廣東省興寧市一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題含解析

廣東省興寧市一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且，，則等于（）A． B． C． D．2．設(shè)a,b,c均為不等于1的正實(shí)數(shù),則下列等式中恒成立的是A．B．C．D．3．圓的半徑為()A．1 B．2 C．3 D．44．已知200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．705．若圓的圓心在第一象限，則直線一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-37．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．8．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移9．已知,,三點(diǎn),則的形狀是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等腰直角三角形10．已知底面半徑為1，體積為的圓柱，內(nèi)接于一個(gè)高為圓錐（如圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，則從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為（）A．8 B． C． D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足下列條件：，且對(duì)于任意正整數(shù)，恒有，則______.12．若，則______（用表示）.13．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．14．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______15．已知函數(shù)分別由下表給出：123211123321則當(dāng)時(shí)，_____________.16．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績?cè)赱50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：518．若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；（2）函數(shù)為“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在(2)的條件下，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為常數(shù)有解，記該方程所有解的和為，求．19．已知直線與.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.20．如圖，制圖工程師要用兩個(gè)同中心的邊長均為4的正方形合成一個(gè)八角形圖形，由對(duì)稱性，圖中8個(gè)三角形都是全等的三角形，設(shè).(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大小.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：（）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：由已知得，解得（舍）或，又因?yàn)椋?，由正弦定理?考點(diǎn)：1、倍角公式；2、正弦定理.2、B【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律一一進(jìn)行運(yùn)算可得答案.【詳解】解：由a,b,c≠1.考察對(duì)數(shù)2個(gè)公式:，,對(duì)選項(xiàng)A:,顯然與第二個(gè)公式不符，所以為假.對(duì)選項(xiàng)B:,顯然與第二個(gè)公式一致，所以為真.對(duì)選項(xiàng)C:,顯然與第一個(gè)公式不符，所以為假.對(duì)選項(xiàng)D:,同樣與第一個(gè)公式不符，所以為假.所以選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算的各公式是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】

將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定所求.【詳解】因?yàn)閳A，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程互化，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通過展開化為一般方程，圓的一般方程通過配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡單題.4、B【解析】

先計(jì)算時(shí)速在的汽車頻率，再乘200,?！驹斀狻坑蓤D知：時(shí)速在的汽車頻率為所以時(shí)速在的汽車輛數(shù)為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】

由圓心位置確定，的正負(fù)，再結(jié)合一次函數(shù)圖像即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，由圓心在第一象限可得，所以直線的斜率，軸上的截距為，所以直線不過第一象限.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】

因?yàn)殄e(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時(shí)求出的數(shù)比實(shí)際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D7、B【解析】

分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.8、B【解析】

利用的圖象變換規(guī)律，即可求解，得出結(jié)論．【詳解】由題意，函數(shù)，，又由，故把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)，向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

計(jì)算三角形三邊長度，通過邊關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：，，，因?yàn)?，且故該三角形為等腰直角三角?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離公式，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先求解圓錐的底面半徑,再根據(jù)側(cè)面展開圖的結(jié)構(gòu)計(jì)算扇形中間的距離即可.【詳解】設(shè)圓柱的高為,則,得.因?yàn)?所以為的中位線,所以,則.即圓錐的底面半徑為1,母線長為4,則展開后所得扇形的弧長為,圓心角為.所以從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱與圓錐內(nèi)切求解有關(guān)量的問題以及圓錐的側(cè)面積展開求距離最小值的問題.屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、512【解析】

直接由，可得，這樣推下去，再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論?！驹斀狻抗蔬xC。【點(diǎn)睛】利用遞推式的特點(diǎn)，反復(fù)帶入遞推式進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結(jié)果，本題是一道中等難度題目。12、【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】解：，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、3【解析】

運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式先將函數(shù)化簡，再在同一直角坐標(biāo)系中做出兩支函數(shù)的圖像，觀察其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即得解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得，所以令，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化求方程根的個(gè)數(shù)，因此在同一直角坐標(biāo)系分別做出和的圖象，觀察兩支圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，注意在做的圖像時(shí)當(dāng)時(shí)，,故得解.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的有界性和余弦函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)情況，屬于中檔題.14、【解析】

對(duì)a分類討論，利用判別式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）a﹣2=0，即a=2時(shí)，﹣4＜0，恒成立；（2）a﹣2≠0時(shí)，，解得﹣2＜a＜2，∴﹣2＜a≤2故答案為：．【點(diǎn)睛】對(duì)于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開口；二是，對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是，區(qū)間端點(diǎn)值.15、3【解析】

根據(jù)已知，用換元法，從外層求到里層，即可求解.【詳解】令.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示，考查復(fù)合函數(shù)值求參數(shù)，換元法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計(jì)算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學(xué)成績?cè)诘娜藬?shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績?cè)谥獾娜藬?shù)為100-5-20-40-25=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體，由題中頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）不是“M函數(shù)”；（2），；（3）.【解析】

由不滿足，得不是“M函數(shù)”，可得函數(shù)的周期，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)遞增區(qū)間：，由可得函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象可得：當(dāng)或1時(shí)，為常數(shù)有2個(gè)解，其和為當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有3個(gè)解，其和為．當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有4個(gè)解，其和為即可得當(dāng)時(shí)，記關(guān)于x的方程為常數(shù)所有解的和為，【詳解】不是“M函數(shù)”．，，不是“M函數(shù)”．函數(shù)滿足，函數(shù)的周期，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上的單調(diào)遞增區(qū)間：，；由可得函數(shù)在上的圖象為：當(dāng)或1時(shí)，為常數(shù)有2個(gè)解，其和為.當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有3個(gè)解，其和為．當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有4個(gè)解，其和為當(dāng)時(shí)，記關(guān)于x的方程為常數(shù)所有解的和為，則．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了三角恒等變形，及三角函數(shù)型方程問題，屬于難題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)椋?，即解?【點(diǎn)睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎(chǔ)簡單題目．20、(1)，.(2)時(shí),達(dá)到最大此時(shí)八角形所覆蓋面積前最大值為.【解析】

（1）注意到，從而的周長為，故，所以，注意.（2）令，則，根據(jù)可求最大值.【詳解】(1)設(shè)為,，，，，(2)令,只需考慮取到最大值的情況,即為，當(dāng),即時(shí),達(dá)到最大，此時(shí)八角形所覆蓋面積為16+4最大值為.【點(diǎn)睛】如果三角函數(shù)式中僅含有和，則可令