小學(xué)奧數(shù)五六年級-工程問題(培優(yōu)講義設(shè)計(jì))

工程問題

學(xué)生姓名授課日期

教師姓名授課時(shí)長

知識定位

工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)

充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看

成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。在教學(xué)中，

讓學(xué)生建立正確概念是工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。本節(jié)課從始至終都以工程問題

的概念來貫穿，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。

知識梳理

1.工程問題在主要概念

定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間的相

互關(guān)系的問題。在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工作總量、工作時(shí)間（完成工

作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量）。工程問題是小升初

的常見考題，題型復(fù)雜多變，但是核心不變，

即：工作總量=工作效率X工作時(shí)間，

工作效率=工作總量+工作時(shí)間，

工作時(shí)間=工作總量+工作效率；

在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，經(jīng)常將工作總量抽象成單位“1”；例如：一項(xiàng)工程，甲5天

完成，則甲每天完成全部的幾分之幾？分析：這道題中，我們將一項(xiàng)工程抽象

成單位“1”，5為工作時(shí)間，所以每天完成整個(gè)工程的1+5=即為所求，同

時(shí);也是甲完成這項(xiàng)工作的速度，所以!就是這道題中甲的工作效率。

在解決工程問題時(shí)，對于題中已知條件給出的每一個(gè)數(shù)字或字母表示的具

體含義必須在讀完題后，清晰明了，然后通過所求與已知的邏輯關(guān)系，再進(jìn)一

步求解。常用方法：列表法，條件轉(zhuǎn)換法，整體法；每一種方法的使用要在具

體題目中用心體會。

2.解決工程問題的基本思路

(1)工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時(shí)間的倒數(shù)作為工作效率，用工作

總量除以工作效率和，就可以求出完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間。工程問題一般采

用這種方法求解。

(2)先求出獨(dú)做的隊(duì)或個(gè)人的工作效率，然后用工作總量“1”除以一個(gè)隊(duì)或個(gè)

人的工作效率，就可以求出一個(gè)隊(duì)或個(gè)人獨(dú)做的工作時(shí)間。

(3)求剩余部分的工作量完成的時(shí)間。關(guān)鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工

作總量“1”中減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。

3.劃分工程問題的基本題型

(1)水管問題：從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水

或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排

水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了

因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.

(2)工資問題

從數(shù)學(xué)本質(zhì)解法來看，工資問題與工程問題是一樣的，抓住每個(gè)人發(fā)放的工資

與發(fā)放總工資之間的關(guān)系就能找到相應(yīng)量與率的關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)換成工程問題來解

決了。

(3)牛吃草問題

從數(shù)學(xué)本質(zhì)解法來看，牛吃草問題與工程問題是一樣的，抓住牛頭數(shù)與牛吃草

的總數(shù)及吃的天數(shù)之間的關(guān)系就能找到相應(yīng)量與率的關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)換成工程問題

來解決了。

(4)周期問題問題

從數(shù)學(xué)本質(zhì)解法來看，同上。

4.重點(diǎn)難點(diǎn)解析

(1).明確題目中的工作總量、工作效率、和工作時(shí)間具體指向

(2).根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的轉(zhuǎn)換。

5.競賽考點(diǎn)挖掘

(1),工程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：工作總量=工作效率X工作時(shí)間。解題時(shí)，

要抓住這一關(guān)系，靈活地運(yùn)用這一數(shù)量關(guān)系提高解題能力。

(2).抓住完成工作的幾個(gè)過程或幾種變化，工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人

合作或輪流做，分析時(shí)一定要對應(yīng)工作每一階段的工作量、工作時(shí)間來確定單

獨(dú)做或合作的工作效率。

6.要想解決好工程問題，一定要求學(xué)生充分理解掌握多個(gè)單位“1”轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一

單位“1”的方法，這是用算術(shù)方法解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本思路也是重點(diǎn)難點(diǎn)，

教師應(yīng)該在授課過程中有耐心的將轉(zhuǎn)換過程一一展示給學(xué)生。

例題精講

【試題來源】

【題目】

一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40

天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

【試題來源】

【題目】

甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù).如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完

成.現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了21?小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了

420個(gè)零件才完成任務(wù).問乙一共加工零件多少個(gè)？

【試題來源】

【題目】

某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天

完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？

【試題來源】

【題目】

一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了

2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成。甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可

以完成，如果甲做3小時(shí)后，乙接著做，還需幾小時(shí)完成？

【試題來源】

【題目】

一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60

天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？

【試題來源】

【題目】

某工程如果由第一、二、三小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊(duì)合干需

要7天完成；如果由第二、四、五小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊(duì)

合干需要42天才能完成。那么五個(gè)小隊(duì)一起合作需多少天才能完成這項(xiàng)工程？

【試題來源】

【題目】

有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天.現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，

但中途甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完.當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙

兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成？

【試題來源】

【題目】

一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，

然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的

天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由

甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？

【試題來源】

【題目】

搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉庫A

和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助

乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完.問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)工程，甲15天做了,后，乙加入進(jìn)來，甲、乙一起又做了’,這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、

44

乙、丙一起做完.已知乙、丙的工作效率的比為3:5,整個(gè)過程中，乙、丙工作的天數(shù)之

比為2:1,問題中情形下做完整個(gè)工程需多少天？

【試題來源】

【題目】

抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和丙的工作效率相當(dāng)甲、

乙每天工作效率和的g.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天

才能完成？

【試題來源】

【題目】

一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合

作12天可以完成.那么甲、丁兩人合作多少天可以完成？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完

成.那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需要多少天？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天.如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只

40

能完成原來的-,乙只能完成原來的—.現(xiàn)在要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做天數(shù)盡可能

5I0

少，那么兩人要合做多少天？

【試題來源】

【題目】

甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來完成.在晴天，一隊(duì)完成甲工程需要12天.二隊(duì)完成乙工

程需要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下降40%,二隊(duì)的工作效率要下降10%.結(jié)果

兩隊(duì)同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？

【試題來源】

【題目】

甲、乙、丙3隊(duì)要完成A,B兩項(xiàng)工程.B工程的工作量比A工程的工作量多丟.甲、乙、

丙3隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天.為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，先

派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)共同做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A工

程.那么，丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天？

【試題來源】

【題目】

一項(xiàng)挖土萬工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，16天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要20天能完成.現(xiàn)在兩隊(duì)

同時(shí)施工，工作效率提高20%.當(dāng)工程完成1時(shí)，突然遇到了地下水，影響了施工進(jìn)度，

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使得每天少挖了47.25方土，結(jié)果共用了10天完成工程.問整工程要挖多少方土？

【試題來源】

【題目】

甲、乙、丙3名搬運(yùn)工同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用

10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí).第二天3人又到兩個(gè)較大的倉庫搬運(yùn)貨物，這兩個(gè)

倉庫的工作量也相同.甲在A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結(jié)果干了16小時(shí)后同

時(shí)搬運(yùn)完畢.問丙在A倉庫做了多長時(shí)間？

【試題來源】

【題目】

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資.按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)

應(yīng)獲5040元.實(shí)際從第5天開始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃

多獲得960元.那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？

【試題來源】

【題目】

一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如

果打開8個(gè)水龍頭,1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把

水放空？

【試題來源】

【題目】

規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再

由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止.如果甲、

乙輪流做一個(gè)工程需要9.8小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的程只需要9.6小時(shí)，那乙單獨(dú)

做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？

【試題來源】

【題目】

有10根大小相同的進(jìn)水管給A、B兩個(gè)水池注水，原計(jì)劃用4根進(jìn)水管給A水池注水，

其余6根給B水池注水，那么5小時(shí)可同時(shí)注滿.因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)A水池以一定的速度漏水，所

以改為各用5根進(jìn)水管給水池注水，結(jié)果也是同時(shí)注滿.(1)如果用10根進(jìn)水管給漏水的A

水池注水，需要多少分鐘注滿？(2)如果增加4根同樣的進(jìn)水管，A水池仍然漏水，并且要

求在注水過程中每個(gè)水池的進(jìn)水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個(gè)水池注滿最少需要多少

分鐘？(結(jié)果四