北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移2．若直線與直線平行，則的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．03．若非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于A．－10 B．－8 C．－6 D．－45．在計(jì)算機(jī)BASIC語言中，函數(shù)表示整數(shù)a被整數(shù)b除所得的余數(shù)，如.用下面的程序框圖，如果輸入的，，那么輸出的結(jié)果是（）A．7 B．21 C．35 D．496．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1=1，A．32 B．54 C．7．已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對立，且，則（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.98．關(guān)于的不等式的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．圓關(guān)于直線對稱，則的值是（）A． B． C． D．10．在銳角三角形中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正方體的體對角線與棱所在直線的位置關(guān)系是______.12．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式_____.14．方程的解為_________.15．直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.16．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則角_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù),（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）求在區(qū)間的最大值和最小值.18．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)B到直線的距離；（2）求的面積.19．已知不等式的解集為或.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）解不等式.20．在中，角的對邊分別為.已知（1）若，，求的面積；（2）若的面積為，且，求的值.21．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成正弦函數(shù)的形式，再根據(jù)平移變換，即可得答案.【詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的平移變換，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意平移是針對自變量而言的.2、B【解析】

兩直線平行表示斜率相同或者都垂直x軸，即?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，兩直線分別為：與直線，不平行，當(dāng)時(shí)，直線化為：直線化為：,兩直線平行，所以，，解得：，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符，所以，【點(diǎn)睛】直線平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同則表示同一條直線。3、C【解析】

對每一個(gè)不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0，所以該選項(xiàng)不一定成立；B,如果a＜0，b＜0時(shí)，不成立，所以該選項(xiàng)不一定成立；C,，所以，所以該不等式成立；D,不一定小于0，所以該選項(xiàng)不一定成立.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和比較法比較實(shí)數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】試題分析：有題可知，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則有，又因?yàn)椋鸻n｝是等差數(shù)列，故有，公差d=2，解得；考點(diǎn)：?等差數(shù)列通項(xiàng)公式?等比數(shù)列性質(zhì)5、B【解析】

模擬執(zhí)行循環(huán)體，即可得到輸出值.【詳解】，，，，繼續(xù)執(zhí)行得，，繼續(xù)執(zhí)行得，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)體的執(zhí)行，屬程序框圖基礎(chǔ)題.6、C【解析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求S【詳解】設(shè)Sna+b=116a+4b=16a+8b，故a=1b=0，故S6【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn7、C【解析】

由對立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式求P(A+B).【詳解】因?yàn)椋录﨎與C對立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概率，能利用對立事件概率之和為1進(jìn)行計(jì)算，屬于基本題.8、C【解析】

首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后對進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式解集中恰有3個(gè)整數(shù)，列出關(guān)于的條件，求解即可.【詳解】關(guān)于的不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；綜上，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類討論思想，屬于中檔題．9、B【解析】圓關(guān)于直線對稱，所以圓心(1,1)在直線上，得.故選B.10、D【解析】由結(jié)合題意可得：，故，△ABC為銳角三角形，則，由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)有：，則：，即：，則，由正弦定理有：，故.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：在解決三角形問題中，求解角度值一般應(yīng)用余弦定理，因?yàn)橛嘞叶ɡ碓趦?nèi)具有單調(diào)性，求解面積常用面積公式，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪牵菀缀驼叶ɡ?、余弦定理?lián)系起來.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、異面直線【解析】

根據(jù)異面直線的定義，作出圖形，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，與不在同一平面內(nèi)，也不相交，所以體對角線與棱是異面直線.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線的概念及其判定，其中熟記異面直線的定義是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.13、【解析】

根據(jù)和之間的關(guān)系,應(yīng)用公式得出結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了和之間的關(guān)系式,注意當(dāng)和時(shí)要分開討論,題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及正切函數(shù)的周期為kπ，即可得到原方程的解．【詳解】則故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象及周期性，是一道基礎(chǔ)題．15、【解析】

直接聯(lián)立方程得到答案.【詳解】聯(lián)立方程解得即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線的交點(diǎn)，屬于簡單題.16、【解析】

根據(jù)三角形面積公式和余弦定理可得，從而求得；由角的范圍可確定角的取值.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠配湊出符合余弦定理的形式，進(jìn)而得到所求角的三角函數(shù)值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】

利用二倍角公式、兩角和差正弦公式和輔助角公式可化簡出；（1）令，解出的范圍即為所求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用的范圍可求得所處的范圍，整體對應(yīng)正弦函數(shù)圖象可確定最大值和最小值取得時(shí)的值，進(jìn)而求得最值.【詳解】（1）令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的求解問題，涉及到利用兩角和差公式、二倍角公式和輔助角公式化簡三角函數(shù)；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來進(jìn)行求解.18、（1）（2）【解析】

（1）由題意求得所在直線的斜率再由直線方程點(diǎn)斜式求的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；（2）設(shè)的坐標(biāo)，由題意列式求得的坐標(biāo)，再求出，代入三角形面積公式求解．【詳解】（1）由題意，，直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即，．的面積．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法，是基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）答案不唯一，見解析【解析】

（1）題意說明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，從而得值；（2）因式分解后討論和6的大小可得不等式的解集.【詳解】（1）依題意，得：，解得，所以，不等式為，解得，或，所以，所以，；（2）不等式為：，即，當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，在解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)要注意分類討論.20、（1）；（2）．【解析】

（1）先根據(jù)計(jì)算出與，再利用余弦定理求出b邊，最后利用求出答案；（2）利用正弦定理將等式化為變得關(guān)系，再利用余弦定理化為與的關(guān)系式，再結(jié)合面積求出c的值．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以．又，所以．因?yàn)?，，且，所以，解得，所以．?）因?yàn)?，由正弦定理，得．又，所以．又，得，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項(xiàng)都為無理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得