備戰(zhàn)高考數(shù)學一輪復習講義微專題14　空間幾何體的內(nèi)切球

微專題14空間幾何體的內(nèi)切球柱體與其內(nèi)切球例1如圖，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．(例1)(1)求兩球半徑之和；【解答】如圖，球心O1和O2在AC上，過O1，O2分別作AD，BC的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設O1的半徑為r，O2的半徑為R.由AB＝1，AC＝eq\r(,3)，得AO1＝eq\r(,3)r，CO2＝eq\r(,3)R，所以r＋R＋eq\r(,3)(r＋R)＝eq\r(,3)，所以R＋r＝eq\f(\r(,3),\r(,3)＋1)＝eq\f(3－\r(,3),2).(例1)(2)當兩球的半徑分別為多少時，兩球體積之和最小？【解答】設兩球體積之和為V，則V＝eq\f(4,3)π(R3＋r3)＝eq\f(4,3)π(r＋R)(R2－Rr＋r2)＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)[(R＋r)2－3rR]＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)))2－3R\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)－R))))＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3R2－\f(33－\r(,3),2)R＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)))2))，當R＝eq\f(3－\r(,3),4)時，V有最小值，故當R＝r＝eq\f(3－\r(,3),4)時，兩球體積之和最?。兪皆谥比庵鵄1B1C1－ABC中，已知A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為(A)A.eq\f(29,4) B.eq\f(19,2)C.eq\f(29,2) D.29解析：如圖，連接AC1.由底面三角形的三邊長知，底面三角形為直角三角形，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(AA1,2)＝1，分別取AC，A1C1的中點D，E，則外接球的球心是DE的中點O.由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝eq\r(,29)，所以外接球的半徑R＝OA＝eq\f(\r(,29),2)，所以eq\f(S外,S內(nèi))＝eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(29,4).(變式)錐體與其內(nèi)切球例2(2022·連云港預測)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，AB＝2eq\r(3)，若四棱錐P－ABCD存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)，此時四棱錐P－ABCD的體積為8eq\r(3).解析：如圖，取AB的中點M，CD的中點N，連接PM，PN，MN.由△PAB是正三角形，得PM⊥AB，又底面ABCD是矩形，所以MN⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM?平面PAB，MN?平面ABCD，因此PM⊥平面ABCD，MN⊥平面PAB.又AD∥MN∥BC，則AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD⊥PA，BC⊥PB.因為PM∩MN＝M，PM，MN?平面PMN，所以AB⊥平面PMN.又PN?平面PMN，所以AB⊥PN，而AB∥CD，則CD⊥PN，顯然△PAD≌△PBC，由球的對稱性及四棱錐P－ABCD的特征知，平面PMN截四棱錐P－ABCD的內(nèi)切球O得截面大圓，此圓是Rt△PMN的內(nèi)切圓，分別切MN，PM于點E，F(xiàn)，且四邊形OEMF為正方形．令AD＝x，而PM＝3，PN＝eq\r(x2＋9)，則內(nèi)切球的半徑r＝ME＝eq\f(1,2)(x＋3－eq\r(x2＋9))．四棱錐P－ABCD的表面積為S＝S△PAB＋2S△PAD＋S矩形ABCD＋S△PCD＝3eq\r(3)＋4eq\r(3)x＋eq\r(3)·eq\r(x2＋9)，由VP－ABCD＝eq\f(1,3)rS＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·PM，得eq\f(1,2)(x＋3－eq\r(x2＋9))·eq\r(3)(3＋4x＋eq\r(x2＋9))＝2eq\r(3)x·3，整理得6x·(3＋4x＋eq\r(x2＋9))＝12x·(x＋3＋eq\r(x2＋9))，即2x－3＝eq\r(x2＋9)，解得x＝4，因此，r＝1，所以內(nèi)切球的體積V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3)，四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝8eq\r(3).(例2)變式1已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(6)，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切，求此球的表面積與體積．【解答】如圖，球O是正三棱錐P－ABC的內(nèi)切球，點O到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑R，PH是正三棱錐的高，即PH＝1.設E是BC邊的中點，H在AE上．因為△ABC的邊長為2eq\r(,6)，所以HE＝eq\f(\r(,3),6)×2eq\r(,6)＝eq\r(,2)，所以PE＝eq\r(,3)，于是S△PAB＝S△PAC＝S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PE＝3eq\r(,2)，S△ABC＝eq\f(\r(,3),4)×(2eq\r(,6))2＝6eq\r(,3).由等體積法知，VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＋VO－ABC，所以eq\f(1,3)×6eq\r(3)×1＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×R×3＋eq\f(1,3)×6eq\r(3)×R，解得R＝eq\f(2\r(3),2\r(3)＋3\r(,2))＝eq\r(6)－2，所以S球＝4πR2＝4π(eq\r(6)－2)2＝8(5－2eq\r(6))π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(6)－2)3.(變式1)變式2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(,2)m，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則此球的最大半徑是eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m.(變式2)解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥DC.又PD＝m，PA＝PC＝eq\r(,2)m，則△PAD和△PCD都是直角邊長為m的等腰直角三角形，所以S△PAD＝S△PCD＝eq\f(1,2)m2.由題易知△PAB和△PBC也為直角三角形，所以S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)·eq\r(,2)m·m＝eq\f(1,2)·eq\r(,2)m2.當所放球的半徑最大時，此球為內(nèi)切球，設內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×m2×m＝eq\f(1,3)m2R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)m2R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(,2)m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(,2)m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)m2R，解得R＝eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m，所以此球的最大半徑是eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m.1.解決幾何體的內(nèi)切球問題，應先作出一個適當?shù)慕孛?一般作出多面體的對角面所在的截面)，這個截面應包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關系和數(shù)量關系．2.球的內(nèi)切問題(等體積法)．例如：如圖，在四棱錐P－ABCD中，內(nèi)切球為球O，求球O的半徑r.方法如下：VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，即V