第四節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時作業(yè) 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第五章-第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入-課時作業(yè)(原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（2024·河南安陽）已知（1＋2i）（a＋i）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A.13B.－13C.122.（2024·海南海口）若復(fù)數(shù)z＝a2－4＋（a－2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.2或－2C.－2D.－43.（2024·河北衡水）若（i－1）（z－2i）＝2＋i，則z＝（）A.－12＋12iB.－12C.12＋12iD.－324.（2024·黑龍江哈爾濱）已知復(fù)數(shù)z＝1+i1－i，則z－zA.1＋iB.1C.1－iD.i5.已知復(fù)數(shù)z滿足3z＋i＝1－4iz，則｜z｜＝（）A.2B.4225C.256.（2024·四川宜賓）已知復(fù)數(shù)z＝3＋4i，且z＋az＋bi＝9，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A.a＝－2，b＝3B.a＝2，b＝4C.a＝1，b＝2D.a＝2，b＝－47.（多選）（2024·河南安陽）若復(fù)數(shù)z＝3－5i1－A.z＝17B.z的實(shí)部與虛部之差為3C.z＝4＋iD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限8.（多選）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝2－1+i的四個命題，其中真命題的是（A.｜z｜＝2B.z2＝2iC.z的共軛復(fù)數(shù)為1＋iD.z的虛部為－19.歐拉公式eix＝cosx＋isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上位于第象限.10.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a－i2i的模為1，則正數(shù)11.已知復(fù)數(shù)z滿足（1＋i）2z＝4－2i7（i為虛數(shù)單位），則｜z｜的值為.12.（2024·陜西西安）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足｜z｜＝1，i為虛數(shù)單位，則｜z－3－4i｜的最大值為.[B組能力提升練]13.設(shè)z＝1＋i（i是虛數(shù)單位），則z2－2z＝（A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i14.（2024·遼寧沈陽）設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－174－i（a∈R）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A.－4B.－1C.4D.115.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋5i1+2i（a∈R）是純虛數(shù)，則aA.－1B.1C.－2D.216.（多選）已知復(fù)數(shù)z＝1+i1－iA.z2023是純虛數(shù)B.｜z＋i｜＝2C.z的共軛復(fù)數(shù)為－iD.復(fù)數(shù)z＋z·i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限17.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足z（1－2i）＝10，則下列說法正確的是（）A.｜z｜＝25B.z－2是純虛數(shù)C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則sinα＝518.（2024·上海）復(fù)數(shù)z滿足z+4－3i＝2（i為虛數(shù)單位），則z19.（2024·遼寧鐵嶺）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，則｜z1－z2｜＝.20.（2024·上海）已知復(fù)數(shù)z滿足z－2＝z＝2，則z3＝2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第五章-第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入-課時作業(yè)(解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（2024·河南安陽）已知（1＋2i）（a＋i）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A.13B.－13C.12答案：A解析：由于（1＋2i）（a＋i）＝a－2＋（1＋2a）i，（1＋2i）（a＋i）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，故a－2＋（1＋2a）＝0，∴a＝132.（2024·海南海口）若復(fù)數(shù)z＝a2－4＋（a－2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.2或－2C.－2D.－4答案：C解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a2－4＋（a－2）i為純虛數(shù)，則有a2－4=0，a所以實(shí)數(shù)a的值為－2.3.（2024·河北衡水）若（i－1）（z－2i）＝2＋i，則z＝（）A.－12＋12iB.－12C.12＋12iD.－32答案：B解析：由已知得z＝－2+i1－i＋2i＝－（2+i)(1+i）2＋2i故z＝－12－14.（2024·黑龍江哈爾濱）已知復(fù)數(shù)z＝1+i1－i，則z－zA.1＋iB.1C.1－iD.i答案：A解析：由題意得，z＝（1+i)(1+i）（1－i)(1+i）＝2i2所以｜z｜－z＝1＋i.5.已知復(fù)數(shù)z滿足3z＋i＝1－4iz，則｜z｜＝（）A.2B.4225C.25答案：C解析：法一：由3z＋i＝1－4iz得z＝1－i3+4i＝－1－7法二：由3z＋i＝1－4iz得（3＋4i）z＝1－i，所以5｜z｜＝2，即｜z｜＝256.（2024·四川宜賓）已知復(fù)數(shù)z＝3＋4i，且z＋az＋bi＝9，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A.a＝－2，b＝3B.a＝2，b＝4C.a＝1，b＝2D.a＝2，b＝－4答案：B解析：因?yàn)閦＝3＋4i，所以z＝3－4i，則由z＋az＋bi＝9得3＋4i＋a（3－4i）＋bi＝9，即（3＋3a）＋（4＋b－4a）i＝9，故4+b－7.（多選）（2024·河南安陽）若復(fù)數(shù)z＝3－5i1－A.z＝17B.z的實(shí)部與虛部之差為3C.z＝4＋iD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限答案：ACD解析：∵z＝3－5i1－i＝∴z的實(shí)部為4，虛部為－1，z＝42＋(?1）2＝17，A正確；z的實(shí)部與虛部之差為5，B錯誤；z＝4＋i，C正確；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（4，8.（多選）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝2－1+i的四個命題，其中真命題的是（A.｜z｜＝2B.z2＝2iC.z的共軛復(fù)數(shù)為1＋iD.z的虛部為－1答案：BD解析：∵z＝2－1+i＝2(?1－∴｜z｜＝2，z2＝2i，z的共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，z的虛部為－1.9.歐拉公式eix＝cosx＋isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上位于第象限.答案：二解析：由題得e2i＝cos2＋isin2.∵2∈π2∴cos2∈（－1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上位于第二象限.10.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a－i2i的模為1，則正數(shù)答案：3解析：由題意得z＝a－i2i＝－12－a2i.因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模為1，所以14＋a24＝1，解得a＝±3.11.已知復(fù)數(shù)z滿足（1＋i）2z＝4－2i7（i為虛數(shù)單位），則｜z｜的值為.答案：5解析：因?yàn)椋?＋i）2＝2i，i7＝（i2）3·i＝－i，所以z＝4+2i2i＝1－2i，故｜z｜＝｜1－2i｜12.（2024·陜西西安）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足｜z｜＝1，i為虛數(shù)單位，則｜z－3－4i｜的最大值為.答案：6解析：令z＝x＋yi且x，y∈R，則x2＋y2＝1，即復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而｜z－3－4i｜＝（x－3）2＋（y－4）2，即點(diǎn)所以｜z－3－4i｜的最大值為（0－3）[B組能力提升練]13.設(shè)z＝1＋i（i是虛數(shù)單位），則z2－2z＝（A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i答案：C14.（2024·遼寧沈陽）設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－174－i（a∈R）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A.－4B.－1C.4D.1答案：C15.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋5i1+2i（a∈R）是純虛數(shù)，則aA.－1B.1C.－2D.2答案：C16.（多選）已知復(fù)數(shù)z＝1+i1－iA.z2023是純虛數(shù)B.｜z＋i｜＝2C.z的共軛復(fù)數(shù)為－iD.復(fù)數(shù)z＋z·i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限答案：ABC解析：由題意知，z＝1+i1－i＝（1+i）2（1－i)(1+i）＝i，所以z2023＝i2023＝－i，A正確；｜z＋i｜＝｜2i｜＝2，B正確；z的共軛復(fù)數(shù)為－i，C正確；z＋z·i＝－i＋i·i＝－17.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足z（1－2i）＝10，則下列說法正確的是（）A.｜z｜＝25B.z－2是純虛數(shù)C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則sinα＝5答案：AB解析：∵z1－2i＝10，∴z＝101+2i1－2i1+2i＝2＋4i，對于A，z＝22＋42＝25，故A正確；對于B，z－2＝2＋4i－2＝4i是純虛數(shù)，故B正確；對于C，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（2，4），在第一象限，故C錯誤；對于D，∵18.（2024·上海）復(fù)數(shù)z滿足z+4－3i＝2（i為虛數(shù)單位），則z答案：7解析：令z＝x＋yi且x，y∈R，又z+4－3i所以（x+4）2＋（y－3）2＝2，即（x＋4）所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在以（－4，3）為圓心，半徑為2的圓上.又z＝x2＋y所以z的最大值為5＋2＝7.19.（2024·遼寧鐵嶺）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，則｜z1－z2｜＝.答案：23解析：法一：設(shè)z1＝a＋bi，（a∈R，b∈R），z2＝c＋di，（c∈R，d∈R），∴z1＋z2＝a＋c＋（b＋d）i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d=1，又｜z所以a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∴（a＋c）2＋（b＋d）2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2（ac＋bd）＝4，∴ac＋bd＝－2，∴z1－＝（a－＝8+4＝23.法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，OP＝OZ1＋OZ由已知OP＝3+1＝2＝OZ1＝OZ∴平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，∴∠Z1OZ2＝120°，｜Z1Z2｜2＝｜OZ1｜2＋｜OZ2｜2－2｜OZ1｜｜OZ2｜c(diǎn)os120°＝22＋22∴z1－z2＝Z20.（2