第三章勾股定理 單元卷 2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級上冊

本章綜合提升考點一勾股定理1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,把Rt△ABC沿直線BC向右平移3個單位長度得到△A'B'C',則四邊形ABC'A'的面積是()A.15B.18C.20D.222.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線AD交BC于點D,E為AB的中點,若BC=12,AD=8,則DE的長為.3.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O.若AD=2,BC=4,則.AB2+CD24.2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖1)，且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b.如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為.5.如圖,AB與CD相交于點O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,探究線段AB、AC、BD之間的等量關(guān)系，并說明你的理由.考點二勾股定理逆定理6.如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1、2、3、4、5，選取其中三塊(可重復(fù)選取)按如圖的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,47.如圖,在△ABC中,AAC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則(CD8.如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高,且CD2=AD?BD.求證：△ABC是直角三角形.考點三勾股數(shù)9.在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：a68101214b815243548c1017263750則當a=20時,b+c的值為()A.162B.200C.242D.28810.若8,a,17是一組勾股數(shù),則a=.11.已知:整式A=n2?1嘗試：化簡整式A.發(fā)現(xiàn)：A=B2,求整式B.聯(lián)想：由上可知，B2=n2?12+直角三角形三邊n2-12nB勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ35/考點四勾股定理的應(yīng)用12.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何?”意思是：一根竹子，原來高一丈(一丈為十尺)，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子?()A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺13.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何?”(注：丈，尺是長度單位，1丈=10尺)這段話翻譯成現(xiàn)代漢語即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則水池里水的深度是尺.14.一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達B島,再從B島沿BM方向航行125km到達C島，A港到航線BM的最短距離是60km.若輪船速度為25km/時，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時間.考點五方程思想15.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,求AB的長.考點六探究性問題16.勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三、股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.(1)①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理.(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)(2)①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S?+S?=S?的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S?、S?,，直角三角形面積為S?,，請判斷.S?、S?、S?的關(guān)系并證明.(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，4個小正方形A、B、C、D的邊長分別為a、b、c、d，已知∠1=∠2=∠3=α，則當α變化時，回答下列問題：(結(jié)果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2②b與c的關(guān)系為，a與d的關(guān)系為.本章綜合提升1.A2.53.204.275.AB2=AC2+BD2.理由如下：過點A作AE‖CD,截取AE=CD,連接BE、DE,如圖所示,則四邊形ACDE是平行四邊形，：DE=AC,∠ACD=∠AED,∵∠AOC=60°,AB=CD,∴∠EAB=60°,CD=AE=AB,∴△ABE為等邊三角形,∴BE=AB,∵∠ACD+∠ABD=210°,∴∠AED+∠ABD=210°,∴∠BDE=360°?∠AED+∠ABD?∠EAB=360°?210°?60°=90°,∴BE2=DE2+BD2,∴AB2=AC26.B7.6.58.證明:∵CD是AB邊上的高,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,在Rt△BDC中,BC2=BD2+CD2,∴AC2+BC2=AD2+BD2+2CD2∴CD2=AD?BD,∴AC2+BC2=AD2+BD2+2AD?BD=AD+BD2=AB2,即AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形，且9.B10.1511.嘗試:A=n2?12+2n2=n??2n2+1+4n2=n?+2n2+1,發(fā)現(xiàn)：∴n?+2n2+1=n2+12,A=B2,B>0,∴E=n2+1,聯(lián)想:當2n=8時,n=4,∴n2+1=42+1=17;當12.B13.1214.由題意AD=60km,在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,得602+BD2=1002,∴BD=80km,∴CD=BC?BL15.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB-AC=2,BC=8,∴AC2+BC2=AB2,即AB?22+82=AB2,16.(1)①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.(或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方