一輪復習課件23函數(shù)的奇偶性對稱性1

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性內(nèi)容索引必備知識·自主學習核心考點·精準研析核心素養(yǎng)·微專題核心素養(yǎng)測評【教材·知識梳理】1.函數(shù)的奇偶性定義相同條件:對定義域內(nèi)?x不同條件:f(-x)與f(x)一個是_____,一個是相反“數(shù)”圖像不同:一個關于____對稱,一個關于_____對稱.相等y軸原點2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有____________,那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個___________,那么這個_________就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)最小正數(shù)【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)偶函數(shù)圖像不一定過原點,奇函數(shù)的圖像一定過原點. ()(2)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件. ()(3)若T是函數(shù)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期. ()(4)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關于直線x=a對稱. ()(5)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于點(b,0)中心對稱. ()提示:(1)×.奇函數(shù)只有在原點有定義時才過原點,而偶函數(shù)不管在原點有無定義,都不一定過原點.(2)√.因為函數(shù)具有奇偶性,所以定義域一定關于原點對稱,而定義域關于原點對稱的函數(shù)不一定具有奇偶性.(3)√.由周期函數(shù)的定義可知正確.(4)√.因為y=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x),可知x=a為對稱軸.(5)√.由于y=f(x+b)的圖像關于(0,0)對稱,根據(jù)圖像平移變換,知y=f(x)的圖像關于(b,0)對稱,正確.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱考點一、T12忽略奇偶函數(shù)定義中任意一個自變量考點一、T43周期性與軸對稱所對應解析式的差別考點二、T34分段函數(shù)奇偶性的解析式考點三、角度1【教材·基礎自測】1.(必修1P50例2改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x【解析】選D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).其余A、B、C選項均不滿足f(-x)=f(x).2.(必修1P110T3(3)改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當x∈[-1,1)時,f(x)=則=

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【解析】答案:13.(必修1P109習題A組T12改編)已知定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=log2x-3x,則f(-1)=

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【解析】因為f(1)=log21-3=-3,又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=3.答案:3

解題新思維活用奇函數(shù)最值性質(zhì),抽象函數(shù)的對稱性解題

【結論】1.奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.2.抽象函數(shù)的對稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖像關于直線x=對稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖像關于點(a,0)對稱.(3)若方程y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)的圖像關于(a,b)對稱.【典例】1.設函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=

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【解析】顯然函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)==1+,設g(x)=,則g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖像的對稱性知g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:22.函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖像關于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為

. 世紀金榜導學號

【解析】因為函數(shù)y=f(x-1)的圖像關于點(1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關于(0,0)對稱,所以f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以f(2020)+f(2022)=-f(2018)+f(2018+4)=-f(2018)+f(2018)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.答案:4【遷移應用】對于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),選取a,b,c的一組值計