2025屆北京市海淀區(qū)交大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆北京市海淀區(qū)交大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，，，為的外接圓的圓心，則（）A． B．C． D．2．設(shè)是上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若且，則（）A． B．C． D．與大小不確定3．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20364．若直線xa+yb=1(a>0,b>0)A．3 B．4 C．3+22 D．5．在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的大小為()A． B． C． D．或6．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-177．已知兩條直線m,n，兩個(gè)平面α,β，給出下面四個(gè)命題：①m//n，m⊥α?n⊥α；②α//β，m?α，n?β?m//n；③m//n，m//α?n//α；④α//β，m//n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號(hào)是（）A．①④B．②④C．①③D．②③8．若函數(shù)局部圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．9．為了了解所加工的一批零件的長(zhǎng)度，抽測(cè)了其中個(gè)零件的長(zhǎng)度，在這個(gè)工作中，個(gè)零件的長(zhǎng)度是（）A．總體 B．個(gè)體 C．樣本容量 D．總體的一個(gè)樣本10．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________12．適合條件的角的取值范圍是______.13．______.14．設(shè)，其中，則的值為_(kāi)_______.15．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書(shū)中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得份量成等差數(shù)列，且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為_(kāi)__.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求不等式的解集.18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面積；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．19．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）若，求直線的方程．（2）判斷是否為定值．若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知等差數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求的值.21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）設(shè)，求點(diǎn)到面的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【詳解】由正弦定理可得，因此，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】試題分析：由是上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)榍遥?，所以，又因?yàn)?，所以，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，本題的解答中先利用偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性得出在上是增函數(shù)，然后在利用題設(shè)條案件把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于中檔試題.3、C【解析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.【詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，本質(zhì)是考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.4、C【解析】

將1,2代入直線方程得到1a+2【詳解】將1,2代入直線方程得到1a+b=(a+b)(當(dāng)a=2故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】

平移CD到AB，則即為異面直線與所成的角，在直角三角形中即可求解.【詳解】連接AC1，CD//AB，可知即為異面直線與所成的角，在中，，故選．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角.常用方法：1、平移直線到相交；2、向量法.6、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：，故選A.7、A【解析】依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題①是正確的；對(duì)于命題②，直線m,n還有可能是異面，因此不正確；對(duì)于命題③，還有可能直線n?α，因此③命題不正確；依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題④是正確的，故應(yīng)選答案A.8、D【解析】

由的部分圖象可求得A，T，從而可得，再由，結(jié)合的范圍可求得，從而可得答案．【詳解】，；又由圖象可得：，可得：，，，．，，又，當(dāng)時(shí)，可得：，此時(shí)，可得：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，常用五點(diǎn)法求得的值，屬于中檔題．9、D【解析】

根據(jù)總體與樣本中的相關(guān)概念進(jìn)行判斷.【詳解】由題意可知，在這個(gè)工作中，個(gè)零件的長(zhǎng)度是總體的一個(gè)樣本，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查總體與樣本中相關(guān)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】因?yàn)椋杂深}設(shè)在只有一個(gè)零點(diǎn)且單調(diào)遞減，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是如何借助題設(shè)條件建立不等式組，這是解答本題的難點(diǎn)，也是解答好本題的突破口，如何通過(guò)解不等式使得問(wèn)題巧妙獲解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

由等差數(shù)列的前和公式，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及合理應(yīng)用等差數(shù)列的前和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)法則，得，從而求出的取值范圍.【詳解】，的取值范圍的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)符號(hào)法則的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.13、【解析】

先令，得到，兩式作差，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，兩式作差得：所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的求和，熟記錯(cuò)位相加法求數(shù)列的和即可，屬于常考題型.14、【解析】

由兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出的值．【詳解】，所以，因?yàn)椋剩军c(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．15、【解析】

設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份為a1，故答案為．16、1【解析】

由，解得，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證即可得出．【詳解】由，解得．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得：滿足直線與直線平行，則實(shí)數(shù)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查直線的平行與斜率之間的關(guān)系，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2），【解析】

（1）由余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，解不等式即可得解；（2）解三角不等式即可得解.【詳解】解：解：（1）令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，即，所以，，解得?故不等式的解集為，.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，重點(diǎn)考查了三角不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（2）當(dāng)時(shí)，由余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值，利用正弦定理可求的值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，,,．（2）當(dāng)時(shí)，，,，由正弦定理得：,．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）或．（2）是，定值．【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出，再聯(lián)立直線方程和圓的方程，得到，，然后由列式，再將的值代入求解，即可求出；（2）先根據(jù)特殊情況，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，再說(shuō)明當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，是否成立，即可判斷．【詳解】（1）由已知得不與軸垂直，不妨設(shè)，，．聯(lián)立消去得，則有，又，，，解得或．所以，直線的方程為或．（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)（斜率不存在），，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，又由（1），，且，所以．綜上，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理的應(yīng)用，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及和圓有關(guān)的定值問(wèn)題的解法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1），；（2），【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和公式可得答案；（2）利用“裂項(xiàng)求和”法可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，又，解得.所以.所以.（2）由，得.設(shè)的前項(xiàng)和為，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和，及數(shù)列求和的“裂項(xiàng)相消法”，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般用到線面垂直的性質(zhì)定理，即先要證線面垂直，首先由已知底面.知，因此要證平面，從而只