高中數(shù)學(xué)6.1.2空間向量的數(shù)量積同步練習(xí)教師版蘇教版選擇性必修第二冊(cè)

6.1.2空間向量的數(shù)量積一、單選題1．下列各命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）①

②

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算律可推斷①③，利用數(shù)乘向量的結(jié)合律可推斷②，利用數(shù)量積的意義及相等向量推斷④作答.【解析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)知，①正確；由數(shù)乘向量的結(jié)合律知，②正確；因，③正確；都表示兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，表示與共線的向量，表示與共線的向量，即與不愿定相等，④不正確.故選：D2．在正方體中，有下列命題：①；②；③與的夾角為．其中正確的命題有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】依據(jù)空間向量的垂直和異面直線所成的角求解即可【解析】解：對(duì)于①，所以①正確；對(duì)于②，，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)椤?分別為面的對(duì)角線，所以,所以與的夾角為，所以③錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】此題考查空間向量垂直和異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題3．若向量垂直于向量和，向量，，且，則A． B．C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能【答案】B【分析】依據(jù)平面對(duì)量垂直的定義和數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，即可推斷．【解析】解：向量垂直于向量和，則，，又向量，所以，所以．故選：．4．在正三棱柱中，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，可得，依據(jù)投影向量的求法，代入公式，即可得答案.【解析】過作，分別以為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，所以，所以在上的投影向量為.故選：B5．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)已知可得，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【解析】因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.6．三棱錐中，，，，則等于A．0 B．2 C． D．【答案】A【解析】依據(jù)所給的條件把三棱錐底邊上的向量寫成兩條側(cè)棱的差，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，這樣應(yīng)用的邊長(zhǎng)和角都是已知的，得到結(jié)果．【解析】解：因?yàn)椋?，所以故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是把未知量轉(zhuǎn)化為已知量，用側(cè)棱做基底表示未知向量，屬于基礎(chǔ)題．7．已知空間向量滿意，，則與的夾角為（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】設(shè)與的夾角為θ，由，得，兩邊平方化簡(jiǎn)可得答案【解析】設(shè)與的夾角為θ，由，得，兩邊平方，得，因?yàn)椋?，解得，故選：D.8．正方體的棱長(zhǎng)為1，為棱的中點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律對(duì)選項(xiàng)逐一推斷，【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，平面，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，由垂直關(guān)系化簡(jiǎn)得，故D錯(cuò)誤，故選：B9．已知為兩兩垂直的單位向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果.【解析】由題意知：，，，.故選：B.10．已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（

）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A【分析】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【解析】如圖，平行六面體中，向量、、兩兩的夾角均為，且，，，.，故選：A.11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，設(shè)，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方體的性質(zhì)可知、、兩兩垂直，從而對(duì)化簡(jiǎn)可得答案；【解析】解：由題意可得，，所以，，所以，，所以，故選：B12．正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿意，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【解析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．二、多選題13．設(shè)，為空間中的隨意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】依據(jù)空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律一一推斷即可；【解析】解：對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橄蛄坎荒茏龀ǎ礋o意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確；故選：AD14．三棱錐中，兩兩垂直，且，下列命題為真命題的是（

）A． B．C．和的夾角為 D．三棱錐的體積為【答案】ABC【分析】依據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合棱錐體積公式逐一推斷即可.【解析】A：，因?yàn)閮蓛纱怪保?，而，所以，本命題是真命題；B：，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以，因此，本命題是真命題；C：，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以，所以，，因?yàn)橄嗷ゴ怪?，所以，而，所以，，因?yàn)橄嗷ゴ怪保?，而，所以，設(shè)和的夾角為，因?yàn)?，所以因此本命題是真命題；D：，因?yàn)閮蓛纱怪保?，所以，，因?yàn)橄嗷ゴ怪?，所以，而，所以，，因?yàn)閮蓛纱怪保?，所以三棱錐的體積為：，因此本命題是假命題，故選：ABC15．已知為正方體，則下列說法正確的有（

）A．；B．；C．與的夾角為；D．在面對(duì)角線中與直線所成的角為的有8條【答案】ABD【分析】畫出圖形，利用向量的運(yùn)算結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)推斷.【解析】如圖所示：A.由向量的加法運(yùn)算得，因?yàn)椋?，故正確；B.正方體的性質(zhì)易知，所以，故正確；C.因?yàn)槭堑冗吶切?，且，所以，則與的夾角為，故錯(cuò)誤；D.由正方體的性質(zhì)得過的面對(duì)角線與直線所成的角都為，這樣有4條，然后相對(duì)側(cè)面與之平行的對(duì)角線還有4條，共8條，故正確；故選：ABD16．定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有A．B．C．D．若，，，，則【答案】AD【解析】和須要依據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗(yàn)證兩邊是否恒成立；由定義驗(yàn)證若，且，結(jié)論成立，從而得到原結(jié)論不成立；依據(jù)數(shù)量積求出，，再由平方關(guān)系求出，的值，代入定義進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證即可．【解析】解：對(duì)于，，，，，故恒成立；對(duì)于，，，，故不會(huì)恒成立；對(duì)于，若，且，，，，，，，明顯不會(huì)恒成立；對(duì)于，，，，，即有．則恒成立．故選：．三、填空題17．已知四面體棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得.【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，所以，，，，所以.故答案為：18．設(shè)空間中有四個(gè)互異的點(diǎn)A?B?C?D，若，則的形態(tài)是___________.【答案】等腰三角形【分析】由，利用向量的減法和數(shù)量積運(yùn)算求解.【解析】解：因?yàn)?，所以，則，即，所以的形態(tài)是等腰三角形，故答案為：等腰三角形19．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，，為的中點(diǎn)，則的值為______.【答案】##0.5【分析】依據(jù)空間向量基本定理，用基地向量表示,進(jìn)而依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【解析】由題意得，故．故答案為：20．已知空間單位向量，，，，，則的最大值是___________.【答案】【分析】向量，，，平移共起點(diǎn)O，終點(diǎn)在半徑為1的球面上，令，，求出與的夾角，借助幾何圖形確定與夾角的最小值即可計(jì)算作答.【解析】因，，，是空間單位向量，則把向量，，，平移到以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在半徑為1的球面上，如圖，由得，解得，，同理，令，，則有，且，平方解得，，于是得繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，明顯，由此得，，視察圖形知，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到在平面內(nèi)，且都在內(nèi)時(shí)，向量與的夾角最小，令此最小角為，因此，，，，所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間兩個(gè)向量夾角為一確定的銳角時(shí)，先將二向量平移到共起點(diǎn)，并將其中一個(gè)向量固定，另一向量運(yùn)動(dòng)可形成一圓錐的側(cè)面，再借助幾何圖形的直觀性解決問題.四、解答題21．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)用表示，并求出；(2)求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由向量加法的三角形法則表示，再把平方即可得到答案.（2）用表示，然后證明.（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，所以,所以，所以.（2），所以.22．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)0【分析】（1）記，利用基底表示所求向量，然后將向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算可得；（2）利用基底表示所求向量，依據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算可得.（1）記，則：，，，，，即有；（2）．23．如圖所示，已知空間四邊形ABDC的對(duì)角線和每條邊長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】確定向量的模與向量的夾角，再運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.（1）因?yàn)椋深}意，可知，所以，所以.（2）.（3）由題意，可知，.（4）.24．已知空間向量與夾角的余弦值為，且，，令，．(1)求，為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求，夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用算出答案即可；（2）分別求出、、的值即可.【解析】（1）依據(jù)條件，，∴；∴；（2）；，；∴.25．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)推斷與是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【分析】依據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算，即可求解.(1)解：依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得，.(2)解：依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，則.(3)解：依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得；則，所以與垂直．26．如圖所示，點(diǎn)是矩形所在平面外一點(diǎn)，且平面，，分別是，上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn).（1）求滿意的實(shí)數(shù)，，的值；（2）若，，求的長(zhǎng).【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用幾何圖形中各線段所代表的空間向量，結(jié)合空間向量加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為的線性表達(dá)式，即可知，，的值；（2）由已知條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求的模，即為的長(zhǎng).【解析】（1）取的中點(diǎn)