處理解三角形范圍問題的11個常用方法

處理解三角形范圍問題的12個常用方法1.消角構(gòu)造三角函數(shù)3.化角表示幾何結(jié)構(gòu)4.齊次邊型分式結(jié)構(gòu)5.齊二次結(jié)構(gòu)與余弦定理求最值6.秦九韶公式1.消角構(gòu)造三角函數(shù)例1.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得：2sin△ABC為銳角三角形，故B=π（2）結(jié)合(1)的結(jié)論有：cos=cos由0<23π-A<π2則sinA+π3即cosA+cos例2．（廣東省2023屆高考一模）在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c，已知cos2（1）求角C的大小；（2）求sinA+解析：（1）因為cos2所以1-2sin2A+1-2sin2B-1-2sin（2）sin=sinA+sin2π3cosA-cos2π3sinA+對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.1.結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.2.結(jié)合正弦定理構(gòu)建周長或者面積關(guān)于角的目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)處理最值或者范圍.3.注意到其在焦點三角形中的應(yīng)用.ΔABC中，sin（1）求A；（2）若BC=3，求ΔABC周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：BC∴cosA=（2）方法1：BC即AC+AB2-AC?AB=9.∵AC?AB≤AC+AB22解得：AC+AB≤23（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時取等號），∴△ABC周長L=AC+AB+BC≤3+23，∴△ABC周長的最大值為B=π6+α,C=π6-α，則-π6<α<π6，根據(jù)正弦定理可a例4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosA+（1）求角C的大??；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=2，求△ABC面積的取值范圍．解析：（1）由asinA=可得sinAcosA+3即sin2Acos由于a≠b，故A≠B，又0<A,B故(2A-π3)+(2B-π3故.（2）由正弦定理得asinA=bsinB=2sinπ6因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π20<5π6-A<π2點評：當(dāng)限制角的范圍時，函數(shù)方法比不等式方法的就更具有操作性和普適性.3.化角表示幾何結(jié)構(gòu)在正弦定理中：此時，我們并非一定需要對邊對角，實際上，只要知道任意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關(guān)系，下面我通過例題予以分析.例5.的內(nèi)角對邊為，a?sinA+C2（1）.求角B的值；（2）.若ΔABC為銳角三角形，且1225，求ΔABC解析：(1)根據(jù)題意asinA+C2=bsinA，由正弦定理得sinAsinA+C0<B<π，0<A+C2<π因為故A+C2=B或者A+C2+B=π，而根據(jù)題意A+B+C=π，故A+C2+B=π(2)因為△ABC是銳角三角形，由（1）知B=π3，A+B+C=π故0<C<π20<又應(yīng)用正弦定理asinA=S△ABC又因π6<C<π2故38<S△ABC<4.齊次邊型分式結(jié)構(gòu)在這一部分中，我們經(jīng)常會看到諸如：b+ca,b2+c2a例6.（2022新高考1卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA（1）若C=2π3（2）求a2解析：（1）由已知條件得：sinsin所以2sinBcosB=-2cosBcosC，即(sinB2）由（1）知sinB=-cosCsinA==當(dāng)且僅當(dāng)sin2C=22時等號成立，所以例7．在銳角△ABC中，∠A=2∠A．1,32 B．1,43在銳角△ABC中，∠A=2∠B，因為0<A<π所以0<2∠B<π2，所以sinB∈12,sin所以sin3所以由正弦定理可知：，因為sin2B∈14,1故選：A.例8．（溫州市2023屆高三下學(xué)期3月第二次適應(yīng)性考試）已知△ABC滿足2（1）試問：角B是否可能為直角？請說明理由；（2）若△ABC為銳角三角形，求sin解析：（1）B不可能為直角．（2）因為2sinCsinB-A=2sinAsinC所以0<A<令t=sinCsinA=ca(t>0)5.齊二次結(jié)構(gòu)與余弦定理求最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時，y=cosx在x若cosA=b2+c△ABC中，角的對邊分別為a,b,c.若c=1,4a2coA．74 B．73 C．3解：∵c=1,4a2co∴由正弦定理得：4sin即4sin2Asin2∴cosA=b2+c2-∵，∴，∴tanA的最大值為sinAmax例10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若2asinAA．π6 B．π4 C．π解析：因為2asinA+c因為b2+3c2≥23b2c2=2例11.（福建省福州市普通高中2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測（二檢））記ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2（1）求的值：（2）求C的最大值．解析：（1）由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB，代入b2-a2=2（2）由b2-a2=2當(dāng)且僅當(dāng)b2=3a2，即b=3a時等號成立．因為C∈6.秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來解三角形?？荚囶}中熱門考察方向之一，相關(guān)內(nèi)容是人教版新教材的閱讀內(nèi)容，未來完全有可能出現(xiàn)在高考試題中.例12.秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻．秦九韶把已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：S△ABC=14a2c2-a2+c2-b222，其中a，b，A．43 B．83 C．3解析：由ab=cosA2即2sinA=S△所以a2=209，即時，S例13.已知a，b，c是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．已知△ABC中，ab=cosA．43 B．83 C．3解：△ABC中，因為ab=則2sinA=又acosB+bcosA=ab，則所以SΔABC=144a2-爪型三角形的幾何特征：基本幾何特征:如圖，∠APB+例14.（2022全國甲卷）已知中，點在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時，．解析：設(shè)，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故答案為：．例15.在△ABC中，已知角A=2π3，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB解析：AB=c,AC=b,BC=a,AD=2，依題意AD是角A的角平分線，由三角形的面積公式得12化簡得2c+2b=bc，1≥23+2cb?2bc=6+4斯特瓦爾特定理及應(yīng)用斯特瓦爾特定理：設(shè)P為ΔABC的BC邊上異于B,C的任一點，則有AB證明：由余弦定理，可得：ACAB2=A注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關(guān)鍵是利用爪型三角形中兩角互補，即：這個隱含條件，而這個條件是處理爪型三角形的一個重要技巧.P為ΔABC的BC邊中點時，AP注：該結(jié)論還可由AP→P為∠BAC的角平分線時，AP滿足BP→=λΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足bsin（1）求角B的大小；（2）若D為AC的中點，且BD=1，求SΔABC解：（1）由正弦定理及bsinA=a由A∈0,π知則sinB=cosB-又B∈0,π，因此，（2）由SΔABC=12acsinB等式兩邊平方得4BD所以4=a則ac≤43，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，因此，ΔABC例17．△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大??；（2）D是邊BC上一點，且BD=2DC，AD=2，求△ABC解析：（1）因為，由正弦定理可得sinBcos又sinB≠0，所以cosB+C所以cosB+C2=又sinA2≠0因為A2∈(0，（2）根據(jù)題意可得，所以AD2即36=c2+4b=3,c=6等號成立所以S△ABC=12bc這類最值問題的特點是利用恒等變換化簡函數(shù)，它們的目標(biāo)函數(shù)往往不是上面的類型，而且有點“丑”，你需要做的就是耐心美化目標(biāo)函數(shù)，直到找到可以入手的結(jié)構(gòu)！例18．已知在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足a1+cosB=bcosA．2,23 B．3,2 C．0,2解析：由a1+cosBsinA+sinAcos因為A、B∈0,π2，則-因為正弦函數(shù)y=sinx在-π2,因為△ABC為銳角三角形，則0<A<π20<2A<π，故選：A.例19．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若c2+bc-a2=0A．42,9 B．8,9 C．8解析：∵c2+bc-a2=0，∴a2-∴sinB-2sinCcosA=sinC，∴sinA+C-2sinCcos=4+4=4+4sinA+1sinA，設(shè)sinA=t，∵△ABC是銳角三角形，∴A∈0,π2，∴B=π-A-C=π-A-A2∈0,π2，∴A∈π3,再將邊結(jié)構(gòu)推廣又可給出二次邊結(jié)構(gòu)和面積之間的不等關(guān)系，即嵌入不等式.（嵌入不等式）若三角形的三邊為a,b,c，面積為S，x,y,z為給定的正實數(shù)，則有：xa2:(aa,b,c滿足a2+b解析：（嵌入不等式）若三角形的三邊為a,b,c，面積為S，x,y,z為給定的正實數(shù)，則有：xa2:(a2例21.ΔABC中，AB=2，AC=2BC，則解析：由，見系代入得．設(shè)圓心為，顯然當(dāng)軸時，△ABC面積最大，此時．所以．ΔABC中，已知b=6,a=2c，求ΔABC解析：以線段AC的中點O為坐標(biāo)原點，以邊AC所在直線為x軸，以線段AC的中點垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，由得，化簡并整理得，即的頂點在圓上運動.易知的面積，當(dāng)時取等號.所以，面積的最大值為.例23．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（3﹣cosA）sinB＝sinA（1+cosB），a+c＝6，則△ABC的面積的最大值為.解析：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（3﹣cosA）sinB＝sinA（1+cosB），整理得3sinB＝sinA+sinBcosA+cosBsinA＝sinA+sinC，利用正弦定理：3b＝a+c，由于a+c＝6，整理得：3b＝a+c＝6，∴解得：b＝2．∵a+c＝6.由橢圓定義可知：點B在以A(-1,0),C(1,0)為焦點的橢圓x29+ySΔABC例24.在△ABC中，已知角A=2π3，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB+2AC解析：AB=c,AC=b,BC=a,AD=2，依題意AD是角A的角平分線，由三角形的面積公式得12化簡得2c+2b=bc，1≥23+2cb?2bc=6+42如圖，在三角形ABC中，已知角A的大小，D為BC邊上一點.那么我們可利用初中的相似三角形來求解一些這種條件下的爪型三角形問題，簡直妙！如下圖，過點B做AC的平行線交AD延長線于E，則ΔBDE~ΔCDA，且由平行的性質(zhì)可知：∠CAD=∠BED，于是，已知角A的大小即可得∠ABE的大小，倘若我們進一步指導(dǎo)AD的長度，以及點D為BC邊上的具體位置，那么在ΔABE中可以解決很多問題，下面通過例題來分析.解2：如上圖，由于∠CAD=∠BED，故由A=2π3可得∠ABE=π3，再加之AD為角A的平分線，則∠ABE=∠BEA=∠BAE=π3，于