q=A+.ZX^s777

由題意可知，o<入<1,o<n<i,

一432u32〃42V342-73+4

所以3+下+方22-X—+-=-------+一

7/17A7777

當(dāng)且僅當(dāng)今=為，即“=3入2時(shí)，等號(hào)成立,

273+4

所以入+口的最小值為

7

【變式訓(xùn)練】

1、（2021?全國(guó)（文））在AA8C中，AC=2AD，一為初上一點(diǎn)，若而」通+力配,

4

則實(shí)數(shù)2的值為（）

A.；B.—C.-D.

2348

【答案】D

____1_____1□

【解析】由題知其P,〃三點(diǎn)共線，所以Q=—而+22正，所以22+—=1,2=-,故

448

選D.

_____2___

2、（2021?全國(guó)高三（理））在“8c中，荏=3配，〃是加上的點(diǎn)，若而=》通+±*,

3

則實(shí)數(shù)x的值為（）

1241

a

A.-3B.--33-D.-9

【答案】D

【解析】，."AE=3EC>：.AC=^AE,

?：AD^xAB+-AC,

3

_____24____2___

AD=xXB+-x-AE=xAB+-AEf

339

Q1

'：B,I),￡三點(diǎn)共線，：.x+-=\,：.x=~.故選：D.

3、（2021?天水市第一中學(xué)高三月考（理））已知兩個(gè)非零向量：，以互相垂直，若向量

7=a+5??；=2二+4辦共線，則實(shí)數(shù)，的值為（）

A.5B.3

C.-D.2

2

【答案】C

【解析】因?yàn)椤缔k是非零向量，且互相垂直，所以荒=4。57工6，

因?yàn)?,1共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)M，使］〃Z，即2"+助=《44+54，

所以（2-4〃”=（5，-義）匕，又因?yàn)椤?小共線,所以｛5〃-/-0='=5,故選：0,

4、如圖所示，在AABC中，AB=a>BC=b<D，口分別為線段8C，AC上一點(diǎn),

且3D=2OC,CF=3FA,BE和AO相交于點(diǎn)E.

(1)用向量a，B表示瓦戶；

(2)假設(shè)麗=4麗+(1—之)詼=M而，用向量￡,B表示而并求出〃的值.

——3-1——2—2-8

(1)BF=--a+-b；(2)BE=——a+-h,〃=2.

44399

--1.....-2一

解：由題意得b=3E4，BD=2DC,所以AE=-AC,BD=-BC

43

(1)因?yàn)辂?麗+而，~AB=a>BC=b

所以87=函+,*=函+，(83一區(qū)4)

44、'

3—1—3-1-

=-BA+-BC=--a+-h.

4444

___31___.3___?

(2)由(1)知百聲=—23+—九而8方=二配=一方

4423

而屁=4麗+（1—;I）麗=〃而=>屁==

因?yàn)椋叟cB不共線，由平面向量基本定理得

.3

-A=U.

4

2（1_4=幺

Q

解得〃=§

所以BE=——a+-b,〃=?即為所求.

399

考點(diǎn)4平面向量基本定理

【例4】1、（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形"CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為

AO的中點(diǎn)，^DE=AAB+pAD,則彳+〃等于（）.

2、（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（理））己知等邊三角形49。的邊長(zhǎng)為4,。為三角形內(nèi)一點(diǎn),

S.OA+OB+2OC=6<則AAOB的面積是（）

A.限BB.述C.生亙D.2后

33

【答案】（1）A（2）D

【解析】（1）由平面向量基本定理，

化簡(jiǎn)詼=歷+荏=方+；/=_而+；（而+而）

1一3一

=-AB--AD

44f

131

所以丸=:,〃=一^,即4+〃=一故選：A.

442

（2）根據(jù)題意，設(shè)46的中點(diǎn)為〃，AABC是等邊三角形，則C￡>J_AB,

46的中點(diǎn)為〃，則麗+麗=2而，

又由況+而+2反=0，則反=-而，則。是切的中點(diǎn)，

ADB

又由的邊長(zhǎng)為4,則43=2,8=2百，則。。=百,

則S“Q8=；x4xG=26,故選：D.

3、（2021?四川射洪?高三（文））已知坂是不共線向量，設(shè)04=2a+石，OB=a+2b?

UUU11UUUI1j

OC=3>a-b>OD=a-3h>若△OA8的面積為3,則△OCD的面積為（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】A

【解析】<?'OA=2a+b>OB=a+2bOC=3a—b>OD=a-3b'

如圖，在平行四邊形OAMB中，

ui?iuuniuunuirirruiniuuuriuuruun3rr

AE=-AB=-（zOB-OA\x=-\zb-axyOE.QM=—（z04+08x）=二（z〃+/?x）

1iUini1UIH1Iuun111110.

設(shè)NQE4=g,則5^^=25丫辦七=2乂2'|0目?卜石卜吊6=3,即口上卜1,耳sin6=3

同理，在平行四邊形OCM9中，

uun1uim1uumuun、rrLiim1ULIH1uimuuu、,rr

FC=-DC=^（zOC-ODj=a+b,OF=^0N=^OzC+ODj=2（a-bJx

111?3R?UUtlLlllUlllliULIUL1UI1ULIU

可得OE=QFC,0F=4AE<-'-OE//FC-OF//AE；

所以所與我的夾角為?；蚱溲a(bǔ)角，

Iiiiini,.uua,IUID,OjUun,o|Uix..uun.o

則S70m=2SVOCT.=2x-x|OF||FC|sin（9=4|AE|x-|OE|sin6?=-x|AE|.|c）E|sin6?=-x3=8

AOCD的面積為8,故選：A

4、（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知AABC中，AB=2,就在而方向上的投影為3,0為AC的

中點(diǎn)，E為8。的中點(diǎn)，則下列式子有確定值的是（）

A.ABBDB.BD-ACC.CEABD.CEBD

【答案】AC

【分析】如圖，以A為原點(diǎn)，通的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)出

點(diǎn)的坐標(biāo)，然后逐個(gè)計(jì)算即可

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閄軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)榫驮诙较蛏系耐队盀?,

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(5,y),

40,0),8(2,0),

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，E為30的中點(diǎn)，

，，1v

對(duì)于A,ABBD=(2,0)(-Z)=l,所以A正確,

22

對(duì)于B,麗.衣=(g,/.(5,y)=|+5，所以B錯(cuò)誤，

—■—11311

對(duì)于C,CEAB=(一一,一一y>(2,0)=-一，所以C正確，

442

-------1131y113

對(duì)于D,CEBD=(——，一二四(一,2)=-----所以D錯(cuò)誤,

44-2288'

故選：AC

【變式訓(xùn)練】

1、(2021?江西省)如圖，在AABC中，D,E,尸分別是AB,AC,BC的中點(diǎn)，則()

A.AF=-3AD-BEB.AF^-3AD+BE

c.AF=3AD-BED.AF=3AD+BE

【答案】D

【解析】AF=^（AB+AC）=^（2AD+2AE）=Ab+AE=AD+（2AD+BE）=3AD+BE.

故選：D.

2、（2021?天水市第一中學(xué)高三月考（理））如圖所示，在AABC中，CB=?）cb，AD=2AE>

若麗=5，AC=b，貝iJ^=（）

Ij]一乙一j-I-I—J-

A.—a——hB.—a——bC.—a——hD.—a——h

63633366

【答案】B

【解析】因?yàn)槎?3①，AD=2AE

所以屈=g戶+珂=_；B+；xg麗=_/+:（麗-記=春￡_|石，

故選：B

3、（2021?湖北）在AABC中，C=90°,點(diǎn)〃在AB上，AD=3DB，\CB\=4,貝!I麗.前=

（）

A.8B.10C.12D.16.

【答案】C

【解析】在AA8C中，因?yàn)槎?3而，

所以團(tuán)=回+而=再+3通=m+3（/+函」回+3函，

4444

所以函①二函3函△回召+3麗2=0+義函2=]2

4444411

故選：C.

4、（2021?上海黃浦?盧灣高級(jí)中學(xué)高三月考）已知。是三角形A8C內(nèi)部的一點(diǎn)，

OA+2OB+3OC=6,貝IJAOAC的面積與AOAB的面積之比是（）

A.3B.2

23

C.2D.1

【答案】Bc

A

0

B

【解析】如下圖所示，D、E分別是BC、AC中點(diǎn),

由方+2萬+3詼=0

得西+阮=-2（礪+O。）即詼=_29，所以O(shè)E=2QD,

==

illSaCOE=S'AOE,SACOD~S2BOD，設(shè)S4Aoe=S］,S.ROC=§2,則^&COE^AAOE,

S.COD=S.BOD=條，由三角形相似比可得7%2_=；,解得與+星=5”，

2.+也+$.。03

22

因?yàn)榇?。￡：5加0=2：1,所以S,:Sz=2:l,即$2=3,所以，+3=巢4。8，

22

所以H=5S“O8,即△OAC的面積與△。鉆的面積之比是號(hào)故選：B.

考點(diǎn)5平面向量的數(shù)量積

【例5】1、（2021年全國(guó)高考甲卷）若向量滿足同=3點(diǎn)一囚=5,￡不=1,則欠=

【答案】3a

【分析】根據(jù)題目條件，利用￡-5模的平方可以得出答案

【詳解】???|￡-4=5二口一甲=藍(lán)+片一2￡%=9+忸（一2=25

M=3>/5.故答案為：3V2-

2,（2022河北省滄州市高三9月教學(xué)監(jiān)測(cè)）如圖，AABC中，AB=2AC=6,P,。分

別是BC的三等分點(diǎn)，若歷./=—3,則而?碩=（）

A.-1B.2C.3D.6

【答案】D

【分析】以通，/為基底，表示出Q,而，根據(jù)數(shù)量積公式代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】由題意得

恁?麗二箱（麗+麗卜苑（而+1於>沅［麗+］恁」通

\37I33）

^AC-\-AB+-AC\^-AC-AB+-AC2^-AC-AB+3^-3,所以

（33J333

2--------

-ACAB=-6.

3

所以福?而=而（通+|前）=麗｛通+|恁通）=通（；通+|恁）

2

=-ABAC+-AB=-6+lx6=6,故選:D

333

3、（2021?江蘇揚(yáng)州?高三月考）已知向量￡,B滿足歸一.=2,且B=則口的取

值范圍是（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,4]D.[1,4]

【答案】B

【解析】由冷耳=2可得（1耳=4即7+人2￡不=4,設(shè)向量夾角為。，則。€[0,可，

由數(shù)量積的定義可得：中+|邛_2同仰3。=4,因?yàn)槭?（1,6）,所以W=Ji75=2,

所以a-4同cos6=0,當(dāng)忖=0時(shí)，顯然成立；當(dāng)歸卜0時(shí)，可得cos6=#[,

riri1^1-同一HI2

因?yàn)??0,可，所以cose?-l,l],因?yàn)?>0,所以。,即同44a,可得0<%歸4,

4〃4〃

所以04同44,所以。的取值范圍是：[0,4],故選：B.

4、（2021?全國(guó)高三月考（理））已知在AABC中，AB=AC=2,8C=3,點(diǎn)E是邊8c

上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)麗?麗取得最小值時(shí)，|麗卜（）

A歷n歷「回nV14

ri?L?LJ?

4222

【答案】A

4+9-43

【解析】在AA8c中，AB=AC=2,BC=3,cosZABC=-------=-.