人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題04雙角平分線模型與角n等分線模型(原卷版+解析)

專題04雙角平分線模型與角n等分線模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于角的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類題通常由問題出發(fā)，先由角的和差確定解題方向，然后輔以角平分線來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的雙角平分線模型，可以寫出角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案。總之，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023春·遼寧遼陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有（

）①；②；③；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)校考期末）如圖，是的平分線，射線在內(nèi)部，是的平分線，已知，那么的大小等于°．例4．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

例5．（2023·湖北七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，則∠AOA4的大小為（

）A．1° B．2° C．4° D．8°例6．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．例7．（2023秋·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）平面內(nèi)，，C為內(nèi)部一點(diǎn)，射線平分，射找平分，射線平分，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)？例8．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個(gè)角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點(diǎn)，分別作，的平分線，．，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，是內(nèi)一條射線，平分，平分，，則．

4．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖．平分，平分．若，，則．

5．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，由定點(diǎn)引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則度．6．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)校考期末）如圖，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．7．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，是的平分線，是的平分線，且，則度．8．（2023·黑龍江·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，平分，平分．(1)如圖1，求度數(shù)；(2)如圖2，若，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．

9．（2023·廣東·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的平分線，是的平分線，．(1)求的度數(shù)是多少？(2)如果，求的度數(shù)．

10．（2023秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，為直角，，且OM平分，ON平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，，，且OM平分，ON平分．直接寫出的度數(shù)．

解：（1）因?yàn)椋?，所以______°；因?yàn)?，OM平分，所以∠____________°；因?yàn)椋琌N平分，所以∠____________°；所以______°；（2）______°．11．（2023·廣東江門·七年級(jí)期末）如圖，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，，求．

12．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，作射線的反向延長(zhǎng)線，在的下方，且，反向延長(zhǎng)射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．

13．（2023春·天津南開·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）（1）如圖1，已知O為上一點(diǎn)，與互補(bǔ)，分別為與的平分線，若，試求與度數(shù)．（2）已知如圖2，，是的平分線，是的平分線，且，求的度數(shù)．14．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．15．（2023秋·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如圖1，當(dāng)是直角．時(shí)，的度數(shù)是多少？(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，寫出結(jié)論并說(shuō)明理由．16．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時(shí)，平分，平分，當(dāng)，時(shí)，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．17．（2023秋·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是___；當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是___°．探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時(shí)．若是直角，，求出的大??；若是直角，，寫出的度數(shù)；數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）18．（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，已知線段，，線段CD在線段AB上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)若cm，則______；(2)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，分別平分和，若，，則______．直接寫出，和的數(shù)量關(guān)系：_____________．19．（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).20．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，．(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請(qǐng)你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

專題04雙角平分線模型與角n等分線模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于角的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類題通常由問題出發(fā)，先由角的和差確定解題方向，然后輔以角平分線來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的雙角平分線模型，可以寫出角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊灸Ｐ偷恼莆占瓤梢钥焖俚贸鲂☆}的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平分，平分，求出，再根據(jù)，求出，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解角平分線的定義，求出．例2．（2023春·遼寧遼陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有（

）①；②；③；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角之間的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】解：平分，平分，故①正確；故②錯(cuò)誤；故③正確；故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及熟練運(yùn)用角的和差表示角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的平分線，射線在內(nèi)部，是的平分線，已知，那么的大小等于°．【答案】40【分析】據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵是的平分線，∴，設(shè)，，則，又∵是的平分線，∴∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和圖中各角之間的和差關(guān)系，解題關(guān)鍵是找出圖中各角之間的和差關(guān)系．例4．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

【答案】①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無(wú)法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·湖北七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，則∠AOA4的大小為（

）A．1° B．2° C．4° D．8°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．【詳解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=32°，∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=16°，同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的應(yīng)用，掌握角平分線的定義是關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義、余角的性質(zhì)、等分線等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】110°或130°或【分析】A、根據(jù)角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；B、根據(jù)角的和差得到∠AOB，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、如圖，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為130°或110°，故答案為：130°或110°；B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為150°-α°或120°-α°，故答案為：150°-α°或120°-α°；【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）平面內(nèi)，，C為內(nèi)部一點(diǎn)，射線平分，射找平分，射線平分，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)？【答案】或【分析】根據(jù)角平分線得出，，然后分兩種情況分析：若射線在外部時(shí)，若射線在內(nèi)部時(shí)，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】解：∵射線平分，射找平分，∴，，∴，∵射線平分，∴，

若射線在外部時(shí)，如圖1，則，即，∵，∴，解得：或；

若射線在內(nèi)部時(shí)，如圖2，則，∴，即，不滿足，

綜上，或．【點(diǎn)睛】題目考查角平分線的計(jì)算，理解題意，分類討論作出圖形求解是解題關(guān)鍵．例8．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個(gè)角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無(wú)法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）∵，平分，∴∵分別平分，．∴∴．（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，．若射線在外部時(shí)，如圖3∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計(jì)算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個(gè)角的平分線將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,∴根據(jù)巧分線定義可得是這個(gè)角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．（3）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·北京海淀·七年級(jí)校考期中）如圖，直線，相交于點(diǎn)，分別作，的平分線，．，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線定義得，，再根據(jù)得出答案．【詳解】∵，平分，，∴，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定義，平角的定義，掌握各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，是內(nèi)一條射線，平分，平分，，則．

【答案】/25度【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，再由，可求得，進(jìn)一步利用角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：平分，，，，，平分，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，仔細(xì)觀察圖形找到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖．平分，平分．若，，則．

【答案】/82度【分析】證明，，求解，再利用角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及角的運(yùn)算，運(yùn)用整體代換的思想是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，由定點(diǎn)引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則度．【答案】或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)射線在的外部時(shí)，根據(jù)角平分線的定義得出，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：分兩種情況討論，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，如圖所示，∵，，、分別是和的平分線，∴∴；當(dāng)射線在的外部時(shí)，如圖所示，∵，，、分別是和的平分線，∴∴；綜上所述，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．【答案】120【分析】①利用角平分線的定義可得，，易得，利用，可得結(jié)果；②由角的加減可得，可得，再利用可得結(jié)果【詳解】解：①，，，，平分，平分，，，，，故答案為120；②，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義有關(guān)知識(shí)，利用角平分線的定義找出角的數(shù)量關(guān)系是解決本題關(guān)鍵．7．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，是的平分線，是的平分線，且，則度．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)是的平分線，是的平分線，得到，，由可得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)，，∴，∵是的平分線，是的平分線，，∴，，∵，∴，解得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算的應(yīng)用，運(yùn)用了方程的思想．根據(jù)題意并結(jié)合圖形建立等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，平分，平分．(1)如圖1，求度數(shù)；(2)如圖2，若，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．

【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)、的度數(shù)可得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出、的度數(shù)，再根據(jù)與、之間的關(guān)系通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)、的度數(shù)可得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出、的度數(shù)，再根據(jù)與、之間的關(guān)系通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是求出、的度數(shù)．9．（2023·廣東·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的平分線，是的平分線，．

(1)求的度數(shù)是多少？(2)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，，那么；（2）先根據(jù)求出的度數(shù)，再根據(jù)求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）是的平分線，是的平分線，，，；（2）是的平分線，，，，，是的平分線，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知各角之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．10．（2023秋·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，為直角，，且OM平分，ON平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，，，且OM平分，ON平分．直接寫出的度數(shù)．

解：（1）因?yàn)?，，所以______°；因?yàn)?，OM平分，所以∠____________°；因?yàn)?，ON平分，所以∠____________°；所以______°；（2）______°．【答案】（1），，，，，；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和各個(gè)角的度數(shù)求出，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線定義和各個(gè)角的度數(shù)求出，即可求出的度數(shù)．【詳解】解（1）因?yàn)椋?，所以；因?yàn)镺M平分，所以；因?yàn)椋琌N平分，所以；所以；故答案為：，，，，，（2）如圖，，，，OM平分，ON平分，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的有關(guān)計(jì)算和角平分線的定義，正確理解并靈活運(yùn)用角平分線的定義是解題關(guān)鍵．11．（2023·廣東江門·七年級(jí)期末）如圖，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，，求．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，然后由角的和差倍分關(guān)系可得問題的答案．【詳解】解：是的角平分線，，是的角平分線，，，，，，是的角平分線，．【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的定義，角的和差倍分關(guān)系，能夠根據(jù)定義正確表達(dá)出關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，作射線的反向延長(zhǎng)線，在的下方，且，反向延長(zhǎng)射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）通過(guò)角平分線的定義計(jì)算即可證明；（2）通過(guò)角平分線的定義計(jì)算即可證明；（3）設(shè)，，通過(guò)角平分線的定義以及垂直的定義求得，，計(jì)算得出，等，再求得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∴；（2）證明：∵平分，∴，∴=；（3）解：設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，即，，，∵，平分，∴，，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵反向延長(zhǎng)射線得到射線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的含義，垂直的定義，角的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，利用方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春·天津南開·七年級(jí)校考開學(xué)考試）（1）如圖1，已知O為上一點(diǎn)，與互補(bǔ)，分別為與的平分線，若，試求與度數(shù)．（2）已知如圖2，，是的平分線，是的平分線，且，求的度數(shù)．【答案】（1），；（2）【分析】（1）由角平分線定義和補(bǔ)角定義得出方程，解方程即可得出結(jié)果；（2）設(shè)設(shè)，．則．由角平分線定義和已知條件求出，即可得出所求角的度數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)，∵與互補(bǔ)，則．由題意，得．解得：，∴，．（2）解：設(shè)，．則．∵是的平分線，∴，∴，∵，∴，解得：，∵是的平分線，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了補(bǔ)角的定義、角平分線的定義及角的運(yùn)算．熟練掌握補(bǔ)角定義和角平分線定義，根據(jù)題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過(guò)點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．【答案】(1)45(2)(3)為或【分析】（1）直接通過(guò)角平分線的定義直接求解即可．（2）用同一個(gè)角度表示不同的角，直接求解即可．（3）分類討論H，K的位置關(guān)系直接求解即可．【詳解】（1）平分，平分，，（2）平分，，根據(jù)圖形有：，，，，，（3）當(dāng)H在K左側(cè)時(shí)平分平分當(dāng)K在H左側(cè)時(shí)平分平分綜上所述：為或【點(diǎn)睛】此題考查角度的計(jì)算，解題關(guān)鍵是分類討論H和K的位置．15．（2023秋·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如圖1，當(dāng)是直角．時(shí)，的度數(shù)是多少？(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，寫出結(jié)論并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)，與的大小無(wú)關(guān)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，求出的度數(shù)，Ike得到結(jié)論；（3）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，求出的度數(shù)，即可得到結(jié)論；【詳解】（1）解：，，，是的平分線，是的平分線，，，，；（2）解：，理由如下：，，，是的平分線，是的平分線，，，，；（3）解：，理由如下：，，，是的平分線，是的平分線，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，角平分線的定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時(shí)，平分，平分，當(dāng)，時(shí)，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）沒有關(guān)系，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可求，根據(jù)即可解答；（2）由題意可得進(jìn)而求出；（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，，進(jìn)而求出．【詳解】解：（1）∵平分，平分，∴，，∴，；（2）∵，，，∴，∴；（3）與的大小無(wú)關(guān)．理由：∵，，∴，∵是的平分線，是的平分線，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，以及角平分線，解決本題的關(guān)鍵是利用角的和與差．17．（2023秋·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是_____；當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是____°．探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時(shí)．若是直角，，求出的大??；若是直角，，寫出的度數(shù)；數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】問題情境：；；探索發(fā)現(xiàn)：；；數(shù)學(xué)思考：【分析】問題情境：根據(jù)，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；根據(jù)，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；探索發(fā)現(xiàn)：