專題 相似三角形四種模型 中考數(shù)學(xué)

專題12相似三角形四種模型通用的解題思路：題型一：相似三角形基本模型（X字型）【方法點(diǎn)撥】基本模型：X字型（平行）反X字型（不平行）題型二：相似三角形基本模型（A字型）【方法點(diǎn)撥】基本模型：A字型（平行）反A字型（不平行）題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））【方法點(diǎn)撥】基本模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當(dāng)D時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））【方法點(diǎn)撥】基本模型：旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.題型一：相似三角形基本模型（X字型）1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點(diǎn)，測(cè)得，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值，2．（2024?西安校級(jí)模擬）小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀從測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，點(diǎn)，，，在同一水平線上．已知，，觀測(cè)儀高，觀測(cè)儀高，，，深坑寬度，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經(jīng)凸透鏡折射后，過焦點(diǎn)，并與過凸透鏡中心的光線交于點(diǎn)，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．（1）如圖2，當(dāng)蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時(shí)，即，請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明此時(shí)“不成像”；（2）若蠟燭的長(zhǎng)為，物距，焦距，求像距和像的長(zhǎng)．4．（2023?浉河區(qū)校級(jí)三模）綜合與實(shí)踐瑩瑩復(fù)習(xí)教材時(shí)，提前準(zhǔn)備了一個(gè)等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，展開后，她把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點(diǎn)，則點(diǎn)就是的重心．教材重現(xiàn)：如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個(gè)點(diǎn)的位置嗎？在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點(diǎn)．（1）初步觀察：連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：；（2）初步探究：請(qǐng)幫助瑩瑩求出的面積；（3）猜想驗(yàn)證；瑩瑩通過測(cè)量驚奇地發(fā)現(xiàn)，．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）拓展探究：瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直接寫出拼成四邊形時(shí)的長(zhǎng)．5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，速度為每秒個(gè)單位．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求所在的扇形的面積；（3）當(dāng)時(shí)，求的值；（4）作半徑的垂直平分線交于點(diǎn)、，連結(jié)．當(dāng)將線段分成的兩部分時(shí)，直接寫出的值．6．（2023?海曙區(qū)校級(jí)三模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，是的外接圓，，設(shè)的半徑為，．（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：是切線；（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．①如圖3，若為直徑，求的長(zhǎng)；②如圖4，若點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：．7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點(diǎn)、、在一條直線上，聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．（1）如圖1，若交于點(diǎn)．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點(diǎn)在線段上．（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)時(shí)，，證明：；（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)，點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)時(shí)，證明：①；②；（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，，，求長(zhǎng)．10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，．并給出如下不完整的證明過程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，．（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時(shí)，如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內(nèi)接于圓，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長(zhǎng)．

題型二：相似三角形基本模型（A字型）1．（2023?無(wú)錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點(diǎn)．，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的半徑．2．（2024?武威一模）已知：如圖，點(diǎn)在三角形的邊上，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．求證：（1）；（2）．3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點(diǎn)分別為，．（1）求證：；（2）連接，與交于點(diǎn)，連接，，若，求的值．4．（2024?巴彥縣一模）為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．甲乙圖例方案如圖①是測(cè)試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個(gè)測(cè)試距離為的小視力表②．通過測(cè)量大視力表中“”的高度的長(zhǎng)），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度的長(zhǎng)）使用平面鏡成像的原理來(lái)解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測(cè)量視力表的全長(zhǎng)就可以計(jì)算出鏡長(zhǎng)（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？（2）乙生的方案中如果視力表的全長(zhǎng)為，請(qǐng)計(jì)算出鏡長(zhǎng)至少為多少米．5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開展測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量報(bào)告如下．課題測(cè)量旗桿的高度成員組長(zhǎng)：組員：，，測(cè)量工具皮尺，標(biāo)桿測(cè)量示意圖說(shuō)明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿，觀測(cè)者沿著直線后退到點(diǎn)，使眼睛、標(biāo)桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)觀測(cè)者與標(biāo)桿的距離觀測(cè)者與旗桿的距離標(biāo)桿的長(zhǎng)觀測(cè)者的眼睛離地面的距離問題解決如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿的高度．6．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）陽(yáng)光明媚的一天實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學(xué)樓頂端在一條直線上．此時(shí)他起身在處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)處，測(cè)得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長(zhǎng)為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米處距離地面的高度為0.6米，又測(cè)得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，8．（2024?西安校級(jí)模擬）為了測(cè)量物體的高度，小小帶著工具進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點(diǎn)沿后退，當(dāng)退行2米到處時(shí)，恰好在鏡子中看到物體頂點(diǎn)的像，此時(shí)測(cè)得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和物體頂點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為2.6米，為3.5米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算的高度．9．（2024?西安校級(jí)四模）每到三月就會(huì)讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標(biāo)志性景點(diǎn)，為了測(cè)出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計(jì)出了下面的測(cè)量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，、之間有一個(gè)花圃無(wú)法測(cè)量，然后在處放置一個(gè)平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂?shù)南?，此時(shí)米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．10．（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故而書名由此而來(lái)，它是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現(xiàn)在要測(cè)量谷的深度，拿一個(gè)高為6尺的“矩尺”仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長(zhǎng)線上重新放置“矩尺”，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、11．（2024?河南一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說(shuō)，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注序》某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標(biāo)桿和，標(biāo)桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標(biāo)桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上；從標(biāo)桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標(biāo)桿的水平距離．注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)．12．（2023?益陽(yáng)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：△；（2）求證：；（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．13．（2024?沭陽(yáng)縣校級(jí)模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)：①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．（1）如圖1，若交于點(diǎn)．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，，，．（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得的值最?。咳舸嬖?，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)．2．（2024?太白縣一模）為完成社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，曉玲打算去測(cè)量大雁塔南廣場(chǎng)上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個(gè)矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長(zhǎng)線上，并在頂點(diǎn)處懸掛一個(gè)鉛錘，恰好交于點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到雕塑的距離為，，，點(diǎn)到地面的距離為，，，于點(diǎn)，所有點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，請(qǐng)求出玄奘雕塑的高．3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)，，在同一直線上，，求證：；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在中，，點(diǎn)是的內(nèi)心、若，，則的長(zhǎng)為．4．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，求的長(zhǎng)；問題解決：（2）如圖②，在矩形場(chǎng)地中，米，米，為對(duì)角線，現(xiàn)在要在邊上設(shè)置一個(gè)門，在上安裝一個(gè)掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經(jīng)過測(cè)試將掃描范圍設(shè)置為時(shí)，效果最佳，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)搭建一個(gè)帳篷，則將掃描儀放置距離多長(zhǎng)距離時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為多少？5．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．6．（2024?濱?？h一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．7．（2023?武漢模擬）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．（1）如圖（1），若，求證：；（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接，若，，求證：．8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動(dòng)．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長(zhǎng)分別是12和13，將頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．初步探究：（1）試猜想線段與的關(guān)系，并加以證明；問題解決：（2）如圖②，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)；（3）在圖②中，若與交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．9．（2023?商丘二模）綜合與實(shí)踐【動(dòng)手操作】如圖①，四邊形是一張矩形紙片，，．先將矩形對(duì)折，使與重合，折痕為，沿剪開得到兩個(gè)矩形．矩形保持不動(dòng)，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的形狀是，面積是；（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的面積；【引申探究】（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線所在的直線上時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．10．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，①如果為經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時(shí)，求的值；②經(jīng)過、兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．11．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱這兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”．（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是；（2）如圖1，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在的邊上，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與“共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．12．（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）如圖，以矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知，，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形．（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））1．（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形和矩形共用頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．2．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系：．（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系：．（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．①求的值；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．3．（2023?山陰縣模擬）在學(xué)習(xí)鏡面反射后，小明知道了當(dāng)入射光線與鏡面垂直時(shí)，反射光線將與入射光線重合，沿原路返回．他利用此現(xiàn)象設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量物體高度的工具．項(xiàng)目圖例說(shuō)明測(cè)量工具橫截面圖直角三角形中，，米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在點(diǎn)處固定一面平面鏡，矩形為支架，在支架底部安裝輪子，方便移動(dòng)，支架的高度（包含輪子的高度）米．測(cè)量示意圖在建筑物的頂端處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板大小忽略不計(jì)，將測(cè)高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面上移動(dòng)工具，當(dāng)紅外線燈照射到點(diǎn)處，且反射光線落在白色紙板上時(shí)，停止移動(dòng)測(cè)高工具．待測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)在一次實(shí)際測(cè)量過程中，小明測(cè)得測(cè)高工具與建筑物的水平距離米，請(qǐng)計(jì)算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)．4．（2023?海城市校級(jí)三模）已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．5．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）問題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)思考當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來(lái)解決問題．嘗試解決將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，又，，．△為三角形，的度數(shù)為．類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．6．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）如圖，和都是直角三角形，，．（1）如圖1，證明：；（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，證明：；（3）如圖3，若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．（2023?亳州二模）如圖1，在和中，，．（1）①求證：；②若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，若，．求證：．8．（2024?邳州市校級(jí)一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．9．（2023?開陽(yáng)縣模擬）【特例感知】（1）如圖①，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，寫出圖中一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形；【類比遷移】（2）如圖②，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說(shuō)明理由．【方法運(yùn)用】如圖③，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是否有最小值，若有請(qǐng)求出最小值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023?獲嘉縣模擬）在中，，，為上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)過程中與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知，，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．11．（2023?順城區(qū)三模）如圖，是等邊三角形，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，的角平分線交直線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由；（3）若，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．12．（2023?郴州模擬）如圖1，在中，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作，交于點(diǎn)．如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，，．在旋轉(zhuǎn)過程中，完成以下問題，：（1）如圖2，求證：；（2）如圖3，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，求的值；（3）如圖2，若，求面積的最小值．13．（2023?南山區(qū)校級(jí)二模）已知正方形，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，的平分線所在直線與直線相交于點(diǎn)．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)為銳角時(shí)，請(qǐng)先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補(bǔ)全圖形，求證：；【深入探究】（2）在（1）的條件下，①的度數(shù)為；②連接，猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【拓展思考】（3）若正方形的邊長(zhǎng)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度．14．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在等腰直角中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①求證：；②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．15．（2023?霍林郭勒市校級(jí)三模）已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．16．（2021?日照）問題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為．17．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，為邊上一點(diǎn)且，為上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．18．（2023?沈河區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，四邊形中，，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．（1）判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求的度數(shù)；（3）如圖2，在（2）的條件下，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且點(diǎn)，，在一條直線上直接寫出的值．19．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）和是以點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的等腰三角形，其中，，，連接．（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．若，求證：；（3）如圖3，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．專題12相似三角形四種模型通用的解題思路：題型一：相似三角形基本模型（X字型）【方法點(diǎn)撥】基本模型：X字型（平行）反X字型（不平行）題型二：相似三角形基本模型（A字型）【方法點(diǎn)撥】基本模型：A字型（平行）反A字型（不平行）題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））【方法點(diǎn)撥】基本模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當(dāng)D時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））【方法點(diǎn)撥】基本模型：旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.題型一：相似三角形基本模型（X字型）1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點(diǎn)，測(cè)得，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值，【分析】（1）先證明，再由相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在中，，在中，，，進(jìn)而作答即可．【解答】解：（1），，與是等腰三角形，，，，，，即的長(zhǎng)為；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，，與是等腰三角形，，在中，，在中，，，距離地面的高為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．2．（2024?西安校級(jí)模擬）小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀從測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，點(diǎn)，，，在同一水平線上．已知，，觀測(cè)儀高，觀測(cè)儀高，，，深坑寬度，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？【分析】過點(diǎn)作垂直，垂足為，然后根據(jù)已知證明，，得出，設(shè)，則，解得，再求即可．【解答】解：過點(diǎn)作垂直，垂足為，如圖：，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，深坑深度5.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經(jīng)凸透鏡折射后，過焦點(diǎn)，并與過凸透鏡中心的光線交于點(diǎn)，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．（1）如圖2，當(dāng)蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時(shí)，即，請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明此時(shí)“不成像”；（2）若蠟燭的長(zhǎng)為，物距，焦距，求像距和像的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可解答；（2）根據(jù)垂直定義可得，然后證明8字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，，，，，，與沒有交點(diǎn)，此時(shí)“不成像”；（2），，，，，，，，，，，，，，解得：，，像距為，像的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?浉河區(qū)校級(jí)三模）綜合與實(shí)踐瑩瑩復(fù)習(xí)教材時(shí)，提前準(zhǔn)備了一個(gè)等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，展開后，她把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點(diǎn)，則點(diǎn)就是的重心．教材重現(xiàn)：如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個(gè)點(diǎn)的位置嗎？在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點(diǎn)．（1）初步觀察：連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：；（2）初步探究：請(qǐng)幫助瑩瑩求出的面積；（3）猜想驗(yàn)證；瑩瑩通過測(cè)量驚奇地發(fā)現(xiàn)，．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）拓展探究：瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直接寫出拼成四邊形時(shí)的長(zhǎng)．【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；（2）由折疊可知，，，利用勾股定理求得，連接，易得為的中位線，則，，于是，得到，進(jìn)而可得，則，根據(jù)三角形面積公式可得，代入計(jì)算即可求解；（3）連接，易得為的中位線，則，，于是，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（4）連接，由（2）知，則，利用勾股定理求得，由折疊可知，，，易證，由相似三角形的性質(zhì)可求得，則，分兩種情況討論：當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，（折疊的性質(zhì)），；故答案為：；（2）由折疊可知，，，在中，，如圖，連接，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，，，；（3）正確，理由如下：如圖，連接，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，；（4）如圖，連接，由（2）知，，，在中，，由折疊可知，，，，，，，，即，，，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖①②，連接，此時(shí)；，，，此時(shí)拼成的圖形為三角形，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖③④，在中，，．綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題．5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，速度為每秒個(gè)單位．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求所在的扇形的面積；（3）當(dāng)時(shí)，求的值；（4）作半徑的垂直平分線交于點(diǎn)、，連結(jié)．當(dāng)將線段分成的兩部分時(shí)，直接寫出的值．【分析】（1）直接利用圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)弧的長(zhǎng)點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)列出方程，求出值，于是可求出所在扇形的圓心角度數(shù)，進(jìn)而利用扇形的面積公式求解即可；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前．根據(jù)兩點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)關(guān)系列出方程，求解即可；（4）情況一：連接，，，，交于點(diǎn)，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得為等邊三角形，為等邊三角形，進(jìn)而得到四邊形為菱形，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由等邊三角形三線合一可知垂直平分，于是可得，則，利用此時(shí)的長(zhǎng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度即可得到時(shí)間；情況二：同情況一方法即可求解．【解答】解：（1）的周長(zhǎng)為；故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，解得：，點(diǎn)走過的圓心角度數(shù)為，所在的扇形的面積為；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前，，則，解得：；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合后，，，解得：；綜上，或；（4）情況一：如圖，連接，，，，交于點(diǎn)，，垂直平分，，，，為等邊三角形，，同理可得：為等邊三角形，，，，，四邊形為菱形，，，，即，，垂直平分，，，，，，即，，，；情況二：連接，，，，交于點(diǎn)，，同理可得：，，．綜上，或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式、一元一次方程的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等，理清題意，學(xué)會(huì)利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．6．（2023?海曙區(qū)校級(jí)三模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，是的外接圓，，設(shè)的半徑為，．（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：是切線；（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．①如圖3，若為直徑，求的長(zhǎng)；②如圖4，若點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：．【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由此得，然后根據(jù)以及菱形的性質(zhì)可證：，據(jù)此可得，進(jìn)而利用切線的判定可得出結(jié)論；（2）①連接，根據(jù)已知條件可求出，進(jìn)而根據(jù)和相似，然后列出比例式即可求出的長(zhǎng)；②延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，與交于，先證明，再證，根據(jù)已知條件分別求出，，可設(shè)，則，，然后在中，由勾股定理求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)和的長(zhǎng)，最后根據(jù)和相似可得出答案；（3）作的直徑，連接，連接交于點(diǎn)，由，則，在中，由勾股定理求出，再由得，進(jìn)而得，最后在中，由勾股定理可得出與的函數(shù)關(guān)系式．【解答】（1）證明：作的直徑，連接，為的直徑，，，又，，，，四邊形為菱形，，，即：，又為的半徑，為的切線．（2）解：①連接，為的直徑，，四邊形為菱形，，，在中，，即：，，，，，，，，，，，，，，，由得：，將代入，得：．②延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，與交于，四邊形為菱形，，，且，，，，又，，，，，，，在中，，即：，設(shè)，則，在中，，即：，由勾股定理得：，，，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，（不合題意，舍去），，又，，，，．（3）解：．理由如下：作的直徑，連接，連接交于點(diǎn)，由（2）可知：，，，，在中，由勾股定理得：，為直徑，，，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，即：，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角．構(gòu)造圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，并利用三角函數(shù)的定義找出相關(guān)線段的關(guān)系是解答此題的難點(diǎn)．7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點(diǎn)、、在一條直線上，聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．【分析】（1）根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，進(jìn)而證明8字模型相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，等量代換得出，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進(jìn)而可證字模型相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)黃金分割的定義可得點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，從而可得，進(jìn)而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】證明：（1），，，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，由（1）得：，，，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，，，，的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割是解題的關(guān)鍵．8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．（1）如圖1，若交于點(diǎn)．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，，，，結(jié)合知，進(jìn)而利用證明，得到，于是，，最后利用勾股定理求解即可；（2）設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．【解答】（1）①證明：是的直徑，，，，，，又，，．②解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，由勾股定理得，，，在中，，，又，，在和中，，，，，，即，．（3）解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，，，，又，，，，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，設(shè)的半徑為，則，，，，的直徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考?jí)狠S題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題．9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點(diǎn)在線段上．（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)時(shí)，，證明：；（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)，點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)時(shí)，證明：①；②；（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，，，求長(zhǎng)．【分析】（1）證明，得到，進(jìn)而推出，得到，推出，即可得證；（2）①證明，得到，進(jìn)而推出；②根據(jù)，得到，推出，即可得證；（3）設(shè)，，證明，得到，求出，在等腰中，求出，在中，求出，在中求出，進(jìn)而推出，求出的值，即可得解．【解答】（1）證明：，又，，，，，，，；（2）證明：①，又，，，，；②，，，，；（3）解：，設(shè)，，則，，又，，，，在等腰中，，，在中，，，，，在等腰中，，，由（2）知，在中，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，．并給出如下不完整的證明過程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，22.5．（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時(shí)，如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．【分析】（1）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則由對(duì)稱可知，結(jié)合得到，由正方形的性質(zhì)得到、，從而證明；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱可知，然后由①得到；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱可知點(diǎn)是的中點(diǎn)、，結(jié)合得到，從而有是的中位線，得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而求得，再由勾股定理求得的長(zhǎng)；由（1）①得，得到，進(jìn)而借助相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，然后由中位線的性質(zhì)求得的長(zhǎng)；（3）以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與和的交點(diǎn)即為點(diǎn)，然后分點(diǎn)在上和點(diǎn)在上討論，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①證明：如圖①，延長(zhǎng)由對(duì)稱可知，，，，四邊形是正方形，，，在和中，，．②解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱可知，四邊形是正方形，，，由①得到，，故答案為：．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，是的中位線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，由（1）①得，，，，，，，，是的中位線，．（3）以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與和的交點(diǎn)即為點(diǎn)，①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（1）①可得，，且，四邊形為菱形，，，，，，，，，，，；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，，，，四邊形是菱形，，，，，在和中，，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到，從而得到相似三角形或全等三角形，難度較大，需要學(xué)生學(xué)會(huì)利用前面所學(xué)的知識(shí)解答后面的題目，具有很強(qiáng)的綜合性，是中考?？碱}型．11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內(nèi)接于圓，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接、，證明是線段的垂直平分線，問題得證；（2）先證明，進(jìn)而證明，即可證明；（3）連接，先求出，，再證明，得到，設(shè)，則，分別得到，，，證明，得到，求出，從而得到，根據(jù)，，即可求出．【解答】（1）證明：如圖，連接、，，，點(diǎn)、都在線段的垂直平分線上，是線段的垂直平分線，；（2）證明：，，，，，，，，，；（3）解：如圖，連接，，，是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，．，．，，，，，．設(shè)，則，，在中，，，，．，，，，即，，整理得，解得（不合題意，舍去），，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，第（3）問難度較大，熟知相關(guān)性質(zhì)，并根據(jù)題目中已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．題型二：相似三角形基本模型（A字型）1．（2023?無(wú)錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點(diǎn)．，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的半徑．【分析】（1）連接，利用切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得，再利用圓周角定理求得的度數(shù)，最后利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中所求易證得，再利用相似三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）如圖，連接，為的切線，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，即的半徑為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用相似三角形的判定及性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．2．（2024?武威一模）已知：如圖，點(diǎn)在三角形的邊上，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．求證：（1）；（2）．【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行線分線段成比例證明即可；（2）利用兩邊成比例且夾角相等來(lái)證明即可．【解答】證明：（1），，；（2），，由（1）得：，．，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點(diǎn)分別為，．（1）求證：；（2）連接，與交于點(diǎn)，連接，，若，求的值．【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，由垂徑定理可得，再由切線的性質(zhì)即可得，根據(jù)平行線、三角形的性質(zhì)得出，即可得證；（2）因?yàn)?，所以，已知，設(shè)，可得、、、的長(zhǎng)，因?yàn)?，是的切線，所以垂直平分，即是的中點(diǎn)，可得、的長(zhǎng)，因?yàn)椋?，，所以，可得四邊形是矩形，、，因?yàn)?，，可得、、、的長(zhǎng)，因?yàn)?，，可得、、的長(zhǎng)，由勾股定理可得的長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，，可得、、的長(zhǎng)，由勾股定理求得的長(zhǎng)，可得的值．【解答】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，是的切線，，，，．，，，即，；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，，是的切線，垂直平分，即是的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，即，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．4．（2024?巴彥縣一模）為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．甲乙圖例方案如圖①是測(cè)試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個(gè)測(cè)試距離為的小視力表②．通過測(cè)量大視力表中“”的高度的長(zhǎng)），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度的長(zhǎng)）使用平面鏡成像的原理來(lái)解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測(cè)量視力表的全長(zhǎng)就可以計(jì)算出鏡長(zhǎng)（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？（2）乙生的方案中如果視力表的全長(zhǎng)為，請(qǐng)計(jì)算出鏡長(zhǎng)至少為多少米．【分析】（1）根據(jù)兩組對(duì)角相等證明，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解；（2）作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，先證△，再根據(jù)相似三角形的相似比等于高的比列式求解．【解答】解：（1）由題意知，，，又，，，由題意知，，，，，解得，即小視力表中相應(yīng)“”的高是；（2）如圖，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由題意知，，，，，，，，△，，由題意知，，，，，，鏡長(zhǎng)至少為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開展測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量報(bào)告如下．課題測(cè)量旗桿的高度成員組長(zhǎng)：組員：，，測(cè)量工具皮尺，標(biāo)桿測(cè)量示意圖說(shuō)明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿，觀測(cè)者沿著直線后退到點(diǎn)，使眼睛、標(biāo)桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)觀測(cè)者與標(biāo)桿的距離觀測(cè)者與旗桿的距離標(biāo)桿的長(zhǎng)觀測(cè)者的眼睛離地面的距離問題解決如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿的高度．【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，，，，，學(xué)校旗桿的高度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）陽(yáng)光明媚的一天實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學(xué)樓頂端在一條直線上．此時(shí)他起身在處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)處，測(cè)得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．【分析】依據(jù)，可得，進(jìn)而得出米．再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出假山的高度為8米．【解答】解：，，，，，即，解得．，，，，，即，解得，假山的高度為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長(zhǎng)為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米處距離地面的高度為0.6米，又測(cè)得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，解得：，在中，，（米，石壩壩頂與壩腳之間的距離約為3.8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2024?西安校級(jí)模擬）為了測(cè)量物體的高度，小小帶著工具進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點(diǎn)沿后退，當(dāng)退行2米到處時(shí)，恰好在鏡子中看到物體頂點(diǎn)的像，此時(shí)測(cè)得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和物體頂點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為2.6米，為3.5米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算的高度．【分析】根據(jù)題意可得：，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，解得：，，，，，解得：，的高度為72.9米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024?西安校級(jí)四模）每到三月就會(huì)讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標(biāo)志性景點(diǎn)，為了測(cè)出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計(jì)出了下面的測(cè)量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，、之間有一個(gè)花圃無(wú)法測(cè)量，然后在處放置一個(gè)平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂?shù)南瘢藭r(shí)米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，解得：，，，，，解得：，塔高為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故而書名由此而來(lái)，它是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現(xiàn)在要測(cè)量谷的深度，拿一個(gè)高為6尺的“矩尺”仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長(zhǎng)線上重新放置“矩尺”，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、【分析】先證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，解得：，谷的深度為419尺．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識(shí)，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2024?河南一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說(shuō)，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注序》某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標(biāo)桿和，標(biāo)桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標(biāo)桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上；從標(biāo)桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標(biāo)桿的水平距離．注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)．【分析】根據(jù)題意可得：，，，從而可得，然后證明字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，，，，，，，，，，解得：，，解得：，山峰的高度為225.5米，它和標(biāo)桿的水平距離為440米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023?益陽(yáng)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：△；（2）求證：；（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】（1）利用證明；（2）要證，也就是證明，但“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的條件不夠，所以想到“夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”，只要證明即可．（3）設(shè)，利用建立方程求解．【解答】（1）證明：，，，，，△；（2）證明：，，，，，，，，；（3）解：，，，，設(shè)，則，，，，△△，，，，，平分四邊形的面積，，，，（舍，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等和相似，對(duì)應(yīng)（3），設(shè)，利用什么等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．13．（2024?沭陽(yáng)縣校級(jí)模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)：①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【分析】（1）①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，推出；②依據(jù)，推導(dǎo)出，進(jìn)而得到，可得結(jié)論；（2）如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖④中，當(dāng)于時(shí)，如圖④中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．分別求出，可得結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，；，；②，，，，故答案為：，45；（2），仍然成立，理由如下：如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)于時(shí)，，，，，，，，，，．如圖④中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．同理可得，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合應(yīng)用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．（1）如圖1，若交于點(diǎn)．①求證：；②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，，，，結(jié)合知，進(jìn)而利用證明，得到，于是，，最后利用勾股定理求解即可；（2）設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．【解答】（1）①證明：是的直徑，，，，，，又，，．②解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，由勾股定理得，，，在中，，，又，，在和中，，，，，，即，．（3）解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，，，，又，，，，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，設(shè)的半徑為，則，，，，的直徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考?jí)狠S題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題．15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，，，．（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算出，，然后求得，即可證明；（2）①當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，的長(zhǎng)度最大，由（1）知，，，，，可得，，因此．②如圖3，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，根據(jù)邊角關(guān)系，可得；同理將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可得：，因此，由于，即，因此當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，由題意可知：，，，，過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得，可知，，在中，根據(jù)勾股定理得，因此的最小值為．【解答】（1）證明：四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：①如圖2，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，的長(zhǎng)度最大，由（1）知，，，，，，，．解：②如圖3，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，根據(jù)邊角關(guān)系，可得；同理將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可得：，，，即，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，由題意可知，，，，過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得，，，在中，根據(jù)勾股定理得，的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證出，根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）①連接，由直角三角形的性質(zhì)得出，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)，取得最小值，由勾股定理求出，則可得出答案；②方法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，得出，證明，得出比例線段，列出方程，解得，求出，由（1）得，設(shè)，則，得出方程，解得或，則可得出答案．方法二：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，，證明，得出，求出，則可得出，后同方法一可求出的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，；（2）解：①連接，如圖2，，是直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)，取得最小值，在中，，的最小值為5．②方法一：如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，設(shè)，則，，，，，由（2）可知的最小值為5，即，又，，，解得，即，由（1）得，設(shè)，則，，解得：或，，，或．方法二：如圖4，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，由（2）可知的最小值為5，即，又，，，，由得，，即，解得，．由（1）得，設(shè)，則，，解得：或，，，或．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024?太白縣一模）為完成社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，曉玲打算去測(cè)量大雁塔南廣場(chǎng)上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個(gè)矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長(zhǎng)線上，并在頂點(diǎn)處懸掛一個(gè)鉛錘，恰好交于點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到雕塑的距離為，，，點(diǎn)到地面的距離為，，，于點(diǎn)，所有點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，請(qǐng)求出玄奘雕塑的高．【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用矩形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，解得：，點(diǎn)到地面的距離為，，，玄奘雕塑的高為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)，，在同一直線上，，求證：；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在中，，點(diǎn)是的內(nèi)心、若，，則的長(zhǎng)為10．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，即可證明結(jié)論；（2）由，得，可說(shuō)明，進(jìn)而證明結(jié)論成立；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可知是等腰直角三角形，再說(shuō)明，可得和的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，，，；（2）證明：，，，又，，，；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，為直角三角形，，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．4．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，求的長(zhǎng)；問題解決：（2）如圖②，在矩形場(chǎng)地中，米，米，為對(duì)角線，現(xiàn)在要在邊上設(shè)置一個(gè)門，在上安裝一個(gè)掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經(jīng)過測(cè)試將掃描范圍設(shè)置為時(shí)，效果最佳，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)搭建一個(gè)帳篷，則將掃描儀放置距離多長(zhǎng)距離時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為多少？【分析】（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，根據(jù)已知易得，從而可得，再利用平角定義可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可解答；（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可得是的垂直的平分線，從而可得米，進(jìn)而可得，再利用矩形的性質(zhì)可得，從而在中，利用勾股定理可得米，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)已知可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再設(shè)米，則米，最后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出米，進(jìn)而可得米，再根據(jù)四邊形的面積矩形的面積的面積，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，，為三等分點(diǎn)，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)為7；（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，是的垂直的平分線，米，，四邊形是矩形，，米，米，（米，，，，，，在中，（米，（米，設(shè)米，則米，，，，，，，米，米，四邊形的面積矩形的面積的面積，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為98400平方米，將掃描儀放置距離米時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為98400平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】【問題一】利用判斷出，即可得出答案；（2）先求出，再利用判斷出，即可求出答案；【問題三】分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．【解答】解：【問題一】正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，，四邊形是正方形，，，，，故答案為：；【問題二】如圖③，連接，，點(diǎn)是正方形的中心，，點(diǎn)是正方形的中心，，，，，，，，，；【問題三】在直線上存在點(diǎn)，使為直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖④，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，四邊形和四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖⑤，同①的方法得，，，，，或；③當(dāng)時(shí)，如圖⑥，過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)，相交于，同①的方法得，四邊形是矩形，，，，同①的方法得，四邊形是矩形，，，，同①的方法得，，，，，，即的長(zhǎng)度為2或3或6或7．【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（2024?濱?？h一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或2．【分析】【探究】（1）利用同角的余角相等得，從而證明結(jié)論；（2）由（1）知，得，代入計(jì)算即可；【應(yīng)用】如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；如果，利用證明，得，可得答案；如果，則，則，則，從而解決問題．【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，；（2）解：為的中點(diǎn)，，由（1）知，，即，；【應(yīng)用】解：如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，②如果，則，為的外角，，，，，，，，又，，，，，，，，；如果，則，，在中，，，，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，綜上，的長(zhǎng)為或2，故答案為：或2．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用分類思想是解決【應(yīng)用】的關(guān)鍵．7．（2023?武漢模擬）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．（1）如圖（1），若，求證：；（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接，若，，求證：．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，從而證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可得，則，設(shè)，則，，，即可得出答案；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，同理得，得，證明，說(shuō)明，進(jìn)而解決問題．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：如圖（2），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，由（1）可得，，設(shè)，則，，，，故答案為：；（3）證明：如圖（3），延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，，，，又，，，，，，設(shè)，則，，，，，又，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動(dòng)．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長(zhǎng)分別是12和13，將頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．初步探究：（1）試猜想線段與的關(guān)系，并加以證明；問題解決：（2）如圖②，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)；（3）在圖②中，若與交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【分析】（1）先判斷出，，，進(jìn)而判斷出，得出，，最后用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）先求出，再判斷出，得出，，再判斷出，即可得出答案；（3）先判斷出，得出，即可求出答案．【解答】解：（1），，證明：如圖1，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于，，，，，，即，；（2）在中，，，根據(jù)勾股定理得，，如圖2，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，四邊形是正方形，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，；（3）如圖2，由（2）知，，四邊形是正方形，，，，由（2