人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題02一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的四種考法(原卷版+解析)

專題02一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的四種考法【知識(shí)點(diǎn)精講】應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.類型一、增長(zhǎng)率問題例．電影《我和我的祖國(guó)》講述了普通人與國(guó)家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】某藥店一月份銷售口罩500包，一至三月份共銷售口罩1820包，設(shè)該店二、三月份銷售口罩的月平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意可列出方程為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3】某市政府決定改善城市面貌，綠化環(huán)境，計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間綠化面積增加，這兩年平均每年綠化面積的增長(zhǎng)率為（

）A． B． C． D．類型二、利潤(rùn)問題例1.某水果商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，原售價(jià)每千克50元．(1)連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？例2.今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收，該村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包．(1)已知今年7月份銷售A種農(nóng)產(chǎn)品禮包256包，8、9月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，9月份的銷售量達(dá)到400包．若設(shè)8、9兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，求x的值；(2)若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包成本價(jià)為16元，當(dāng)售價(jià)為每包30元時(shí)，每月銷量為200包．為了盡快減少庫(kù)存，該村準(zhǔn)備在10月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包每降價(jià)1元，月銷售量可增加20包，當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元?【變式訓(xùn)練1】第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在杭州舉行，某商店購(gòu)進(jìn)一批亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品進(jìn)行銷售，已知每件紀(jì)念品的成本是30元，如果銷售單價(jià)定為每件40元，那么日銷售量將達(dá)到100件．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2件．(1)若銷售單價(jià)定為每件45元，求每天的銷售利潤(rùn)；(2)要使每天銷售這種紀(jì)念品盈利1600元，同時(shí)又要讓利給顧客，那么該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件多少元？【變式訓(xùn)練2】服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型的時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了10400元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？(2)該服裝店第一個(gè)月甲種款型的T恤衫以200元/件的價(jià)格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價(jià)格售出10件；為了促銷，第二個(gè)月決定對(duì)甲、乙兩種款式的T恤衫都進(jìn)行降價(jià)a元銷售，其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件，結(jié)果第二個(gè)月的銷售總額比第一個(gè)月的銷售總額增加了1000a元，求第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)．類型三、工程問題例．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率．(2)2022年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用約為每個(gè)80萬元．2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加10%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2023年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【變式訓(xùn)練1】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，帶動(dòng)了市場(chǎng)頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計(jì)，某品牌頭盔5月份銷售2250個(gè)，7月份銷售3240個(gè)，且從5月份到7月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．請(qǐng)解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)為了達(dá)到市場(chǎng)需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個(gè)/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【變式訓(xùn)練2】“端午臨中夏，時(shí)清日復(fù)長(zhǎng)”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長(zhǎng)5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計(jì)劃多萬元．求a的值．類型四、幾何圖形問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)及點(diǎn)、作矩形，的平分線交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：_______，_______（用含的代數(shù)式表示）(2)設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，的值為．(3)求當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．【變式訓(xùn)練1】等邊，邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時(shí)的時(shí)間；(2)的面積能否為，若存在求時(shí)間，若不存在請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在直角梯形中，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：______，______；用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；(3)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．課后訓(xùn)練1.如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E和F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E以的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，圖象經(jīng)過點(diǎn)，則n的值為．2．2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元／件）3025銷售價(jià)（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)？(2)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？3．某水果店以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)兩批櫻桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車?yán)遄尤渴弁?，店主共獲利960元．(1)求櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？(2)該水果店一相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)第三批櫻桃若干，第一天將櫻桃漲價(jià)到每千克20元出售，結(jié)果僅售出40千克；為了盡快售完第三批櫻桃，第二天店主決定在第一天售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)促銷，若在第一天售價(jià)基礎(chǔ)上每降價(jià)1元，第二天的銷售量就在第一天的基礎(chǔ)上增加10千克．到第二天晚上關(guān)店時(shí)櫻桃售完，店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤(rùn)為850元，求第二天櫻桃的售價(jià)是每千克多少元？4．某旅行社推出“跟團(tuán)游”和“定制游”兩種旅行方式供客戶選擇．已知6月份該旅行社“跟團(tuán)游”的銷售額為萬元，“定制游”的銷售額為萬元，“跟團(tuán)游”平均每單的費(fèi)用比“定制游”平均每單的費(fèi)用少萬元，“跟團(tuán)游”的訂單數(shù)是“定制游”訂單數(shù)的4倍，訂單按一人一單計(jì)算．(1)求“定制游”的單數(shù)為多少？(2)由于暑期是旅游旺季，消費(fèi)水平整體升高，該旅行社預(yù)計(jì)7月份“跟團(tuán)游”和“定制游”的訂單數(shù)分別比上月對(duì)應(yīng)訂單數(shù)多和，“跟團(tuán)游”和“定制游”平均每單的費(fèi)用分別比上月對(duì)應(yīng)每單多和，這樣預(yù)計(jì)7月份該旅行社總銷售額比上個(gè)月總銷售額的還多萬元，且，求a的值．5．由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測(cè)，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了、兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？6．2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購(gòu)買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買兩種樹共需38800元．(1)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實(shí)際購(gòu)買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降元（），且兩種樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共多少棵？

專題02一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的四種考法【知識(shí)點(diǎn)精講】應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.類型一、增長(zhǎng)率問題例．電影《我和我的祖國(guó)》講述了普通人與國(guó)家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為，根據(jù)三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x,根據(jù)現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，可列方程為，即故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】某藥店一月份銷售口罩500包，一至三月份共銷售口罩1820包，設(shè)該店二、三月份銷售口罩的月平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意可列出方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程即可作答．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】某市政府決定改善城市面貌，綠化環(huán)境，計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間綠化面積增加，這兩年平均每年綠化面積的增長(zhǎng)率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可設(shè)這兩年平均每年的增長(zhǎng)率為x，因?yàn)榻?jīng)過兩年時(shí)間，讓市區(qū)綠地面積增加，則有，解這個(gè)方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)這兩年平均每年的綠地增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，，解得（舍去），．所以，這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答此類題目中的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，注意增長(zhǎng)的百分率是正值．

類型二、利潤(rùn)問題例1.某水果商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，原售價(jià)每千克50元．(1)連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】(1)每次下降的百分率為；(2)每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元，盈利6000元．【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為，列出方程求解即可；（2）設(shè)每千克漲價(jià)元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每次下降百分率為，根據(jù)題意，得，解得：，(不合題意，舍去)．答：每次下降的百分率為；（2）設(shè)每千克漲價(jià)x元，由題意得：解得：或，∵商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，且要盡快減少庫(kù)存，∴，答：每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元，盈利6000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．例2.今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收，該村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包．(1)已知今年7月份銷售A種農(nóng)產(chǎn)品禮包256包，8、9月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，9月份的銷售量達(dá)到400包．若設(shè)8、9兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，求x的值；(2)若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包成本價(jià)為16元，當(dāng)售價(jià)為每包30元時(shí)，每月銷量為200包．為了盡快減少庫(kù)存，該村準(zhǔn)備在10月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包每降價(jià)1元，月銷售量可增加20包，當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元?【答案】(1)的值為25%(2)當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)3元時(shí)，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元【分析】（1）利用9月份的銷售量=7月份的銷售量月平均增長(zhǎng)率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值；（2）設(shè)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)m元，則每包的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為包，利用總利潤(rùn)=每包的銷售利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：的值為25%．（2）設(shè)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)m元，則每包的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為包，依題意得：，整理得：，解得：，.∵為了盡快減少庫(kù)存，∴．答：當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)3元時(shí)，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在杭州舉行，某商店購(gòu)進(jìn)一批亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品進(jìn)行銷售，已知每件紀(jì)念品的成本是30元，如果銷售單價(jià)定為每件40元，那么日銷售量將達(dá)到100件．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2件．(1)若銷售單價(jià)定為每件45元，求每天的銷售利潤(rùn)；(2)要使每天銷售這種紀(jì)念品盈利1600元，同時(shí)又要讓利給顧客，那么該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件多少元？【答案】(1)1350元(2)50元【分析】（1）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）設(shè)該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件元，則銷售量為件，由題意得，，計(jì)算求解，然后判斷即可．【詳解】（1）解：由題意知，（元），∴當(dāng)銷售單價(jià)定為每件45元，每天的銷售利潤(rùn)為1350元；（2）解：設(shè)該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件元，則銷售量為件，由題意得，，解得，，∵，∴該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件50元．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練2】服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型的時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了10400元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？(2)該服裝店第一個(gè)月甲種款型的T恤衫以200元/件的價(jià)格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價(jià)格售出10件；為了促銷，第二個(gè)月決定對(duì)甲、乙兩種款式的T恤衫都進(jìn)行降價(jià)a元銷售，其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件，結(jié)果第二個(gè)月的銷售總額比第一個(gè)月的銷售總額增加了1000a元，求第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)．【答案】(1)甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)80件，乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)40件；(2)3580【分析】(1)設(shè)乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)x件，則甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)件，根據(jù)甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元列出分式方程，解方程即可；(2)根據(jù)第二個(gè)月的銷售總額比第一個(gè)月的銷售總額增加了1000a元，列出一元二次方程，解方程，即可解決問題．【詳解】（1）設(shè)乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)x件，則甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)件，依題意得解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)80件，乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)40件；（2）乙種款型每件的進(jìn)價(jià)為(元)則甲種款型每件的進(jìn)價(jià)為(元)，由題意得：整理得，解得(不符合題意，舍去)，∴答：第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)為3580元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．類型三、工程問題例．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率．(2)2022年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用約為每個(gè)80萬元．2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加10%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2023年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【答案】(1)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%；(2)該市在2023年最多可以改造19個(gè)老舊小區(qū)【分析】（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為x,利用2022年投入資金金額=2020年投入資金金額×（1+年平均增長(zhǎng)率），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該市在2023年可以改造y個(gè)老舊小區(qū)，根據(jù)2023年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2023年投入資金金額，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為x,依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為．（2）解：設(shè)該市在2023年可以改造y個(gè)老舊小區(qū)，依題意得：，解得：，又∵y為整數(shù)，∴y的最大值為19．答：該市在2023年最多可以改造19個(gè)老舊小區(qū)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式訓(xùn)練1】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，帶動(dòng)了市場(chǎng)頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計(jì)，某品牌頭盔5月份銷售2250個(gè)，7月份銷售3240個(gè)，且從5月份到7月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．請(qǐng)解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)為了達(dá)到市場(chǎng)需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個(gè)/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程進(jìn)行求解；（2）設(shè)增加x條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解．【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x．依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%．（2）解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線．，解得，（不符合題意，舍去），答：在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可．【變式訓(xùn)練2】“端午臨中夏，時(shí)清日復(fù)長(zhǎng)”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子，根據(jù)甲乙兩個(gè)小組的工作情況列出二元一次方程組，從而解決問題．（2）根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)”，考慮設(shè)“甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子”，再根據(jù)實(shí)際總工作量等于甲乙兩組實(shí)際工作量之和，列出方程．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得：解得：答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：設(shè)提高效率后，甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子由題意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用二元一次方程組、一元二次方程解決實(shí)際問題，理清題意，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長(zhǎng)5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計(jì)劃多萬元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值為6【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000-x）米，由工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長(zhǎng)度結(jié)合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000-x）米，依題意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依題意，得：，整理，得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，總成本為：（萬元），∵，∴不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，總成本為：（萬元），∵，∴符合題意；答：a的值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．類型四、幾何圖形問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)及點(diǎn)、作矩形，的平分線交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：_______，_______（用含的代數(shù)式表示）(2)設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，的值為．(3)求當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．【答案】(1)；(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間，即可表達(dá)，；（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，得，又根據(jù)，則，根據(jù)勾股定理得，推出是等腰直角三角形，得；是直角三角形，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，根據(jù)三角形面積公式得：；當(dāng)在右側(cè)時(shí)，面積為：，分類討論，即可求出時(shí)的值；（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，或或，根據(jù)是等腰直角三角形，則；根據(jù)勾股定理，即可求出的值．【詳解】（1）∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸正方向移動(dòng)∴；．（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)∵四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)∴，∵∴∴在直角三角形中，∴∵∴∴在直角三角形中，∴∴是等腰直角三角形∴∵當(dāng)在左側(cè)時(shí)，即時(shí)，∴∴∴當(dāng)時(shí)∴解得，（舍）不滿足；在右側(cè)時(shí)，時(shí)，∴∴∴當(dāng)時(shí)，解得，（舍）∴當(dāng)，．（3）連接，，由（2）得，∵是直角三角形，∴∵∴，∴在，∴∵為直角三角形時(shí)∴或或∵是等腰直角三角形，則∴或時(shí)，∴整理得：解得：（舍），∴時(shí)，∴解得：，∴或∴綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，為直角三角形時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題，直角三角形和一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，勾股定理和解一元二次方程的解法．【變式訓(xùn)練1】等邊，邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時(shí)的時(shí)間；(2)的面積能否為，若存在求時(shí)間，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意有，，即，即可得，分當(dāng)為直角三角形,且時(shí)和當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）過Q點(diǎn)作于點(diǎn)M，先求出，即有，進(jìn)而有，即，令，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，∵，∴，當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；當(dāng)為直角三角形,且時(shí)，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值為或者；（2）存在，理由如下：過Q點(diǎn)作于點(diǎn)M，如圖，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，明確題意，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)正確列式，是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，在直角梯形中，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【答案】或【詳解】以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形有三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【分析】解：如圖1，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于E，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．解得：；

如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作于E，同理可證四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得：；

如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于E，同理可證明四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故方程無解．綜上所述，或時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：______，______；用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；(3)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)t為秒或秒(3)存在時(shí)刻，使四邊形的面積等于面積的，的值為【分析】（1）由路程=速度×?xí)r間，可直接求解；（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；（3）由題意可得的面積等于面積的，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，，，，故答案為：，；（2）由題意得，即，解得：，，當(dāng)t為秒或秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；（3）存在，理由如下：若四邊形的面積等于面積的，的面積等于面積的，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，四邊形變?yōu)槿切?，不合題意，舍去，存在時(shí)刻，使四邊形的面積等于面積的，的值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形的面積公式，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1.如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E和F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E以的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，圖象經(jīng)過點(diǎn)，則n的值為．【答案】【分析】分析圖形可知，圖2中的圖象分為三段：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在上，且點(diǎn)在上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在上，且點(diǎn)在上時(shí)．圖2中的最高點(diǎn)是當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值為4；當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)相遇時(shí)，即到達(dá)點(diǎn)時(shí)，用時(shí)6秒．由此可求出，由此可求出當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)3秒后的值，即可求出的值，進(jìn)而可求出的取值．【詳解】解：由圖2可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，即，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)相遇時(shí)，即到達(dá)點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)了6秒，即，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖，，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如圖，此時(shí)，∴；解得，或（舍）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：通過分類討論，利用三角形面積公式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元／件）3025銷售價(jià)（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)？(2)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣件(2)30元或34元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣件，根據(jù)等量關(guān)系：兩款鑰匙扣共花費(fèi)850元，建立一元一次方程即可求解；（2）設(shè)將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件y元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元；由題意列出關(guān)于y的一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣件，由題意得：，解得：，則（件）；答：購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣件．（2）解：設(shè)將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件y元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元，由題意得：，整理得：，解得：，，答：將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件30元或34元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元．【點(diǎn)睛】本題是方程的綜合，考查了一元一次方程與一元二次方程在實(shí)際中的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系并列出方程是鑰匙的關(guān)鍵．3．某水果店以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)兩批櫻桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車?yán)遄尤渴弁辏曛鞴搏@利960元．(1)求櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？(2)該水果店一相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)第三批櫻桃若干，第一天將櫻桃漲價(jià)到每千克20元出售，結(jié)果僅售出40千克；為了盡快售完第三批櫻桃，第二天店主決定在第一天售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)促銷，若在第一天售價(jià)基礎(chǔ)上每降價(jià)1元，第二天的銷售量就在第一天的基礎(chǔ)上增加10千克．到第二天晚上關(guān)店時(shí)櫻桃售完，店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤(rùn)為850元，求第二天櫻桃的售價(jià)是每千克多少元？【答案】(1)櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克10元(2)第二天櫻桃的售價(jià)是每千克15元或19元【分析】（1）設(shè)櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克x元，根據(jù)“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車?yán)遄尤渴弁辏曛鞴搏@利960元”，再列方程求解即可；（2）設(shè)第二天的售價(jià)為每千克y元，則第二天的銷量為千克，再根據(jù)總利潤(rùn)為850元列方程解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克x元，依題意得：，解得：，答：櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克10元；（2）設(shè)第二天的售價(jià)為每千克y元，則第二天的銷量為千克，依題意得：，整理得：，解得：，，答：第二天櫻桃的售價(jià)是每千克15元或19元．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，熟練的確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．某旅行社推出“跟團(tuán)游”和“定制游”兩種旅行方式供客戶選擇．已知6月份該旅行社“跟團(tuán)游”的銷售額為萬元，“定制游”的銷售額為萬元，“跟團(tuán)游”平均每單的費(fèi)用比“定制游”平均每單的費(fèi)用少萬元，“跟團(tuán)游”的訂單數(shù)是“定制游”訂單數(shù)的4倍，訂單按一人一單計(jì)算．(1)求“定制游”的單數(shù)為多少？(2)由于暑期是旅游旺季，消費(fèi)水平整體升高，該旅行社預(yù)計(jì)7月份“跟團(tuán)游”和“定制游”的訂單數(shù)分別比上月對(duì)應(yīng)訂單數(shù)多和，“跟團(tuán)游”和“定制游”平均每單的費(fèi)用分別比上月對(duì)應(yīng)每單多和，這樣預(yù)計(jì)7月份該旅行社總銷售額比上個(gè)月總銷售額的還多萬元，且，求a的值．【答案】(1)50(2)100【分析】（1）設(shè)“定制游”的單數(shù)