定軸轉動剛體內各點的加速度講解

BAO(+)RvatMOanM

二、角加速度

與an

，at的關系

設角加速度如圖所示at

(R

)

R

R

d

t

d

t

d

td

v

d

d

切向加速度即：轉動剛體內任一點的切向加速度(又稱轉動加速度)的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積。法向加速度:2 22n(R

)

v

a

R

R即：轉動剛體內任一點的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。它的方向由角加速度的符號決定，當

是正值時，它沿圓周的切線，指向角

的正向；否則相反。如果

與

同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉動，這時點的切向加速度at與速度v的指向相同；O

vatanMO

vatanM如果

與

異號，剛體作減速轉動，

at與v的指向相反。這兩種情況如圖所示。結論：(1)

在每一瞬時，轉動剛體內所有各點的速度和加速度

的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。點的全加速度為：（一般情況下不合成）a

a

2

a2

R

2

4t

ntan

atna(2)

在每一瞬時，剛體內所有各點的加速度a與半徑間的夾角

都有相同的值。解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為

d

2t

4d

t2d

t2

d

2當t

=1s時，

=2rad/s，

=-2rad/s2因此輪緣上任一點M的速度和加速度為v

R

0.4m/s

a

R

0.4m/s2

ta

R

2

0.8m/s2n方向如圖所示。at[例]半徑R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉動方程

t

2

4t，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點M的速度和加速度。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當t=1s時，物體A的速度和加速度。OMAa RvnA Ms

s上式兩邊求一階及二階導數，則得vA

vMtAMa

a因此vA

0.4m/sa

0.4m/s2A因為[例]已知：重物A的aA=1m/s2（常數），初瞬時速度v0=1.5m/s。方向如圖示R=0.5m，r

=0.3m。求：①滑輪3s內的轉數；②重物B在3s內的行程；③重物B在ｔ＝3s時的速度；④滑輪邊上C點在初瞬時的加速度；⑤滑輪邊上C點在ｔ＝3s時的加速度。

a

1m/s2CA解：①

因為繩子不可以伸長，所以有

t

1

t

2

3

3

1

2

32

18rad，n

2.86(圈）

2

2

02s

r

0.3

18

5.4m②vB

r

0.3

9

2.7m/st

1

2

rad/s2R 0.5Ca

（ ）常數③

0

t

3

2

3

9

rad/s（ ）vC

vA

1.5m/s，

1.5

3rad/sR 0.5

vC（ ）

0④ t

=

0時，at

a

1m/s2an2

0.5

32

4.5m/s20CAC

R

a

(at

)2

(an

)2

12

4.52

4.61

m/s2C C Catan1tan

C

0.222，

12.5

4.5C⑤

t=3s

時，at

a

1m/s2，an

R

2

0.5

9

40.5m/s2CA C2

a

12

40.52

40.51m/s2，tan

1

0.0247，

1.41

40.51C02

at

a

sin

4

sin

30

R

0.4

5

rad/sR

at

R

a

sin

解：

t

1

t

2

1

5

t

2

2.5t

202 2[例] 已知：圓輪O由靜止開始作等加速轉動，OM＝0.4m，在某瞬時測得

aM

4

m/s2，

300求：

轉動方程，

t

=5s時，Ｍ點的速度和法向加速度的大小。

0

t

5t，

vM

R

0.4

5t

2t

當t

=5s時，vM

2

5

10m/s

0

0an2102

R 0.4