2025屆黑龍江省龍東南七校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆黑龍江省龍東南七校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．12．已知，且，那么a，b，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．3．已知是的邊上的中點(diǎn)，若向量，，則向量等于（）A． B． C． D．4．已知與之間的一組數(shù)據(jù)如表，若與的線性回歸方程為，則的值為A．1 B．2 C．3 D．45．若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線恒過點(diǎn)()A． B． C． D．6．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知全集，集合，，則為()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}8．要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度9．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側(cè)視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．10．某高校進(jìn)行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機(jī)抽取了24名筆試者的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．分?jǐn)?shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據(jù)此估計允許參加面試的分?jǐn)?shù)線大約是()A．90 B．85C．80 D．75二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側(cè)面積__________．12．______．13．己知某產(chǎn)品的銷售額y與廣告費(fèi)用x之間的關(guān)系如表：單位：萬元01234單位：萬元1015203035若求得其線性回歸方程為，則預(yù)計當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬元時的銷售額為_____14．從原點(diǎn)向直線作垂線，垂足為點(diǎn)，則的方程為_______.15．在等差數(shù)列中，，當(dāng)最大時，的值是________.16．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個交點(diǎn)的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時，在上的單調(diào)區(qū)間.18．已知，.求和的值.19．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量×（萬輛）5051545758PM2.5的濃度（微克/立方米）6070747879（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若周六同一時間段的車流量是25萬輛，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測此時PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是：，其中，20．設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和同向.21．某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該產(chǎn)品在試銷一個階段后得到銷售單價（單位：元）和銷售量（單位：萬件）之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價/元銷售量/萬件（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）從反饋的信息來看，消費(fèi)者對該產(chǎn)品的心理價（單位：元/件）在內(nèi)，已知該產(chǎn)品的成本是元，那么在消費(fèi)者對該產(chǎn)品的心理價的范圍內(nèi)，銷售單價定為多少時，企業(yè)才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）參考數(shù)據(jù)：參考公式：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

直角利用待定系數(shù)法可得答案.【詳解】因為S8=8a1+a82【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的相關(guān)計算，難度不大.2、D【解析】

直接用作差法比較它們的大小得解.【詳解】；；.故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了作差法比較實(shí)數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，以及平行四邊形的性質(zhì)可得，，解出向量．【詳解】根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，有．故選．【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

先求出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程，即可求得的值，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，又由回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，所以，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答中熟記線性回歸直線方程的基本特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用直線過定點(diǎn)可求所過的定點(diǎn).【詳解】直線過定點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，因為關(guān)于點(diǎn)對稱，故直線恒過點(diǎn)，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，若直線和直線相交，那么動直線必過定點(diǎn)（該定點(diǎn)為的交點(diǎn)）.6、A【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求與的坐標(biāo),由兩向量所成角的余弦值求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得：,,所以,.設(shè)異面直線與所成角,則故異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解線線角的問題,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先根據(jù)全集U求出集合A的補(bǔ)集，再求與集合B的并集．【詳解】由題得，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】∵，∴要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位．選B．9、D【解析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，根據(jù)幾何體的表面積公式，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.10、C【解析】

根據(jù)題意可從樣本中數(shù)據(jù)的頻率考慮，即按成績擇優(yōu)選擇頻率為的，根據(jù)題意得到所選的范圍后再求出對應(yīng)的分?jǐn)?shù)．【詳解】由題意得，參加面試的頻率為，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)可得，樣本中[80，90]的頻率為，由樣本估計總體知，分?jǐn)?shù)線大約為80分．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，同時還要正確掌握統(tǒng)計中的常用公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對應(yīng)長方體中，計算各個面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個面都是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體是解題的關(guān)鍵.12、【解析】

,,故答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、切割化弦思想.13、【解析】

由已知表格中數(shù)據(jù)求得，，再由回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)求得，得到回歸方程，取即可求得答案．【詳解】解：，，，．則，取，得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．14、.【解析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時的斜率關(guān)系可求得直線的斜率.再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得直線的方程.【詳解】從原點(diǎn)向直線作垂線,垂足為點(diǎn)則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關(guān)系可知根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線的方程為化簡得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、6或7【解析】

利用等差數(shù)列的前項和公式，由，可以得到和公差的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大時，的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，因為，，所以當(dāng)或時，有最大值，因此當(dāng)?shù)闹凳?或7.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式，考查了等差數(shù)列的前項和最大值問題，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案為1﹣2i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式，降冪公式以及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)其圖象與軸相鄰的兩個交點(diǎn)的距離為，得出周期，利用周期公式得出，即可得出該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)平移變換得出，再由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值，進(jìn)而得出，利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：（1）由已知函數(shù)的周期，，∴.（2）將的圖象向左平移個長度單位得到的圖象∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴，即∴，∴，∵，∴當(dāng)，取最小值，此時最小值為此時，.令，則當(dāng)或，即當(dāng)或時，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.∴在上的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定解析式以及正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.18、，【解析】

把已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，可得的值，同時由與的值可判斷出，，計算出的值，可得的值.【詳解】解：，兩邊同時平方可得：，又，，∴∴，∴【點(diǎn)睛】同時主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，相對不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.19、（1）；（2）37【解析】

（1）根據(jù)題中所給公式分別求出相關(guān)數(shù)據(jù)即可得解；（2）將代入（1）所得直線方程即可得解.【詳解】（1），故y關(guān)于x的線性回歸方程是：（2）當(dāng)時，所以可以預(yù)測此時PM2.5的濃度約為37.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線的方程，根據(jù)公式直接求解，利用所得回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)向量的運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量共線基本定理即可證明三點(diǎn)共線；（2）根據(jù)平面向量共線基本定理，可設(shè)，由向量相等條件可得關(guān)于和的方程組，解方程組并由的條件確定實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）證明：因為，，，所以.所以共線，又因為它們有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.