2025屆湖北省鋼城第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆湖北省鋼城第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．中，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．直角三角形2．在中，，是邊上的一點(diǎn)，，若為銳角，的面積為20，則（）A． B． C． D．3．若點(diǎn)共線,則的值為（）A． B． C． D．4．過點(diǎn)P（0，2）作直線x+my﹣4＝0的垂線，垂足為Q，則Q到直線x+2y﹣14＝0的距離最小值為（）A．0 B．2 C． D．25．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．6．已知、是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，若是線段的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．7．在銳角中ΔABC，角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asinA．π12B．π6C．π8．在中，角的對(duì)邊分別是，若，且三邊成等比數(shù)列，則的值為（）A． B． C．1 D．29．如圖，兩個(gè)正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點(diǎn)，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④10．已知，，則的最大值為（）A．9 B．3 C．1 D．27二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知平面向量，，滿足：，且，則的最小值為____.12．已知，若數(shù)列滿足，，則等于________13．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則的前9項(xiàng)和_______.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積S＝_____．15．把二進(jìn)制數(shù)1111（2）化為十進(jìn)制數(shù)是______．16．若向量，，且，則實(shí)數(shù)______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．18．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）比較與的大小.19．如圖，求陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．20．已知為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，表示的面積（1）若求；（2）若，，，證明:；（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點(diǎn)恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.21．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)正弦定理，得到，進(jìn)而得到，再由兩角和的正弦公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，又因此，所以，即三角形為直角三角?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.2、C【解析】

先利用面積公式計(jì)算出，計(jì)算出，運(yùn)用余弦定理計(jì)算出，利用正弦定理計(jì)算出，在中運(yùn)用正弦定理求解出．【詳解】解：由的面積公式可知，，可得，為銳角，可得在中，，即有，由可得，由可知．故選．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查方程思想，屬于中檔題．3、A【解析】

通過三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，即可得到答案.【詳解】由題意，可知，又，點(diǎn)共線，則，即，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三點(diǎn)共線的條件，難度較小.4、C【解析】

由直線過定點(diǎn)，得到的中點(diǎn)，由垂直直線，得到點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，求得圓的方程，由此求出到直線的距離最小值，得到答案．【詳解】由題意，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，直線過定點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，的中點(diǎn)，由垂直直線，所以點(diǎn)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，其圓的方程為，則圓心到直線的距離為所以點(diǎn)到直線的距離最小值；，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)涉及到點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，以及分析問題和解答問題的能力，試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題．5、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】由題意得,所以，選A.7、D【解析】試題分析：∵2a考點(diǎn)：正弦定理解三角形8、C【解析】

先利用正弦定理邊角互化思想得出，再利余弦定理以及條件得出可得出是等邊三角形，于此可得出的值．【詳解】，由正弦定理邊角互化的思想得，，，，則.、、成等比數(shù)列，則，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，，則是等邊三角形，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)等式結(jié)構(gòu)以及已知元素類型合理選擇正弦定理與余弦定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．9、D【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點(diǎn)，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

由已知，可利用柯西不等式，構(gòu)造柯西不等式，即可求解．【詳解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可構(gòu)造得，即，所以的最大值為3，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記柯西不等式，合理構(gòu)造柯西不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1【解析】

，，，由經(jīng)過向量運(yùn)算得，知點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，這樣，只要最小，就可化簡(jiǎn)．【詳解】如圖，，則，設(shè)是中點(diǎn)，則，∵，∴，即，，記，則點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，記，，注意到，因此當(dāng)與反向時(shí)，最小，∴．∴最小值為-1．故答案為-1．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是由已知得出點(diǎn)軌跡(讓表示的有向線段的起點(diǎn)都是原點(diǎn))是圓，然后分析出只有最小時(shí)，才可能最?。畯亩玫浇忸}方法．12、【解析】

根據(jù)首項(xiàng)、遞推公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，求出的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期數(shù)列，求出周期，利用數(shù)列的周期性可以求出的值.【詳解】，所以數(shù)列是以5為周期的數(shù)列，因?yàn)?0能被5整除，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的周期性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、117【解析】

由成等比數(shù)列求出公差，由前項(xiàng)公式求和．【詳解】設(shè)數(shù)列是公差為，則，由成等比數(shù)列得，解得，∴．故答案為：117.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的公差．14、【解析】

用余弦定理求出邊的值，再用面積公式求面積即可．【詳解】解：據(jù)題設(shè)條件由余弦定理得，即，即解得，故的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．15、.【解析】

由二進(jìn)制數(shù)的定義可將化為十進(jìn)制數(shù).【詳解】由二進(jìn)制數(shù)的定義可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二進(jìn)制數(shù)化十進(jìn)制數(shù)，考查二進(jìn)制數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)，兩個(gè)向量平行的條件是建立等式，解之即可．【詳解】解：因?yàn)?，，且所以解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)取出球?yàn)榧t球或黑球的概率為(2)取出球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為【解析】試題分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球，滿足條件的事件是取出的球是紅球或黑球，根據(jù)古典概型和互斥事件的概率公式得到結(jié)果；（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球，滿足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果試題解析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球共有12種結(jié)果；滿足條件的事件是取出的球是紅球或黑球共有9種結(jié)果，∴概率為．（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事件是從12個(gè)球中任取一球共有12種結(jié)果；滿足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球共有11種結(jié)果，∴概率為．即取出的1球是紅球或黑球的概率為；取出的1球是紅球或黑球或白球的概率為．考點(diǎn)：等可能事件的概率18、（1）是偶函數(shù)（2）見解析（3）【解析】

（1）由奇偶函數(shù)的定義判斷；（2）由單調(diào)性的定義證明；（3）由于函數(shù)為偶函數(shù)，因此只要比較與的大小，因此先確定與的大小，這就得到分類標(biāo)準(zhǔn)．【詳解】（1）是偶函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；先證明當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)證明：任取，且，則，且，，即：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)∵是偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).（3）要比較與的大小，∵是偶函數(shù)，∴只要比較與大小即可.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握奇偶性與單調(diào)性的定義是解題基礎(chǔ)．19、，【解析】

由圖形知旋轉(zhuǎn)后的幾何體是一個(gè)圓臺(tái),從上面挖去一個(gè)半球后剩余部分,根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)可求出其表面積和體積.【詳解】由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一個(gè)半球面，而半球面的表面積，圓臺(tái)的底面積，圓臺(tái)的側(cè)面積，所以所求幾何體的表面積；圓臺(tái)的體積，半球的體積，所以,旋轉(zhuǎn)體的體積為，故得解.【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積、體積,還考查了空間想象能力,能想象出旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的構(gòu)成是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）；（2）詳見解析；（3）是定值，值為，理由見解析.【解析】

（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，則可以求出三邊長(zhǎng)度及對(duì)應(yīng)向量，由向量數(shù)量積公式可以求出夾角余弦值，從而算出正弦值，利用面積公式完成作答；（2）和（1）的方法一樣，唯獨(dú)不同在于（1）是具體值，而（2）中是參數(shù)，我們可以把參數(shù)當(dāng)做整體（視為已知）能處理；（3）由恰好為的正心可以獲取，而可以借助（2）的公式直接運(yùn)用，本題也就完成作答.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以因?yàn)?，所以，所以?）因?yàn)?，所以所以因?yàn)樗运运裕唬?）因?yàn)闉榈闹匦?，所以?1)可知又因?yàn)闉榈闹匦?，所以，平方相加?，即，所以所以，所以是定值，值為【點(diǎn)睛】已知三角形三點(diǎn)，去探究三角形面積問題，