總體集中趨勢(shì)的估計(jì)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)人教版

必修第二冊(cè)第九章

統(tǒng)計(jì)

在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后處在最中間位置的數(shù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)).

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

一組11個(gè)樣本數(shù)據(jù)為:19,23,12,15,14,17,10,12,18,12,27排序后為:10,12,12,12,14,15,17,18,19,23,27眾數(shù)為12下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).中位數(shù)為15平均數(shù)為16探究1：假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量如下表（單位：t）9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。集中趨勢(shì)

平均數(shù)中位數(shù)（第50位、第51位）

眾數(shù)2.0和5.5由樣本的數(shù)據(jù)我們可以估計(jì)出全市居民用水量的平均數(shù)是8.79、中位數(shù)是6.6、眾數(shù)是2.0和5.5探究2樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無(wú)法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)．

如何由頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？

你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎?在頻率分布直方圖中，我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布.1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t頻率/組距一、平均數(shù)樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和.

8.79回顧：頻率分布直方圖中每個(gè)矩形面積的數(shù)學(xué)意義.頻率1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t頻率/組距二、中位數(shù)

1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t頻率/組距三、眾數(shù)

面積最大[針對(duì)訓(xùn)練]

一批乒乓球,隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查,球的直徑頻率分布直方圖如圖,試估計(jì)這個(gè)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表).【思考】小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77．請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較,哪個(gè)量的值變化更大?你能解釋其中的原因嗎?平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)7.76.66.62.2和5.5779.4836.62.2和5.5小結(jié)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的含義、特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)在頻率分布直方圖中的含義特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起它的改變把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息受極端數(shù)據(jù)的影響較大.代表了樣本數(shù)據(jù)更多的信息.只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響.平均數(shù)和中位數(shù)單峰右邊“拖尾”左邊“拖尾”平均數(shù)、中位數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)(如下圖），平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？(1)直方圖形狀對(duì)稱：平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；(2)直方圖右邊“拖尾”：平均數(shù)大于中位數(shù)；(3)直方圖左邊“拖尾”：平均數(shù)小于中位數(shù).與中位數(shù)相比，平均數(shù)總在直方圖的“長(zhǎng)尾巴”那邊例某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示：校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論上表數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來(lái)表示表中的數(shù)據(jù).

通過(guò)觀察條形圖可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理.數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)：平均數(shù)、中位數(shù)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）：眾數(shù)總體的各種數(shù)字特征都可以由兩種途徑來(lái)