高中數(shù)學(xué)6.3.3空間角的計(jì)算同步練習(xí)教師版蘇教版選擇性必修第二冊(cè)

6.3.3空間角的計(jì)算一、單選題1．在正方體ABCD—中，異面直線AD，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，則，設(shè)異面直線AD，所成角為，則.故選：D2．若平面的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面的夾角為，則下列關(guān)系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由線面角的向量求法推斷【解析】由題意得，故選：D3．已知在直三棱柱中，，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角正弦值.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得．又，所以與平面所成角的正弦值為，故選：A.4．已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】依據(jù)法向量坐標(biāo)求出其夾角，然后依據(jù)法向量夾角與二面角的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【解析】，即∴兩平面所成二面角為或故選:C.5．已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式結(jié)合特別角的三角函數(shù)值求解即可．【解析】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)槭歉骼忾L(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．故選：B．6．如圖，在平行六面體中，，，則直線與直線所成角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基底表示出，結(jié)合向量夾角公式求得正確答案.【解析】連接，以為空間一組基底，則，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，則,由于異面直線夾角的取值范圍是，所以.故選：B7．在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量可求線面角的正弦值.【解析】因?yàn)槠矫?，而平面，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則且，故，故，，，設(shè)平面的法向量為，則：由可得，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.8．如圖，在正三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則直線AF與平面PEF所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法來求直線與平面所成角的正弦值.【解析】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.故選：A9．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積探討面面角.10．如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且，將沿DE折起（點(diǎn)A與P重合），使得平面平面BCED，則折疊后的異面直線PB，CE所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別以DB，DE，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求異面直線所成角的余弦值，再得正弦值．【解析】由題意可知DB，DE，DP兩兩垂直，分別以DB，DE，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，到直線的距離為，則，，，，從而，.故，因此是鈍角，.故選：D．11．在長(zhǎng)方體中，，，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的取值范圍，由此求得，即可得解.【解析】以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為則，令，得所以，由于，，，，，，由于，所以故選：D12．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（

）A．當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B．當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C．當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D．當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大【答案】C【分析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可推斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性可推斷.【解析】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而削減，故選：C.二、多選題13．如圖，在三棱錐中，DA，DB，DC兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為1，E為BC中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．為與平面所成的角C．為點(diǎn)D到平面的距離 D．為二面角的平面角【答案】ABC【分析】利用空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，結(jié)合線、面垂直、平行的性質(zhì)和判定依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推理論證即可.【解析】在三棱錐中，DA，DB，DC兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為1，E為BC中點(diǎn)，面，面，面.對(duì)A，在中，由得：，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，面，與面不垂直（過同一點(diǎn)D不行能有兩條直線同時(shí)與面垂直），不是在面內(nèi)的射影，故不是與平面所成的角，因此B選項(xiàng)不正確；對(duì)C，若為點(diǎn)D到平面的距離，則平面，則在中，與沖突，因此C選項(xiàng)不正確；對(duì)D，E為BC中點(diǎn)，由題意知，，依據(jù)二面角的平面角的定義知，為二面角的平面角，故D選項(xiàng)正確.故選：ABC.14．（多選）在正方體中，若M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．異面直線所成的角為 B．異面直線所成的角可為C．異面直線所成的角為 D．異面直線所成的角可為【答案】ABC【分析】利用空間向量的數(shù)量積逐一推斷即可.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且，則，∴A正確；∵，∴，∴異面直線所成角的余弦值為，又有解，∴B正確；，∴C正確；∵，∴與所成的角等于與所成的角，該角小于，∴D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，利用空間向量的數(shù)量積求異面直線所成的角，考查了基本運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知正方體中，平面，平面，，記直線與平面所成角為，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】連接空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量法求出，由的取值范圍，求出的取值范圍，即可推斷.【解析】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即，令，則，又，所以，因?yàn)椋?，所以，所?即，故符合題意的有B、C；故選：BC16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．幾何體的外接球半徑B．平面C．異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為D．面與底面所成角正弦值的取值范圍為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，幾何體的外接球與正方體的外接球相同，可求得半徑；對(duì)于B，利用面面平行的性質(zhì)定理即可推斷；對(duì)于C，找到異面直線與所成角，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，列出正弦值的等式，再結(jié)合的取值范圍，即可求解；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，結(jié)合三角函數(shù)的學(xué)問可進(jìn)行求解.【解析】對(duì)于A，因?yàn)閹缀误w關(guān)于正方體的中心對(duì)稱，其外接球與正方體的外接球相同，半徑為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，且，故為平行四邊形，所以，而平面，平面，故平面，同理可證平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對(duì)于C，由平面，平面，可得，即，由于，則異面直線與所成的角為，其正弦值為，在中，易得，所以，所以異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則有，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，由題意知，取平面的一個(gè)法向量，則，則面與底面所成角正弦值為，由于，故當(dāng)時(shí)取最小值，則取到最小值，當(dāng)或時(shí)取最大值12，則取到最大值，所以面與底面所成角正弦值的取值范圍為，故D正確，故選：BCD.三、填空題17．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，且，若，，則二面角A-PB-C的余弦值為______．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合二面角的空間向量的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【解析】在平面內(nèi)作，垂足為，因?yàn)?，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.故答案為：.18．已知直四棱柱中，，且，若的中點(diǎn)為，則直線與平面所成的角的正弦值為______.【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，1，，用向量法可求線面角的正弦值．【解析】解：直四棱柱中，所以，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，，1，，，2，，，0，所以，，，，0，，，2，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．故答案為：19．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為．用以上學(xué)問解決下面問題：已知平面的方程為，直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為_________．【答案】【分析】由已知定義可確定平面的法向量和直線的方向向量，由線面角的向量求法可求得結(jié)果.【解析】由題意知：平面的一個(gè)法向量，直線的一個(gè)方向向量，，即直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.20．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐的體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角．則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】②③【分析】對(duì)①：由連接，，由平面，即可推斷；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可推斷；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可推斷；對(duì)②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解推斷.【解析】解：對(duì)①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤．對(duì)②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.四、解答題21．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，平面，(1)求與所成的角(2)平面與平面所成的銳二面角余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式求出異面直線的夾角；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求出兩平面的法向量，從而得到銳二面角的余弦值.【解析】（1）由，可得⊥，又平面，故以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，由，則，所以，所以與所成的角是；（2）由題意為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，由，令，則，故，所以，所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是.22．如圖，在三棱錐中，平面為的中點(diǎn)，.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的方向向量以及平面的法向量，即可利用向量法求得結(jié)果；（2）依據(jù)（1）中所求，再求得的法向量，即可利用向量法求得二面角的余弦值.【解析】（1）因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，又面，故，故過點(diǎn)作的平行線為軸，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，故可得，取，則，則因?yàn)椋?，故直線與平面所成角的正弦值為.（2）不妨取平面的一個(gè)法向量為，所以.因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.23．如圖，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，平面平面.(1)證明：平面；(2)若與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出幫助線，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，得到BD⊥，再證明出AB⊥，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解面面角的余弦值.【解析】（1）取AB的中點(diǎn)N，AC的中點(diǎn)D，連接BD，，CN，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，，所以，BD⊥AC，CN⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為AC，平面，因?yàn)锽D⊥AC，所以BD⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以BD⊥，因?yàn)?，平面，所以AB⊥平面，因?yàn)槠矫妫訟B⊥，因?yàn)?，平面ABC，所以平面ABC；（2）過點(diǎn)C作CFAB，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CN所在直線為x軸，CF所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得：，設(shè)，則，故，故，因?yàn)?，解得：，故設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)，則，則，設(shè)平面與平面夾角的余弦值為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.24．如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，分別是，，邊的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)如圖所示的點(diǎn)的位置，為邊的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，證明為平行四邊形，再依據(jù)線面平行的判定證明即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，，則，再以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，再依據(jù)空間向量求解面面角即可.【解析】（1）證明：連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，，分別是，，邊的中點(diǎn)，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，，，兩兩垂直．如圖所示，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得．易知為平面的一個(gè)法向量，由，得平面與平面夾角的余弦值為．25．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面，，與平面所成角為30°，為上一點(diǎn)且．(1)證明：；(2)設(shè)平面與平面的交線為，在上取點(diǎn)使，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明；（1）依據(jù)與平面所成角為30°分析可得，建系，利用空間向量處理面面夾角問題.【解析】（1）∵四邊形為矩形，則，又∵平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，則，∵，且，平面，∴平面，平面，則．（2）∵平面，則為與平面所成角，∴，又∵，則，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∵，且，∴，令，則，∴，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，即，平面的一個(gè)法向量為，∴，∵，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，即平面與平面夾角的余弦值的最大值為，∴平面與平面夾角的正弦值的最小值為.26．如圖，分別是矩形上的點(diǎn)，，，把四邊形沿折疊，使其與平面垂直，如圖所示，連接，得到幾何體．(1)當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，證明：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）利用題設(shè)條件及面面垂直的性質(zhì)定理證得兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得，由此可證得；（2）利用（1）中結(jié)論，求出平面與平面的法向量，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)公式得到關(guān)于的方程，解之即可