人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《正多邊形的有關(guān)計(jì)算》教學(xué)案

正多邊形的有關(guān)計(jì)算

素質(zhì)教育目標(biāo)

1、使學(xué)生學(xué)會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算

問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

2、通過定理的證明過程培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、推理能力、概括能力；通過一定量的計(jì)算,

培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力；通過用不同方法求正多邊形的內(nèi)角，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能

力和選優(yōu)意識(shí)；從具體邊數(shù)的正n邊形得到一般正n邊形的計(jì)算圖培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的數(shù)

學(xué)思想.

3、由具體邊數(shù)的正多邊形計(jì)算圖過渡到一般計(jì)算圖，滲透了“從特殊到一般，再由一

般到特殊”的辯證唯物主義認(rèn)識(shí)觀；正多邊形計(jì)算圖的得出滲透了化繁為簡(jiǎn)、化難為易二矛

盾相互依存、相互轉(zhuǎn)化的思想；通過正多邊形的有關(guān)計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)認(rèn)真、一絲不茍、

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；通過正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生不斷探索科學(xué)奧秘的創(chuàng)新精

神.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1、重點(diǎn)：化正多邊形的有關(guān)計(jì)算為解直角三角形問題定理、正多邊形計(jì)算圖及其應(yīng)用。

2、難點(diǎn)：正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)

用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算.

3、疑點(diǎn)及解決方法：學(xué)生對(duì)只畫出正n邊形的一部分圖形的計(jì)算圖生疏，用它分析、

計(jì)算有疑慮.為此計(jì)算圖的抽象應(yīng)由具體邊數(shù)的正多邊形計(jì)算圖逐步過渡.

教法學(xué)法和教具

1.教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2.學(xué)法：學(xué)生主動(dòng)探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學(xué)過程

復(fù)司而備部今

復(fù)習(xí)提問：

1、哪位同學(xué)回答，什么叫正多邊形.（安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形.）

2、什么是正多形的邊心距、半徑？（安排中下生回答：正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做邊心距.正

多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.）

3＞正多邊形的邊有什么性質(zhì)、角有什么性質(zhì)？（安排中下生回答：邊都相等，角都相等.）

4、什么叫正多邊形的中心角？（安排中下生回答：正多邊形的一邊所對(duì)正多邊形外接圓的圓

心角.）

5、正n邊形的中心角度數(shù)如何計(jì)算？正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)如何計(jì)算？（哪位同學(xué)有所發(fā)

現(xiàn)？（安排舉手學(xué)生：正n邊形的中心角度數(shù)=正門邊形的一個(gè)外角度數(shù).）

6、哪位同學(xué)記得n邊形的內(nèi)角和公式？（請(qǐng)回憶起來的學(xué)生回答）.哪位同學(xué)能根據(jù)n邊形

內(nèi)角和定理和正n邊形的性質(zhì)給出求正n邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的公式？（安排中下生回答：正

n邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)）

7,正n邊形的每個(gè)內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角有何數(shù)量關(guān)系？（中下生答）

根據(jù)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角的互補(bǔ)關(guān)系和正n邊形每個(gè)外角度數(shù)公式，

正n邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)又可怎樣計(jì)算？（安排中下生答）

思考練習(xí)題一：（引導(dǎo)學(xué)生思考，回答）

1.正五邊形的中心角度數(shù)是；每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

2.一個(gè)正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)是360°,則它的邊數(shù)n=,每個(gè)內(nèi)角度數(shù)是；

3.一個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是140。，則它的邊數(shù)n=,中心角度數(shù)是.

對(duì)于前2題安排中下生回答，對(duì)于第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路.

偏堂獴棟群令

一、展示正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形.如凰讓學(xué)生邊觀察、邊回答老師依次

提出的問題、邊思考.

1.觀察每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成多少個(gè)什么樣子的三角形？（安排中下生回答）

AF

B至月

CD

⑷

2.觀察每個(gè)圖形中所得的三角形具有什么關(guān)系？為什么？（安排中等生回答）

3.將上述四個(gè)圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什么結(jié)論？［哪位說說自己的想法］

二、作出各等腰三角形底邊上的高，如圖7-139,安排學(xué)生觀察、思考并回答以下問題：

1.這些等腰三角形的每一條高都將每個(gè)等腰三角形分割為兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三

角形全等嗎？為什么？（安排中下生回答）

2.這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什么？（安排中下生回答：邊心距）

3.正n邊形的n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個(gè)數(shù)是多少？（安

排中等生回答：2n個(gè)）

給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.

A

三、如圖：安排學(xué)生觀察每個(gè)直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成.（安排中下生回答,

直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑R、一條直角邊是正多邊形的邊心距.另一直角邊是正

多邊形邊長(zhǎng)的一半（在此安排中等生回答:為什么？）半徑與邊心距的夾角是正多邊形一個(gè)中

心角的一半.（安排中等生回答“為什么？”）

教師講解：由于這個(gè)直角三角形融合了正多邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關(guān)半徑、

邊心距、邊長(zhǎng)、中心角的計(jì)算問題歸結(jié)為解直角三角形的問題來解決.

給出正多邊形抽象的計(jì)算圖，教師講解：

由于正多邊形的有關(guān)計(jì)算都?xì)w結(jié)為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個(gè)直角

三角形就可以了，其余就不畫或略畫.圖中R表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表

示正n邊形的邊長(zhǎng)，an表示正n邊形的中心角.

提問：對(duì)于給定具體邊數(shù)的正n邊形，你首先可以求出直角三角形

中的哪個(gè)元素？（安排中下生回答，:中心角）.

（教師講解）：直角三角形中一銳角己知，所以只要再給直角三角形的R、rn、an其中一項(xiàng)賦

值就可求出其它元素.

例1已知：如圖7-142,正4ABC的邊心距r3=2.

求：R、a3.

問：要解此題，首先要做什么？（找中等生回答：畫出基本計(jì)算圖）

然后要先計(jì)算什么？（找中等生回答：算出g中心角的度數(shù).年=60°）

最后要做什么工作：（找中上生回答：選擇三角函數(shù)）

圖7-142

思考練習(xí)題二：完成下列各題：

1.己知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)a4=2.求：R,r4.

2.已知：正六邊形ABCDEF的半徑R=2,求：r6,a6.

（對(duì)于計(jì)算正確且較快的學(xué)生，讓他們自擬試題進(jìn)行計(jì)算，教師重點(diǎn)輔導(dǎo)需要幫助的學(xué)生）

再回到例1,問：你會(huì)求這個(gè)正三角形的周長(zhǎng)P3嗎？怎么求？為什么這樣求？（安排中等生

回答：邊長(zhǎng)X3,因?yàn)檎切稳呄嗟龋?

再問：你會(huì)求這個(gè)正三角形的面積S3嗎？怎么求？為什么這樣求？（安排中等生回答：直角

△AOC的面積X6,由定理可知這樣的直角三角形的個(gè)數(shù)是邊數(shù)的2倍.或者，等腰AAOB

的面積義3,由定理可知選擇的等腰三角形的個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同.）

請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算上述二題的周長(zhǎng)和面積（計(jì)算快而準(zhǔn)的學(xué)生讓其自擬題目再練習(xí)）

（幻燈給出例2）：已知正六邊形ABCDEF的半徑為R,求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)a6、周長(zhǎng)P6和

面積S6.

圖7-143

（提問）：1.首先要作什么？（安排中下生回答：畫基本計(jì)算圖）2.然

后計(jì)算什么？（安排中下生回答：算出:中心角=30°）3.最后要做什

么？（安排中下生回答：選擇三角函數(shù)）

通過上面計(jì)算，你得出正六邊形的半徑與邊長(zhǎng)有什么數(shù)量關(guān)系？（安排中下生回答：相等）

希望大家記住這個(gè)結(jié)論：a6=R,因?yàn)樗粌H有利于計(jì)算而且是尺規(guī)畫正六邊形的依據(jù).

大家再看$6=6?56?%=?P6?4，它多象S&=gah,哪位同學(xué)

能納出正n邊形的面積公式？（找上等生回答：Sn=pnrn）

總給、名屐（引導(dǎo)學(xué)生反思）哪位同學(xué)能說一下，這堂課我們都學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？（安排中

等生歸納）

1.化正多邊形的有關(guān)計(jì)算為解直角三角形問題定理，2.運(yùn)用正多

邊形計(jì)算圖解題步驟，3.a6=RSn=1pnrn）4.與正多邊形有關(guān)的

角計(jì)算.

布置作業(yè)：教材P.158,7、9.

板書設(shè)計(jì)

7.17正多邊形的有關(guān)計(jì)算（一）

1.n邊形內(nèi)角和=

2.正n邊形的一個(gè)外角=

3.正n邊形的一個(gè)內(nèi)角=｛；］

教后札記：學(xué)生對(duì)正多邊形的有關(guān)概念和計(jì)算方法能夠理解，但是，應(yīng)用較生，對(duì)定理能

夠理解，但是，由于解題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)多邊形接觸較少，應(yīng)用有難度，解題不周密，要

指導(dǎo)學(xué)生對(duì)正多邊形的概念、作圖和定理計(jì)算方法的反思學(xué)習(xí)。

正多邊形的有關(guān)計(jì)算（二）

素質(zhì)教育目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)正多邊形的基本計(jì)算圖，并會(huì)通過解一般直角三角形來完成正多邊形的計(jì)算，解決

實(shí)際應(yīng)用問題；通過正十邊形的邊長(zhǎng)alO與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計(jì)算邊推理的數(shù)學(xué)

方法；在基本計(jì)算圖的基礎(chǔ)上，能將同圓內(nèi)接正n邊形與外切正n邊形的有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行

相互轉(zhuǎn)化.

2、在解應(yīng)用題時(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，把實(shí)物抽象為幾何圖形的抽象

能力；根據(jù)條件進(jìn)行正確迅速計(jì)算的運(yùn)算能力；用代數(shù)計(jì)算的結(jié)果作證明依據(jù)的綜合、分析

問題，解決問題的能力；通過研究同圓內(nèi)接正n邊形與外切正n邊形的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀

察能力.

3、通過解應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀點(diǎn)；通過研究同

圓內(nèi)接正n邊形與外切正n邊形的關(guān)系，滲透事物相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)及抓主要矛盾的辯證唯物

主義觀點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.重點(diǎn)：應(yīng)用正多邊形的基本計(jì)算圖解決實(shí)際應(yīng)用問題；用

代數(shù)計(jì)算的方法證明正十邊形的邊長(zhǎng)a1。=理匚氏（3）同圓內(nèi)接正n

邊形與外切正n邊形已知條件與未知元素的相互轉(zhuǎn)化.

2.難點(diǎn)：證a［。：與^R.

3.疑點(diǎn)及解決方法：在推導(dǎo)alO與R關(guān)系時(shí)，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法

是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識(shí).

教法學(xué)法和教具

1.教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2.學(xué)法：學(xué)生主動(dòng)探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學(xué)步驟

談話引入：上節(jié)課我們根據(jù)正多邊形的定義及其概念，運(yùn)用將正多邊形分割成三

角形的方法，得到了化正多邊形有關(guān)計(jì)算為解直角三角形問題基本計(jì)算圖，并應(yīng)用基本

計(jì)算圖解決諸如正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計(jì)算問題，即解決了含特殊角的正多邊

形的有關(guān)計(jì)算問題，本節(jié)課我們繼續(xù)研究正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題.正多邊形的有關(guān)計(jì)算方

法是基本的幾何計(jì)算知識(shí)之一，掌握這些知識(shí)，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另

一方面，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，掌握后對(duì)學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義，

為此本堂課講解了幾個(gè)正多邊形有關(guān)計(jì)算的實(shí)例，借以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí).

課堂探練部分

課堂練習(xí)：一，展示正多邊形的一般計(jì)算圖，教師提問以下問題讓學(xué)生回憶并作答：

1.在RtZkAOD中，斜邊R是正n邊形的；（安排中下生回答：半徑）

2.直角邊rn是正n邊形的；（安排中下生回答：邊心距）

圖7-144

3.圖中的an表示正多邊形的什么？（安排中下生回答：邊長(zhǎng)）

4.圖中的an表示正多邊形的什么？（安排中下生回答：中心角）

5.哪位同學(xué)知道當(dāng)應(yīng)該如何計(jì)算？（安排中下生回答：守=

180°、

一^）二，幻燈供題：己知正方形的半徑是正，求邊心距小邊長(zhǎng)即.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：哪位同學(xué)記得解這類題的一般步驟？（安排中下生回答：先畫計(jì)算

圖，標(biāo)明已知數(shù)據(jù)，未知條件，再解直角三角形）正方形的g中心角

度數(shù)是多少？（安排中下生回答：45°）

要求邊心距q,現(xiàn)已知半徑R=、窗，大家想想看該選字的哪個(gè)三

分析完后，安排學(xué)生計(jì)算出結(jié)果.

例一：在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測(cè)得這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)是

48cm,求它的半徑R和邊心距r5（精確到0.1cm）.

D

EM2C

AFB

圖7-145

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：哪位同學(xué)記得解這類題的一般步驟？（安排中下生回答）

解：設(shè)正五邊形為ABCDE,它的中心為點(diǎn)0,連接0A,作0FLAB,垂足為F,（問：這一步

目的是什么？）則0A=R,0F=r5,ZA0F=?（安排學(xué)生回答：36°）

■AF=^=y=24（cm）,

2424

R=?々A。=———^40.8（cm）

sin360,5878

；.r5=24?ctg36°=24X1.3764^33.0（cm）.

答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm,邊心距約為33.0cm.

正多邊形的有關(guān)計(jì)算，在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，但將實(shí)際問題歸結(jié)為正多邊形的有關(guān)計(jì)

算后，解題的步驟方法就依然如故了，本題撥禾輪問題與前題正方形的計(jì)算不是同出一轍

嗎？

鞏固練習(xí)：教材P.151中7,要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)a的正方形鐵片，選用的圓鐵片的直徑

最小要多長(zhǎng)？

教師啟發(fā)，提出下列問題：L要截出邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片與選用的直徑最小的圓鐵片它

們之間是什么關(guān)系？（安排中等生回答：正方形是圓的內(nèi)接正方形）2.這題實(shí)質(zhì)是給出了正

方形的什么元素，求什么元素？（安排中下生回答：給出正方形邊長(zhǎng)求半徑.）

請(qǐng)同學(xué)們以最快的速度，求出答案.

例二：給出頂角36。的等腰三角形，教師作如下啟發(fā)思考的提問：

1.如圖，已知aABC中AB=AC,ZA=36°,哪位同學(xué)知道NB與Nc的度數(shù)？（安排中下生

回答）2.如果BD平分/ABC交AC于D,你發(fā)現(xiàn)圖形中與BC相等的線段有哪些？（安排

中下生回答）3.你發(fā)現(xiàn)圖形中哪兩個(gè)三角形相似？（安排中等生回答）4.如果AC=a,BC

應(yīng)是多少？怎么計(jì)算？（安排學(xué)生討論、研究）

A

D

BC

圖7-146

AB=AC1ZABC=72°=ZclZABD=ZDBC=36°

NA=36。BD平分/ABCj=/A=36。

rAD=BD=BC

'AABCcoABDC=

ACBCBC2=AC-DC=>BC2=（AC-AD）?AC）

----=-----=>=>

BCDCBC=ADJ

BC2=BC*AC-AC2=0）、,君-1

八^=>BC2+a*BC-a2=0=>BC=24—a

AC=a2

（繼續(xù)啟發(fā)思考提問）：大家觀察證明中BC?=DE*AC這一步，因BC=AD,所以前等式變?yōu)?/p>

AD2=DC-AC,也就是說點(diǎn)D將線段AC分為兩部分，其中較長(zhǎng)的線段AD是較小線段CD與全

線段AC的比例中項(xiàng)，哪位同學(xué)記得點(diǎn)D應(yīng)叫做線段AC的什么點(diǎn)？（安排回憶起來的學(xué)生回

答：黃金分割點(diǎn)）由上面的證明我們知道AD應(yīng)是AC的黃金分割線段，由于BC與AD相等，

觀察發(fā)現(xiàn)BC是頂角36。角的等腰三角形的底,AC是這等腰三角形的腰？通過上面證明哪位

同學(xué)能說一下你所得的結(jié)論？（安排中上學(xué)生回答：頂角36。角的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是它

腰長(zhǎng)的黃金分割線段）若腰長(zhǎng)為a則底邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？（安排中等生回答）

1.哪位同學(xué)知道正十邊形的中心角的度數(shù)是多少？（安排中下生回答：36。）2.大家想想看,

正十邊形的夾36°中心角的半徑與邊長(zhǎng)組成一個(gè)什么圖形？（安排中等生回答:頂角36。的

等腰三角形）3.如果一個(gè)正十邊形的半徑為R,那么這個(gè)正十邊形的邊長(zhǎng)alO應(yīng)該等于多少？

你會(huì)證明aio=在逐T）Rio嗎？請(qǐng)看書本150例三

例三：已知。0的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2,求。。的外切正三角形的邊長(zhǎng).

大家觀察。0的半徑0C,它與內(nèi)接正六邊形ABCDEF、外切正△MNP有什么聯(lián)系？（安排中上

學(xué)生回答：0C是內(nèi)接正六邊形的半徑，它又是外切正aWNP的弦心距）由于正六邊形的邊長(zhǎng)

等于半徑，知邊長(zhǎng)為2即知。0的半徑R=2,而半徑0C又是。。外切

正△MNP的弦心距今，解RtAOCP可得正△ANP的邊長(zhǎng)=4j3.

通過這題你發(fā)現(xiàn)連接圓內(nèi)接正n邊形與圓外切正多邊形的橋梁是什么？（安排中等學(xué)生回

答：這個(gè)圓的半徑R）這R是內(nèi)接正n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，所以解

這類題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件首先求出R,再將R轉(zhuǎn)化求出未知元素.

總結(jié)與拓展（引導(dǎo)學(xué)生反思）

哪位同學(xué)能說一下，這堂課我們都學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？（安排上等生歸納）

1.應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算解決實(shí)際問題.

2.綜合代數(shù)列方程的方法證明了a1。：誓^R,證明了一條線段

的黃金分割線段是全線段的亨，近似值0.618.

3.明確了連接圓內(nèi)接正n邊形與同圓外切正多邊形的橋梁是這個(gè)圓的半徑，即它是內(nèi)接正

n邊形的半徑又是同圓外切正多邊形的邊心距，因此解決此類問題首先要求它.

布置作業(yè)教材P.158中練習(xí)8、10、11、12P.i51、1

板書設(shè)計(jì)

教后札記：學(xué)生對(duì)正多邊形的有關(guān)概念和計(jì)算方法能夠理解，但是，應(yīng)用較生，對(duì)定理能

夠理解，但是，由于解題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)多邊形接觸較少，應(yīng)用有難度，解題不周密，要

指導(dǎo)學(xué)生對(duì)正多邊形的概念、作圖和定理計(jì)算方法的反思學(xué)習(xí)。

新沂市第十中學(xué)數(shù)學(xué)教案一一幾何No：第6課時(shí)2005年2月26日星期六

國(guó)正多邊形（一）

素質(zhì)教育目標(biāo)

1.使學(xué)生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊

形.使學(xué)生會(huì)用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，在這個(gè)基礎(chǔ)上能作圓內(nèi)接正八邊形、正三

角形、正十二邊形.

2、通過畫圖培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力；通過畫正方形到會(huì)畫正八邊形，通過畫六邊形到畫

三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、遷移能力.通過畫圖中需減小積累誤差的思考

與操作，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

3、通過畫正方形到畫正八邊形，畫正六邊形到畫正三角形、正十二邊形，滲透從“特

殊到一般，再由一般到特殊”的認(rèn)識(shí)觀，從正多邊形邊數(shù)的增加越來越接近于圓，滲透了量

變到質(zhì)變的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn).通過學(xué)習(xí)畫圖實(shí)踐滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)以及創(chuàng)新、選優(yōu)意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)、觀點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.重點(diǎn)：用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形；用尺規(guī)

作圓內(nèi)接正方形和正六邊形.

2.難點(diǎn)：準(zhǔn)確作圖.

3.疑點(diǎn)及解決方法：尺規(guī)等分圓法，理論上正確，但實(shí)際應(yīng)用畫圖時(shí)卻并非如此，學(xué)

生對(duì)此產(chǎn)生疑惑，為此在教師示范過程中要演示出誤差的積累過程與解決的方法.

教法學(xué)法和教具

1.教法：引導(dǎo)學(xué)生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2.學(xué)法：學(xué)生主動(dòng)探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學(xué)步驟

（引入）前幾課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)、判定，尤其學(xué)習(xí)了正多邊形與圓

關(guān)系的兩個(gè)定理，而后我們又學(xué)習(xí)了正多邊形的有關(guān)計(jì)算，本堂課我們一起學(xué)習(xí)畫正多邊

形.由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用性，所以會(huì)畫正多邊形應(yīng)是學(xué)生必備能

力之一。

復(fù)習(xí)派備都令,,

復(fù)習(xí)提問：1.哪位同學(xué)記得正多邊形與圓關(guān)系的第一個(gè)定理？（安排中下生回答）2.哪位同

學(xué)記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧有什么性質(zhì)？（安排中下生回答：相等的圓

心角所對(duì)的弧相等）

健堂探棟郡今

引導(dǎo)學(xué)生探究下列問題

1、現(xiàn)在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關(guān)系的第一個(gè)定理中，你有什么啟

發(fā)？（安排學(xué)生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結(jié)n

個(gè)等分點(diǎn)就得正n邊形）

2、那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復(fù)習(xí)的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大

家相互間討論.（安排中等生回答：把360°的圓心角n等分）

3、如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看.（安排中等生回

答：先畫半徑2cm的圓，然后把360。的圓心角9等份，每一份40。）,用什么工具可

得到40°角呢？（安排中下生回答：量角器）

教師總結(jié)：我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，

課堂練習(xí)一：大家用量角器畫出半徑為2的內(nèi)接正九邊形.（讓學(xué)生討論交流不同的

畫法后分類型板演）

注意:學(xué)生在畫圖實(shí)踐中必然出現(xiàn)兩種情況:其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，

這種方法比較準(zhǔn)確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個(gè)40。的圓心角，然后在圓上依次

截取40°圓心角所對(duì)弧的等弧，于是得到圓的9等分點(diǎn)，這種方法比較方便，但畫圖的誤

差積累到最后一個(gè)等分點(diǎn)，使畫出的正九邊形的邊長(zhǎng)誤差較大.對(duì)此學(xué)生必然迷惑不解，在

此教師應(yīng)肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準(zhǔn)確的原因是由于誤差積累的結(jié)果，

然后引導(dǎo)學(xué)生討論，研究減小誤差積累的二個(gè)途徑：其一，調(diào)整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡

可能準(zhǔn)確的等于所畫正九邊形的邊長(zhǎng).其二，若有可能，盡可能減少操作次數(shù)，減少產(chǎn)生誤

差的機(jī)會(huì).

G

C

圖7-148

課堂練習(xí)二：大家想想如何畫一個(gè)半徑為2cm的正方形呢？（安排中下生回答）

注意：畫出NA0B=90°后，

方法1,可依次作90°圓心角；

方法2,用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？（安排中等生回

答：將AO與B0邊延長(zhǎng)交。。于C、D）.正方形一邊所對(duì)的圓心角是90°角，不用量角器用

尺規(guī)能不能做出90°的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？（安排中上等生回

答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑）

圖T-149

課堂練習(xí)三：請(qǐng)同學(xué)們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形.（安排中上生完成）

引導(dǎo)學(xué)生思考：

1、大家想想看，借助這個(gè)圖形，能否作出00的內(nèi)接正八邊形？（同學(xué)們互相研究研究，

安排中上生回答：能，過圓心0作正方形各邊的垂線與圓相交即得。0的八等分點(diǎn)）為什么？

根據(jù)什么定理？（安排中上等生回答：垂徑定理）還有什么方法？（安排中上等生作各直角的

角平分線.）請(qǐng)同學(xué)們用此二法在圖上畫出正八邊形.

2、照此方法，同學(xué)們想想看，你還能畫出邊數(shù)為幾的正多邊形？（安排中下生回答：16邊

形等）

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：綜上所述及同學(xué)們的畫圖實(shí)踐可知：只要作出已知。。的互相垂直的直

徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與。0相交，或作各中心角的角平分線與。0

相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

課堂練習(xí)四：大家再思考一個(gè)問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方

法？

引導(dǎo)學(xué)生討論交流：

方法1.畫半徑2cm的。0,然后用量角器畫60°的圓心角，依次畫下去即六等分圓周.

方法2.畫半徑2cm的。0,然后用量角器畫出60°的圓心角，

如果有同學(xué)想到方法3