湖南湖北八市十二校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研模擬試題含解析

湖南湖北八市十二校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖分別是一個(gè)正方形，一個(gè)矩形，一個(gè)半圓，尺寸大小如圖所示，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．3．已知，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在直線上，若存在滿足該條件的使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（）A． B．0 C． D．17．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（）A．75°B．60°C．45°D．30°8．已知角、是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)（）A． B．C． D．10．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列語(yǔ)句：①若為正實(shí)數(shù)，，則；②若為正實(shí)數(shù)，，則；③若，則；④當(dāng)時(shí)，的最小值為，其中結(jié)論正確的是___________．12．已知點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.13．半徑為的圓上，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______．14．已知，則____________________________．15．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)______.16．在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3＝9，則當(dāng)3a2+a4取得最小值時(shí)，＝_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積18．隨著高校自主招生活動(dòng)的持續(xù)開(kāi)展，我市高中生掀起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮.為調(diào)查我市高中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們?cè)谝恢軆?nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了6個(gè)區(qū)間：、、、、、，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）試估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的中位數(shù)甲（精確到0.01）；（2）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取的40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的平均值甲與乙及方差甲與乙的大小關(guān)系（只需寫(xiě)出結(jié)論），并計(jì)算其中的甲、甲（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.19．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.20．已知,,求證:(1);(2).21．已知圓，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求弦的長(zhǎng)；（3）求直線被圓截得的弦長(zhǎng)時(shí)，求以線段為直徑的圓的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.2、C【解析】

由給定的幾何體的三視圖得到該幾何體表示一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的半圓柱，結(jié)合圓柱的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖可得：該幾何體表示一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的半圓柱，所以該半圓柱的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.3、D【解析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出三棱錐的外接球直徑，從而求出外接球的表面積，得到答案.【詳解】由題意，將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，如圖所示，則,三棱錐的外接球直徑為，即半徑為，外接球的表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面圖形的折疊問(wèn)題，以及外接球的表面積的計(jì)算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)題干得到，存在滿足該條件的使得不等式成立，即，再根據(jù)均值不等式得到最小值為9，再由二次不等式的解法得到結(jié)果.【詳解】點(diǎn)在直線上,故得到，存在滿足該條件的使得不等式成立，即故原題轉(zhuǎn)化為故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．解決二元的范圍或者最值問(wèn)題，常用的方法有：不等式的應(yīng)用，二元化一元的應(yīng)用，線性規(guī)劃的應(yīng)用，等.6、C【解析】直線過(guò)定點(diǎn)Q(2,1),所以點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)PQ垂直直線,即,選C.7、C【解析】如圖：是底面中心，是側(cè)棱與底面所成的角；在直角中，故選C8、C【解析】

結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】在三角形中，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，若，則，由正弦定理得，充分條件成立；若，由可得，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，則，必要條件成立；故在三角形中，“”是“”的充要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理確定邊角關(guān)系，三角形大邊對(duì)大角原則應(yīng)謹(jǐn)記，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】試題分析：圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．10、C【解析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時(shí)求出實(shí)數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗(yàn)證，由此解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時(shí)，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時(shí)．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式在上恒成立問(wèn)題，求解時(shí)根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號(hào)列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③.【解析】

利用作差法可判斷出①正確；通過(guò)反例可排除②；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③正確；根據(jù)的范圍可求得的范圍，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知④錯(cuò)誤.【詳解】①，為正實(shí)數(shù)，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯(cuò)誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當(dāng)時(shí)，，由對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知：，可知④錯(cuò)誤.本題正確結(jié)果：①③【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問(wèn)題、利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.12、【解析】

作出圖形，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，結(jié)合圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，并求出直線的方程，與軸方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，直線的斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線段長(zhǎng)的最小值求點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.13、【解析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

分子、分母同除以，將代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.15、【解析】

對(duì)所求式子平邊平方，再將代入，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求【詳解】∵∵，∴，∴，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意等號(hào)成立的條件.16、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式等號(hào)成立的條件，求得公比，由此求得的值.【詳解】∵在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3＝9，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即q時(shí)，3a2+a4取得最小值，∴l(xiāng)og3q＝log3．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長(zhǎng)度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)四邊形為菱形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)平面，平面平面（Ⅱ）為正三角形，為中點(diǎn)平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）為中點(diǎn)又，，由（Ⅱ）知，【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行、線線垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問(wèn)題；涉及到線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識(shí)，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解析】

（1）根據(jù)每組小矩形的面積確定中位數(shù)所在區(qū)間，即可求解；（2）根據(jù)直方圖特征即可判定甲乙，甲乙，根據(jù)平均數(shù)和方差的公式分別計(jì)算求值.【詳解】（1）由甲高中頻率分布直方圖可得：第一組頻率0.1，第二組頻率0.2，第三組頻率0.3，所以中位數(shù)在第三組，甲；（2）根據(jù)兩個(gè)頻率分布直方圖可得：甲乙，甲乙甲=甲=【點(diǎn)睛】此題考查頻率分布直方圖，根據(jù)兩組直方圖特征判斷中位數(shù)和方差的大小關(guān)系，求中位數(shù)，平均數(shù)和方差，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)數(shù)據(jù)的求法，準(zhǔn)確計(jì)算得解.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．20、(1)證明見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解.【解析】

（1）利用不等式性質(zhì)，得，再證，最后證明；（2）先證，再證明.【詳解】證明：(1)因?yàn)?所以,于是，即,由，得.(2)因?yàn)?，所，又因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式性質(zhì)證明不等式，需要熟練掌握不等式的性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1