三角形的外角與內(nèi)角和計算技巧

三角形的外角與內(nèi)角和計算技巧一、三角形的外角定義：三角形的一個外角是指與三角形的一個內(nèi)角不在同一直線上的角。三角形的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形的外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角。外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)（即外角加相鄰內(nèi)角等于180°）。計算方法：已知三角形的兩個內(nèi)角，求第三個內(nèi)角的外角：用180°減去這兩個內(nèi)角的和。已知三角形的一個內(nèi)角和一個外角，求另一個內(nèi)角：用180°減去這個外角。二、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和等于180°。畫出任意一個三角形，將其分為兩個三角形。每個小三角形的內(nèi)角和都是180°，因此，整個三角形的內(nèi)角和是360°。由于兩個小三角形的公共角被計算了兩次，所以將其減去一次，得到三角形的內(nèi)角和為180°。計算方法：已知三角形的兩個內(nèi)角，求第三個內(nèi)角：用180°減去這兩個內(nèi)角的和。已知三角形的三個內(nèi)角，驗證內(nèi)角和是否等于180°。三、外角與內(nèi)角和的聯(lián)系每個三角形的三個外角和等于360°。三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，即外角加相鄰內(nèi)角等于180°。利用外角可以轉(zhuǎn)換求解內(nèi)角，利用內(nèi)角和定理可以驗證外角的計算結(jié)果。四、應(yīng)用拓展利用三角形外角性質(zhì)解決幾何問題，如證明線段平行、求解三角形面積等。利用內(nèi)角和定理求解三角形的問題，如求解三角形的角度、邊長等。外角與內(nèi)角和的知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如測量土地面積、建筑物的設(shè)計等。通過以上知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握三角形外角與內(nèi)角和的計算技巧，并能運(yùn)用到實(shí)際問題中。習(xí)題及方法：習(xí)題：已知三角形ABC的內(nèi)角A、B分別為90°和45°，求三角形ABC的外角D的度數(shù)。答案：外角D的度數(shù)為180°-90°-45°=45°。解題思路：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，外角D等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，即90°和45°。習(xí)題：已知三角形DEF的一個內(nèi)角為60°，另一個內(nèi)角的外角為80°，求三角形DEF的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-60°-(180°-80°)=40°。解題思路：根據(jù)內(nèi)角和定理，三角形的三個內(nèi)角和等于180°。由題意知其中一個內(nèi)角的外角為80°，因此第三個內(nèi)角等于180°減去已知的兩個內(nèi)角的和。習(xí)題：如果一個三角形的兩個內(nèi)角分別為30°和40°，那么這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)是多少？答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-30°-40°=110°。解題思路：根據(jù)內(nèi)角和定理，三角形的三個內(nèi)角和等于180°，所以第三個內(nèi)角等于180°減去已知的兩個內(nèi)角的和。習(xí)題：一個三角形的三個外角的度數(shù)分別為80°、100°和120°，求這個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：三個內(nèi)角的度數(shù)分別為100°、80°和20°。解題思路：三角形的三個外角的度數(shù)之和等于360°，所以每個外角的度數(shù)等于360°除以3，即120°。由于外角等于它相鄰的內(nèi)角之和，所以每個內(nèi)角的度數(shù)等于180°減去它對應(yīng)的外角的度數(shù)。習(xí)題：在三角形ABC中，內(nèi)角A是直角，內(nèi)角B是銳角，且內(nèi)角B的外角是45°，求內(nèi)角C的度數(shù)。答案：內(nèi)角C的度數(shù)為135°。解題思路：由于內(nèi)角A是直角，所以內(nèi)角A的度數(shù)為90°。內(nèi)角B的外角是45°，根據(jù)外角的性質(zhì)，內(nèi)角B的度數(shù)為180°-45°=135°。因此，內(nèi)角C的度數(shù)為180°-90°-135°=135°。習(xí)題：如果一個三角形的兩個內(nèi)角的外度數(shù)分別為50°和60°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為70°。解題思路：由于一個三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，所以兩個內(nèi)角的度數(shù)之和為180°-50°=130°。因此，第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-130°=70°。習(xí)題：在等腰三角形ABC中，底角A和B相等，頂角C是直角，求三角形ABC的底角的度數(shù)。答案：底角A和B的度數(shù)為45°。解題思路：由于頂角C是直角，所以頂角C的度數(shù)為90°。根據(jù)內(nèi)角和定理，三角形的三個內(nèi)角和等于180°。因此，底角A和B的度數(shù)之和為180°-90°=90°。由于底角A和B相等，所以每個底角的度數(shù)為90°其他相關(guān)知識及習(xí)題：習(xí)題：在三角形ABC中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是70°，另一個內(nèi)角的度數(shù)是50°，求第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為60°。解題思路：根據(jù)內(nèi)角和定理，三角形的三個內(nèi)角和等于180°。所以第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-70°-50°=60°。習(xí)題：在等邊三角形ABC中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是60°，求這個三角形的其他兩個內(nèi)角的度數(shù)。答案：其他兩個內(nèi)角的度數(shù)也是60°。解題思路：由于等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，所以其他兩個內(nèi)角的度數(shù)也都是60°。習(xí)題：在三角形DEF中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是45°，另一個內(nèi)角的外角是70°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為105°。解題思路：由于一個內(nèi)角的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，所以另一個內(nèi)角的度數(shù)為180°-70°=110°。因此，第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-45°-110°=105°。習(xí)題：在三角形ABC中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是30°，另一個內(nèi)角的外角是80°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為70°。解題思路：由于一個內(nèi)角的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，所以另一個內(nèi)角的度數(shù)為180°-80°=100°。因此，第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-30°-100°=70°。習(xí)題：在三角形DEF中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是90°，另一個內(nèi)角的外角是45°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為45°。解題思路：由于一個內(nèi)角的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，所以另一個內(nèi)角的度數(shù)為180°-45°=135°。因此，第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-90°-135°=45°。習(xí)題：在等腰三角形ABC中，底角A和B相等，頂角C是直角，求三角形ABC的底角的度數(shù)。答案：底角A和B的度數(shù)為45°。解題思路：由于頂角C是直角，所以頂角C的度數(shù)為90°。根據(jù)內(nèi)角和定理，三角形的三個內(nèi)角和等于180°。因此，底角A和B的度數(shù)之和為180°-90°=90°。由于底角A和B相等，所以每個底角的度數(shù)為90°。習(xí)題：在三角形XYZ中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是120°，另一個內(nèi)角的外角是60°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：第三個內(nèi)角的度數(shù)為150°。解題思路：由于一個內(nèi)角的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，所以另一個內(nèi)角的度數(shù)為180°-60°=120°。因此，第三個內(nèi)角的度數(shù)為180°-120°-120°=150°。習(xí)題：在三角形LMN中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是135°，另一個內(nèi)角的外角是90°，求這個三角形的第三個內(nèi)角的度數(shù)。答