2024年高考數(shù)學(xué)試卷（北京）（空白卷）

絕密★本科目考試啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng)．

1.已知集合M={x|-4<x￡1}，N={x|-1<x<3}，則MèN=（）

A.x-4<x<3B.x-1<x￡1

C.0,1,2D.x-1<x<4

z

2.已知=i-1，則z=（）．

i

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

3.求圓x2+y2-2x+6y=0的圓心到x-y+2=0的距離（）

A.23B.2C.32D.6

4

4.x-x的二項(xiàng)展開(kāi)式中x3的系數(shù)為（）

A.15B.6C.-4D.-13

rrrrrrrr

5.已知向量a，b，則“ar+b·ar-b=0”是“a=b或a=-b”的（）條件．

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

π

6.已知fx=sinwxw>0，fx=-1，fx=1，|x1-x2|min=，則w=（）

122

A.1B.2C.3D.4

S-1

7.記水的質(zhì)量為d=，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且d=2.1，d=2.2，則n與n的關(guān)

lnn1212

系為（）

A.n1<n2

第1頁(yè)/共4頁(yè)

Bn>n

.12

C.若S<1，則n1<n2；若S>1，則n1>n2；

D.若S<1，則n1>n2；若S>1，則n1<n2；

8.已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，22，22，則該四棱錐的高為（）

23

A.B.C.23D.3

22

x

9.已知x1,y1，x2,y2是函數(shù)y=2圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）

y+yx+xy+yx+x

A.log12>12B.log12<12

222222

y+yy+y

C.log12>x+xD.log12<x+x

22122212

10.若集合x(chóng),y|y=x+t(x2-x),0￡t￡1,1￡x￡2表示的圖形中，兩點(diǎn)間最大距離為d、面積為S，

則（）

A.d=3，S<1B.d=3，S>1

C.d=10，S<1D.d=10，S>1

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知拋物線y2=16x，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．

éππù

12.已知a?,，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則cosb的最大值為_(kāi)_______．

?ê63?ú

x2

13.已知雙曲線-y2=1，則過(guò)3,0且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為_(kāi)_______．

4

14.已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為

325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為_(kāi)_______．

15.已知M=k|ak=bk，an，bn不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是______.

①an，bn均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；

②an，bn均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；

③an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；

第2頁(yè)/共4頁(yè)

④an單調(diào)遞增，bn單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

3

16.在△ABC中，a=7，A為鈍角，sin2B=bcosB．

7

（1）求DA；

（2）從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．

135

①b=7；②cosB=；③csinA=3．

142

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

17.已知四棱錐P-ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點(diǎn)，

PE^AD．

（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD．

（2）若AB^平面PED，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．

18.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：

（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；

（2）（i）毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤(rùn)為X，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%，已賠償過(guò)的增加20%．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)

的數(shù)學(xué)期望．

x2y2

19.已知橢圓方程C：+=1a>b>0，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形，過(guò)0,tt>2

a2b2

的直線l與橢圓交于A，B，C0,1，連接AC交橢圓于D．

（1）求橢圓方程和離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t．

第3頁(yè)/共4頁(yè)

20.已知fx=x+kln1+x在t,ftt>0處切線為l．

（1）若切線l的斜率k=-1，求fx單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：切線l不經(jīng)過(guò)0,0；

（3）已知k=1，At,ft，C0,ft，O0,0，其中t>0，切線l與y軸交于點(diǎn)B時(shí)．當(dāng)

2S△ACO=15S△ABO，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？

（參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95）

21.設(shè)集合M=i,j,s,ti?1,2,j?3,4,s?5,6,t?7,8,2i+j+s+t．對(duì)于給定有窮數(shù)列

A:an1￡n￡8，及序列W:w1,w2,...,ws，wk=ik,jk,sk,tk?M，定義變換T：將數(shù)列A的第

i1,j1,s1,t1項(xiàng)加1，得到數(shù)列T1A；將數(shù)列T1A的第i2,j2,s2,t2列加1，得到數(shù)列T2T1A…；重復(fù)上述

操作，得到數(shù)列Ts...T2T1A，記為WA．

（1）給定數(shù)列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列W:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，寫(xiě)出WA；

（2）是否存在序列W，使得WA為a1+2,a2+6,a3+