廣德實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期5月月考試卷 理（含解析）-人教版高二數(shù)學(xué)試題

-學(xué)年安徽省宣城市寧國市津河中學(xué)、廣德實驗中學(xué)高二（下）5月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要1．已知是z的共軛復(fù)數(shù)，且，則復(fù)數(shù)=（）A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度3．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．44．函數(shù)f（x）=alnx+x在x=1處取到極值，則a的值為（）A．B．﹣1C．0D．5．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b，組成復(fù)數(shù)a+bi，其中虛數(shù)有（）A．36個B．42個C．30個D．35個6．由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（）A．B．C．D．2ln27．函數(shù)y=ex+x在點（0，1）處的切線方程是（）A．y=2x+1B．y=x+2C．y=x+1D．y=2x﹣18．給出下面四個類比結(jié)論①實數(shù)a，b，若ab=0，則a=0或b=0；類比向量，，若?=0，則=或=；②實數(shù)a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；類比向量，，有（+）2=2+2?+2；③向量，有||2=2；類比復(fù)數(shù)z，有|z|2=z2；④實數(shù)a，b有a2+b2=0，則a=b=0；類比復(fù)數(shù)z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中類比結(jié)論正確的命題個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．39．函數(shù)f（x）=﹣（a＜b＜1），則（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小關(guān)系不能確定10．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上．11．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）．12．一物體沿直線以速度v（t）=2t﹣3（t的單位為：秒，v的單位為：米/秒）的速度作變速直線運動，則該物體從時刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運動的路程是．13．下表給出了一個“三角形數(shù)陣”：依照表中數(shù)的分布規(guī)律，可猜得第10行第6個數(shù)是．14．將10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有種．15．若函數(shù)在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．已知復(fù)數(shù)z=（1﹣i）2+1+3i．（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=1﹣i，求實數(shù)a，b的值．17．已知函數(shù)f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．18．已知（+）n的展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列；（1）求（?）n展開式中所有的有理項；（2）求（﹣）n展開式中系數(shù)的絕對值最大的項．19．某學(xué)校擬建一座長60米，寬30米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔x米需打建一個樁位，每個樁位需花費4.5萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的x米墻面需花萬元，在不計地板和天花板的情況下，當(dāng)x為何值時，所需總費用最少？20．在數(shù)列{an}中，已知a1=a（a＞2），且an+1=（n∈N*）．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＞2（n∈N*）；（2）求證an+1＜an（n∈N*）．21．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=﹣1時有極值0（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）方程f（x）=C在區(qū)間[﹣4，0]上有三個不同的實根時實數(shù)C的范圍．

-學(xué)年安徽省宣城市寧國市津河中學(xué)、廣德實驗中學(xué)高二（下）5月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要1．已知是z的共軛復(fù)數(shù)，且，則復(fù)數(shù)=（）A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計算題．分析：由條件可得z=（2+i）（1+i）=1+3i，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出復(fù)數(shù)的值．解答：解：∵，∴z=（2+i）（1+i）=1+3i，∴復(fù)數(shù)=1﹣3i，故選B．點評：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度考點：反證法與放縮法．專題：常規(guī)題型．分析：一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B點評：本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定．3．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．分析：由題意先對函數(shù)y進行求導(dǎo)，解出極值點，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點和區(qū)間端點值代入已知函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的增減性，比較函數(shù)值的大小，求出最大值，從而求解．解答：解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），當(dāng)﹣1＜x＜0時，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，∴當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值為f（0）=2．故選C點評：此題考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來求閉區(qū)間函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．4．函數(shù)f（x）=alnx+x在x=1處取到極值，則a的值為（）A．B．﹣1C．0D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：計算題．分析：題目中條件：“函數(shù)f（x）=alnx+x在x=1處取到極值”，利用導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)函數(shù)的零點是1，從而得以解決．解答：解：∵，∴f′（1）=0?a+1=0，∴a=﹣1．故選B．點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．5．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b，組成復(fù)數(shù)a+bi，其中虛數(shù)有（）A．36個B．42個C．30個D．35個考點：分步乘法計數(shù)原理．專題：計算題．分析：本題是一個分步計數(shù)問題，從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b，組成復(fù)數(shù)a+bi，要求是一個虛數(shù)，也就是b不能為0，先選有限制條件的元素b，不能選0，在根據(jù)兩個互不相等的數(shù)a，b，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．解答：解：∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個有6種，a從剩余的6個選一個有6種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6×6=36（個）．故選A點評：本題考查分步計數(shù)原理，考查復(fù)數(shù)的概念，是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是要求復(fù)數(shù)是一個虛數(shù)，限制了b的取值．6．由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（）A．B．C．D．2ln2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．分析：由題意畫出圖形，再利用定積分即可求得．解答：解：如圖，面積．故選D．點評：本題主要考查定積分求面積．7．函數(shù)y=ex+x在點（0，1）處的切線方程是（）A．y=2x+1B．y=x+2C．y=x+1D．y=2x﹣1考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題．分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把x=0代入導(dǎo)函數(shù)求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)求出的斜率和切點坐標(biāo)寫出切線方程即可．解答：解：由題意得：y′=ex+1，把x=0代入得：y′|x=0=2，即切線方程的斜率k=2，且切點坐標(biāo)為（0，1），則所求切線方程為：y﹣1=2x，即y=2x+1．故選A．點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．8．給出下面四個類比結(jié)論①實數(shù)a，b，若ab=0，則a=0或b=0；類比向量，，若?=0，則=或=；②實數(shù)a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；類比向量，，有（+）2=2+2?+2；③向量，有||2=2；類比復(fù)數(shù)z，有|z|2=z2；④實數(shù)a，b有a2+b2=0，則a=b=0；類比復(fù)數(shù)z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中類比結(jié)論正確的命題個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3考點：類比推理．專題：閱讀型．分析：利用向量的數(shù)量積公式判斷出①錯；利用向量的運算律判斷出②對；通過舉反例判斷出命題③④錯．解答：解：對于①，∵與模有關(guān)還與夾角有關(guān)，故錯對于②向量的運算滿足完全平方公式，故對對于③，|z|2是實數(shù)，但z2不一定是實數(shù)故錯對于④例如z1=i，z2=1滿足z12+z22=0，但z1≠z2≠0，故錯故選B點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運算律、復(fù)數(shù)的運算律．9．函數(shù)f（x）=﹣（a＜b＜1），則（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小關(guān)系不能確定考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．分析：先對函數(shù)進行求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的增減性即可得到答案．解答：解：∵，f′（x）=﹣=∴當(dāng)x＜1時，f'（x）＜0，即f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故選C．點評：本題主要考查函數(shù)的增減性和導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．10．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性及最大值，進而分析四個答案中的圖象，即可得到答案．解答：解：∵（x＞0）∴（x＞0）則當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x=1時，f（x）取最大值，f（1）=；故選B點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上．11．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有1260種不同的方法（用數(shù)字作答）．考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．專題：計算題．分析：先在9個位置中選4個位置排白球，有C94種排法，再從剩余的5個位置中選2個位置排紅球，有C52種排法，剩余的三個位置排黃球有C33種排法，由乘法原理可得答案．解答：解：由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題．先在9個位置中選4個位置排白球，有C94種排法，再從剩余的5個位置中選2個位置排紅球，有C52種排法，剩余的三個位置排黃球有C33種排法，所以共有C94?C52?C33=1260．答案：1260．點評：本題考查排列組合的基本知識．分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡，達到求解的目的．12．一物體沿直線以速度v（t）=2t﹣3（t的單位為：秒，v的單位為：米/秒）的速度作變速直線運動，則該物體從時刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運動的路程是．考點：定積分．專題：計算題．分析：先求出v（t）=2t﹣3在t∈（0，5）的符號，然后分別求出每一段的定積分，最后相加即可求出所求．解答：解：∵當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴物體從時刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運動的路程S==（3t﹣t2）+（t2﹣3t）=（米）故答案為：點評：本題主要考查了定積分幾何意義，以及定積分的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清位移與路程的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．13．下表給出了一個“三角形數(shù)陣”：依照表中數(shù)的分布規(guī)律，可猜得第10行第6個數(shù)是．考點：數(shù)列的應(yīng)用．專題：綜合題．分析：觀察數(shù)表，可以發(fā)現(xiàn)表中數(shù)的分布規(guī)律：第n行有n個分?jǐn)?shù)，分子都是n，分母是通項為2n+1的遞增數(shù)列，第n第k個數(shù)是，從而得出答案；解答：解：觀察數(shù)表，發(fā)現(xiàn)表中數(shù)的分布規(guī)律為：第n行有n個分?jǐn)?shù)，且分子都是n，分母是通項為2n+1的遞增數(shù)列，即第n第k個數(shù)是；所以，第10行第6個數(shù)是；故答案為：．點評：本題考查了由觀察數(shù)表，尋找表中數(shù)的分布規(guī)律的問題；解答時要細心分析，由表中數(shù)的排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)解題的途徑．14．將10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有84種．考點：計數(shù)原理的應(yīng)用．專題：計算題；排列組合．分析：根據(jù)題意，用插空法分析，原問題可以轉(zhuǎn)化為將10個名額排成一排，在排除兩端的9個空位中，插入擋板，將其分為7組，對應(yīng)7個班級的組合問題；由組合數(shù)公式計算可得答案．解答：解：根據(jù)題意，要求將10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，可以轉(zhuǎn)化為將10個名額排成一排，在排除兩端的9個空位中，插入擋板，將其分為7組，對應(yīng)7個班級的組合問題；則不同的分法有C96=84種；故答案為：84．點評：本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為組合問題，用插板法解題．15．若函數(shù)在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是﹣1＜m≤0．考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．分析：若函數(shù)變形為，只要考查函數(shù)就行了．解答：解：∵函數(shù)變形為，設(shè)，只要g（x）是單調(diào)減函數(shù)即可．畫出g（x）的圖象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．點評：研究函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，此函數(shù)的性質(zhì)為解決許多問題提供了幫助．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．已知復(fù)數(shù)z=（1﹣i）2+1+3i．（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=1﹣i，求實數(shù)a，b的值．考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)相等的充要條件；復(fù)數(shù)求模．專題：計算題．分析：（1）首先整理出復(fù)數(shù)的最簡形式，進行復(fù)數(shù)的乘方運算，合并同類項整理出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并求出它的模長．（2）首先把復(fù)數(shù)代入，整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的條件，寫出實部和虛部分別相等，求出a，b的值．解答：解：（1）z=﹣2i﹣1﹣3i=1﹣i|z|==（2）∵z2+az+b=1﹣i，∴（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1﹣i∴a﹣b﹣（2+a）i=1﹣i∴a=﹣1，b=2．點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算和復(fù)數(shù)相等的條件，注意在復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用中，要寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，以利于比較．17．已知函數(shù)f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計算題．分析：（I）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，寫成區(qū)間即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（II）列出當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）變化狀態(tài)表，求出函數(shù)在[﹣2，2]上的極值及兩個端點的函數(shù)值，選出最大值和最小值．解答：解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）令9x2﹣9＞0，（4分）解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）變化狀態(tài)如下表：x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，2）2f′（x）+0﹣0+f（x）﹣1↑11↓﹣1↑11（10分）從表中可以看出，當(dāng)x=﹣2或x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值﹣1．當(dāng)x=﹣1或x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值11．（12分）點評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出函數(shù)在兩個端點的函數(shù)值，從它們中選出最值．18．已知（+）n的展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列；（1）求（?）n展開式中所有的有理項；（2）求（﹣）n展開式中系數(shù)的絕對值最大的項．考點：二項式定理的應(yīng)用．專題：二項式定理．分析：（1）由條件求得n=8，可得（+）8的展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，可得展開式中所有的有理項．（2）根據(jù)（﹣）8展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣2）r?，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得系數(shù)的絕對值最大的項．解答：解：（1）由題意可得2××=+×，求得n=8，或n=1（舍去），故（+）8的展開式的通項公式為Tr+1=?2﹣r?．令4﹣為整數(shù)，可得r=0，4，8，故有理項為T1=x4；T5=?x=x；T9=x﹣2．（2）求（﹣）8展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣2）r?，再由，求得5≤r≤6，故系數(shù)的絕對值最大的項為T6=1792，T7=1792x﹣11．點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題．19．某學(xué)校擬建一座長60米，寬30米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔x米需打建一個樁位，每個樁位需花費4.5萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的x米墻面需花萬元，在不計地板和天花板的情況下，當(dāng)x為何值時，所需總費用最少？考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題：應(yīng)用題．分析：由題意可得出需打的樁位個數(shù)，進而得到墻面所需費用和所需總費用的函數(shù)表達式，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的極值，進而得出此函數(shù)的最大值即可．解答：解：由題意可知，需打個樁位．（3分）墻面所需費用為：，（5分）∴所需總費用=（0＜x＜30）（9分）令，則，當(dāng)0＜x＜3時，t′＜0；當(dāng)3＜x＜30時，t′＞0．∴當(dāng)x=3時，t取極小值為．而在（0，30）內(nèi)極值點唯一，所以．∴當(dāng)x=3時，（萬元），即每隔3米打建一個樁位時，所需總費用最小為1170萬元．（14分）點評：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點的函數(shù)值確定．當(dāng)函數(shù)定義域是開區(qū)間且在區(qū)間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．20．在數(shù)列{an}中，已知a1=a（a＞2），且an+1=（n∈N*）．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＞2（n∈N*）；（2）求證an+1＜an（n∈N*）．考點：數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列遞推式．專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）運用數(shù)學(xué)歸納法，注意步驟的完整性，當(dāng)n=1時，檢驗成立，假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*），命題成立；證明當(dāng)n=k+1也成立，注意運用假設(shè)；（2）作差比較，即為an+1﹣an，化簡整理，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證．解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時，a1=a＞2，命題成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*），命題成立，即ak＞2．則當(dāng)n=k+1時，ak+1﹣2=﹣2=＞0，所以當(dāng)n=k+1時ak+1＞2也成立，由①②得，對任意自然數(shù)n，都有an＞2．（2）an+1﹣an=﹣an=，由（1）可知an＞2＞0，即有an+1﹣an＜0，即an+1＜an（n∈N*）．點評：本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用和作差比較法的運用，屬于中檔題．21．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=﹣1時有極值0（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）方程f（x）=C在區(qū)間[﹣4，0]上有三個不