中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)八單元三角形學(xué)案

第八單元三角形

【知識網(wǎng)絡(luò)】

第一講三角形的邊與角

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.理解三角形的有關(guān)概念，如三角形的角、三角形的邊、三角形的角平分線、三角形

的高線、三角形的垂直平分線等等。

2.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行相關(guān)角的度數(shù)的計(jì)算。

3.運(yùn)用三邊關(guān)系定理及其推論計(jì)算邊長取值范圍或是判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形。

4.會對三角形按邊或按角進(jìn)行分類。

5.本部分著重考查方程的思想和分類討論的思想，題型以填空題和選擇題為主。

二、命題落點(diǎn)

1.利用三角形的三邊關(guān)系確定三角形的邊長的取值范圍。

2.利用三角形有關(guān)知識計(jì)算角的度數(shù)。

3.運(yùn)用三邊關(guān)系判斷三條線段能夠構(gòu)成三角形.

4.線段或者角的相等的證明。

5.線段或者角的不等的證明。

6.化歸思想和分類思想在中考的應(yīng)用。

【典例精析】

例1：（荊州市2005年）一幅三角板，如圖所示疊放在一起。則圖中Na的度數(shù)是（）

A.75°B.60°C.65°D.55°

解析本題以學(xué)生最常用的數(shù)學(xué)工具三角板為模型，又輕巧的揉進(jìn)三角形內(nèi)角和等于180

度和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的知識，構(gòu)思巧妙。答

案：A

例2：（瀘州2005年）一個等腰三角形的兩邊分別為8cm和6cm,則它的周長為

__________cm?

解析要想求三角形的周長必須已知三邊的長。等腰三角形兩腰相等，一般情況下第三邊

不與腰相等。己知中給出的兩邊不等長，因此還要考慮誰為底，誰為腰。選定腰與底要

考慮是否滿足三角形三邊關(guān)系定理及其推論。若8cm為腰長，顯然成立，若選6cm為腰

長則有6+6<80,顯然也成立。所以，這個等腰三角形腰長8cm或6cm,底邊長相應(yīng)為6cm

或是8cm。

答案：周長=22cm或20?！?。

例3：（荊門市2005年）如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則/1+/2+N3

解析計(jì)算/1+/2+/3的度數(shù)，需要把這三個角轉(zhuǎn)化到同一個三角形中去。其中/2

到度數(shù)沒有必要轉(zhuǎn)化，直接求出結(jié)果即是45°。/I與N3如何轉(zhuǎn)化呢？我們可以看出

N1所在到三角形與23所在的三角形是全等三角形，所以/1+/2=90°。再加上/3

即得135°。答案：135°

例4：（瀘州市2005年）如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三

個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在

A.在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處

B.在AC、8c兩邊中線的交點(diǎn)處

C.在AC、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

D.在/A、NB兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

解析此題是一道很典型的把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活中的試題。在這三個小區(qū)修建購物超市

而且使到三個小區(qū)到路程最短，把他轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是到線段AC、AB兩端點(diǎn)的距離

相等，那么需要作線段AC、AB的垂直平分線，其交點(diǎn)就是要建小區(qū)的地點(diǎn)。答

案：C

例5：（金化市2005年）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)。是橫板AB

的中點(diǎn)，AB可以繞著點(diǎn)。上下轉(zhuǎn)動，當(dāng)A端落地時，/OAC=20°,橫板上下可

轉(zhuǎn)動的最大角度（即NA,OA）是（）A.80°B.60°C.40°D.20°

解析實(shí)際問題中蹺蹺板，相信大家都玩過，如果把此圖畫成示意圖，很明顯4OAB?是

一個等腰三角形。ZA=ZB-,而AB的上下的旋轉(zhuǎn)過程的最大角度是NA，OA。而此角

是三角形的外角故它等于三角形不相鄰的兩內(nèi)角的和，所以/

A，OA=40°。這種類型題給我們大家一個把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，大家可以嘗試把其他的鍛煉身體的器材的運(yùn)—儀

動過程加以計(jì)算?？简?yàn)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。答案：C?_____遲—&

例6：（浙江省2005年）如圖所示，直繪a//b,則NA=度.

解析由兩直線平行，同位角相等。推出NA與NB的外角等于50°。

例9.（長沙市2005年）在△ABC中，若NA=78°36',/B=57°24',則/C=.

解析利用三角形的內(nèi)角和180°,NC=180°—/A—NB。此題關(guān)鍵是度分秒的轉(zhuǎn)化。

1度等于60分，1分等于60秒。答案44°

【常見誤區(qū)】

1.忽視三角形的三邊能否確定構(gòu)成三角形。如例13,等腰三角形的兩邊是4和9,那

么三角形的三邊為4、4、9或者4、9,9。那么若4、4、9為三角形的三條邊，則構(gòu)不

成三角形。三角形三條邊能否構(gòu)成三角形往往是題目中的隱含條件，需要利用分類討論

思想來挖掘。

2.不會證明兩個角的不等關(guān)系。在證明兩個角的不等關(guān)系時常利用外角等于其不相鄰

兩個內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化到同一個三角形中去。在同一個三角形中較長的邊所對對邊的角大。

3.不會通過列方程解三角形的內(nèi)角。如例1,求/a,我們可以利用通過/a與鄰角到

和為90°列一個方程。列方程在較復(fù)雜到求角度到時候常常用到，它是初中階段一種重

要數(shù)學(xué)思想，需要熟練靈活應(yīng)用。

4.分類思想在解題中的誤用。如例2中等腰三角形的兩條邊長是8和6,那么8或者6

是腰還是底邊，需要進(jìn)行分類討論。同時還需要注意告訴你的這三條邊能否組成三角形,

還需要利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。

【基礎(chǔ)演練】

1.看圖填空：

（1）圖中共有一個三角形。

（2）/8人口是_的內(nèi)角，的鄰補(bǔ)角。

（3）在D中NB對邊是_；在中/B對邊是；在C中NB

對邊是_?

（4）/C是C中邊_的對角，又分別是CD和CE中邊_、

的對角。

(5)E中N___和/_的夾邊是BE。

2.三角形按角分為、和直角三角形。

3.如果三角形中兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三條邊上，那么這個三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

4列各組線段中，能組成三角形的是

()

A.4、5、6B.6、8、15C.5、7,12D.3、9、13

5.等腰三角形的周長為24cm,腰長為xcm,則x的取值范圍是()

A.x<6B.6<x<12C.0<x<12D.x>12

6.三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的()

A.三條中線交點(diǎn)B.三條角平分線交點(diǎn)C.三條高線交點(diǎn)D.三條高線所在直線交點(diǎn)

7.如圖，直線/、/'、/表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個加油站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A.一處B.二處C.三處D.四處

8.等腰三角形中，兩邊之比為3：2,周長為56,則它的三邊長是_______。r

9.已知：在直角△ABC中，ZC=90°,BD平分NABC且交AC于D.弋----

(1)若NBAC=30。，求證:AD=BD；\/

(2)若AP平分/BAC且交BD于P,求/BPA的度數(shù).7\

參考答案：

1.⑴六⑵BDAZEDA(3)ADAC(4)ABADAE(5)ZBZAED

2.銳角三角形鈍角三角形3.C4.A5.B6.B7.D8.21,21,

14或16,16,249.證明：?.,NBAC=30<>NC=90°，NABC=60。又；BD平分NABC

；./ABD=30°，/BAC=/ABD；.BD=AD(2)135°

第二講三角形內(nèi)角和外角

［考點(diǎn)透視］

一、考綱指要

1.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行計(jì)算。

2.根據(jù)角的大小對三角形進(jìn)行分類。

3.三角形外角的定理的應(yīng)用。

4.理解三角形外角和內(nèi)角的概念。

5.理解在證明三角形內(nèi)角和時所引輔助線的作用。

6.通過定理的證明過程，掌握添輔助線的技巧：通過平行線把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為

平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角，即把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識去解決。

二、命題落點(diǎn)

1.利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算三角形的各個內(nèi)角。

2.利用三角形的外角求三角形外角的度數(shù)并與三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行綜合應(yīng)用。

3.三角形與四邊形、圓相結(jié)合求三角形的邊或者角。

4.將三角形融合在閱讀題或探究題型中，考察學(xué)生的知識創(chuàng)新能力，也是新課程標(biāo)準(zhǔn)

的內(nèi)容之一。

【典例精析］一7

八I---4

例1：（2005年杭州市）在平行四邊形ABCD中，NB=110°,延長AD至F,延長CD至E,

連接EF,則NE+NF=（）

A.110°B.30°C.50°D.70°

解析此題是由三角形和四邊形相結(jié)合的一道綜合性題目。我們由平行四邊形的對角相

等，ZB=110°,推出/ADC=70°.而求/E+/F的度數(shù)時可以把這兩個角看作一個整

體來解決，千萬不要分開來求解。那么利用外角的定義，即是NE+NF=NFDC,NFDC

與/ADC互補(bǔ)，我們可以得到NFDC=70°.即可求解。答案：D.

例2：（重慶市2005年）已知NA=40°,則/A的補(bǔ)角等于（）

A、50°B、90°C、140°D、180°

解析根據(jù)補(bǔ)角的定義，ZA與NA的補(bǔ)角相加為180。，正好是一個平角。所以NA

的補(bǔ)角為180°-40°=140°。答案：C.

例3：（廣西中考題）如圖，在AABC中，D、E分別在AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)

F,ZA=62°,ZACD=35°,ZABE=20°,那么NBFD的度數(shù)為?

解析在AADC中，已知NA=62°，/ACD=35°,由三角形的內(nèi)角和定理得NADC=83°,

又NADC是ARDF的一個外角，再有外角的定理求得/BFD=63°。答案：63°

例4：一幅三角板，如圖所示疊放在一起。則圖中的度數(shù)是（）

A.75°B.60°C.65°D.55°

解析一幅三角板包括有30°的直角三角板和45°的直角三角板，同學(xué)們只要分清就能非

常容易的得到答案,本題中也充分利用了外角和定理。答案：A.o

例5：在AABC中，高AD和BE所在的直線的交點(diǎn)是H,且BH=AC,求NABC的度

數(shù)。

解析aABC是什么三角形？可能是銳角三角形、鈍角三角形，也可能是，故在畫圖時應(yīng)

注意我們所求的角有可能是銳角、直角三角形或者鈍角所以需要進(jìn)行分類討論。我們需

要畫出每一種情況的圖形進(jìn)行研究，看看所畫圖形是否符合題目的條件。題目中三角形

的高可能在三角形的內(nèi)部也有可能在三角形的外部，這一點(diǎn)需要記清楚。

答案：45°或者135°

例7：如圖，P、。是AABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ,求NBAC的度

數(shù).

解析己知4APQ為等邊三角形，故可求得它的外角的度數(shù)，又由等腰三角形的性質(zhì)求得

底角的度數(shù).由此我們可以知道幾何計(jì)算通常是找量與量的關(guān)系，等腰三角形的兩底角

相等，等邊三角形三內(nèi)角均為60°,等腰三角形三線合一的性質(zhì)等都是建立量與量的關(guān)

系的依據(jù).答案：120°

【基礎(chǔ)演練】

1.三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，這個三角形為

()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形

2.判斷對錯①三角形的外角和是指三角形所有外角的和。()②三角形的外角和等于它內(nèi)角

和的2倍。()③三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和。()④三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和。()⑤三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角。()⑥三角形的一個內(nèi)角

小于任何一個與它不相鄰的外角。()⑦一個三角形至少有兩個外角是鈍角；()⑧一個三

角形的三個外角中，最多可有三個角是銳角；()⑨若一個三角形的三個外角中，有一個是

銳角，則它必為銳角三角形；()⑩有一個外角等于和它相鄰的內(nèi)角的三角形是直角三角形;

()(11)一個外角小于和它相鄰的內(nèi)角的三角形必是鈍角三角形.()

3.在AABC中，ZA=30°,ZB=2ZC,則NC=度，ZB=度.

4.如果一個等腰三角形的頂角是底角的4倍，那么頂角的度數(shù)是度。

5.已知：在AABC中，ZC=ZABC=2ZA,8。是AC邊上的高。求ND5c的度數(shù)。

6.在△ABC中/B=36。,AD平分/BAC交BC于D,AE_LBC的延長線于E,若/DAE=34。,

則/ACB=_。

7.等腰三角形一個外角等于110°，則底角為.

8.如果三角形的三個外角的比為3：4：5,那么這三個內(nèi)角的度數(shù)分別為。

參考答案：

I.C2.X、J、X、J、X、J、J、X、X、J、J3.50°,100°4.120°5.18°

6.104°7.55°或70°8.30°,60°,90°

第三講多邊形及其內(nèi)角和

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.使學(xué)生理解多邊形，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對角線、外角等概念。

2.使學(xué)生理解多邊形的內(nèi)角和定理及推論并應(yīng)用其解決簡單問題。

3.注重教給學(xué)生解決問題的思想方法.

4.通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，產(chǎn)生探求數(shù)學(xué)知識的愿望，更好地發(fā)揮

學(xué)生的主體作用。

5.在探索多邊形內(nèi)角和公式的過程中，體驗(yàn)用實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、猜想等科學(xué)思維方法。

6.使學(xué)生基本上掌握由特殊到一般、化未知為已知的研究問題的方法，體驗(yàn)從復(fù)雜到簡單

的轉(zhuǎn)化思想。

7.能夠進(jìn)行知識之間的建構(gòu)，學(xué)會用前學(xué)段所學(xué)知識來解釋或推理本章幾何圖形的特性.例

如：用“兩點(diǎn)之間線段最短”解釋“三角形兩邊之和大于第三邊”；用“三角形的內(nèi)角和等

于180度”來推理、探究“三角形外角和等于360度”等.

二、命題落點(diǎn)

I.利用多邊形的內(nèi)角和求多邊形的邊數(shù)，如例1.。

2.把多邊形分成幾個三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求多邊形內(nèi)角和。

3.考查多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）XI8OO0

4.正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，如例5.

5.應(yīng)用多邊形的概念解決多邊形的對角線和內(nèi)外角和的問題。

6.培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、探究意識以及良好的思維習(xí)慣.初步學(xué)會問題解決的基本步驟。

【典例精析】

例1：（2005年南通市）已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個多邊形為

A、三角形B、四邊形C、五邊

形D、六邊形

解析利用多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）X1800代入求n。答案：C

例2：（2005四川）繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來圖形重合的圖形是中心對稱圖形，正六邊形

就是這樣的圖形.小明發(fā)現(xiàn)將正六邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一個小于180。的角，也可以使它

與原來的正六邊形重合，請你寫出小明發(fā)現(xiàn)的一個旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)：。

解析因?yàn)檎呅蔚闹行慕菫?0°,只要旋轉(zhuǎn)60°的倍數(shù)的話均可以與原來的圖形重合。

所以只要列舉60°的倍數(shù)的度數(shù)就行。答案：60°或120。

例3：（泰州2005）用折紙的方法，可以直接剪出一個正五邊形（如圖）.方法：拿一張長方

形紙對折，折痕為4B,以4B的中點(diǎn)。為頂點(diǎn)將平角五等份，并沿五等份的線折疊，再沿

CD剪開，使展開后的圖形為正五邊形，則NOCD等于（）A.108°B.90°C.72°D.60°

解析實(shí)際問題需要實(shí)際操作，體會里面的各「一二|金r\zq_仁廿

個角是怎樣形成的，觀察角的特點(diǎn)。答案：B-S一佯-'

例4：（2005年鹽城市）正六邊形的一個內(nèi)角

的度數(shù)是___________0

解析計(jì)算正多邊形的內(nèi)角的方法有兩種：1、利用正多邊形的內(nèi)角和公式。2、利用正多邊形

的外角，外角與其內(nèi)角是互補(bǔ)的關(guān)系。答案：120

【常見誤區(qū)】

1.忽視正多邊形中隱含的多種條件，如例2,如果利用中心對稱圖形的知識對正六邊形進(jìn)行

旋轉(zhuǎn)的話，則需要旋轉(zhuǎn)180度，而利用正六邊形的特性則可以旋轉(zhuǎn)60度就能與原來地度圖

形重合。這是與舊知識結(jié)構(gòu)相矛盾或者容易出錯的地方。在此也考察了正六邊形的邊長等于

半徑、對邊平行以及中心角等知識點(diǎn)。

2.不能靈活的運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式和外角和不變的規(guī)律求邊數(shù)和每一個內(nèi)角的度數(shù)，

如例6,可以利用外角求內(nèi)角在計(jì)算量上較簡單。

3.數(shù)學(xué)思想方法理解不透徹，如解決多邊形問題常常需要將多邊形分割為三角形和四邊形

來解決，否則就不容易解決問題。

【基礎(chǔ)演練】

1.一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為1700°,求這個多邊形的邊數(shù).

2.當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加一條時，其內(nèi)角和為，外角和為；

3.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)為。

4.從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以作條對角線，這些對角線把這個多邊形分成一個三

角形；n邊形共有對角線_________條；六邊形的對角線的總數(shù)為______條。A

5.四邊形中，若一組對角都是直角，則另一組對角的關(guān)系是_________B/\\

6.一個多邊形的各內(nèi)角都相等，并且多邊形的內(nèi)角和為1260度，那么這個多\

邊形的每一個外角是。C2-------D

7.一個五邊形有三個內(nèi)角是直角，另兩個內(nèi)角都等于〃，則”的值是。

8.如右圖：在四邊形ABCD中，/B和NC的角平分線相交于點(diǎn)0,且/A+/D=

162°,求/BOC的度數(shù)

參考答案：

1.132.(n-1)180°,360°3.94.(n-3),(n-2),“(D.95.互補(bǔ)6.40

2

7.135°8.81°

第四講直角三角形

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.理解直角三角形的性質(zhì)和判定并能夠進(jìn)行計(jì)算。

2.會用利用面積法或者拼圖方法證明勾股定理。

3.熟練掌握勾股定理及其逆定理的具體應(yīng)用。

4.理解直角三角形的面積的兩種計(jì)算方法，如兩個直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的

乘積。

5.熟記常用的幾組勾股數(shù)，如3、4、5；5、12、13。

二、命題落點(diǎn)

1.利用30°、60°、45°等特殊的角，通過添加一條直線構(gòu)造直角三角形，從而形成解題

的突破口。

2.利用勾股定理的逆定理判定一組數(shù)是否是能夠構(gòu)成直角三角形，如例2。

3.直角三角形三邊的關(guān)系與一元二次方程的根與系數(shù)的綜合應(yīng)用。

4.利用面積法證明勾股定理以及求線段的長度。如基礎(chǔ)演練8。

【典例精析】

例1：已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程，-5*+6=°的兩根，則此直角三角

形的斜邊長為().A.V3B.3C.V13D.13

解析首先解一元二次方程的兩個根為2和3,利用勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方，所以斜邊為如。此題很融洽的與一元二次方程相結(jié)合，求直角三角形的斜邊。此題還

可以變式求斜邊上的高，其方法一樣。答案：C.

例2：若三角形的三邊長分別是6cm,8cm,10cm,則這個三角形的外接圓面積等于一cm2。

解析很明顯6、8、10為一組勾股數(shù)，其為直角三角形的三邊長。根據(jù)三角形的外接圓的規(guī)

律：直角三角形的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)。所以直角三角形的斜邊即是圓的直徑。兩直

角邊的乘積的一半即是三角形外接圓的面積為24cm2.答案：24

例3：（2005梅州）如下圖，RtAABC中,NACB=90°,AC=4,BA=5,點(diǎn)P是AC上的動

點(diǎn)（P不與A、C重合）設(shè)PC=x,點(diǎn)P到AB的距離為y。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）

試討論以P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關(guān)系，并指出相應(yīng)的x的取值范圍。

解析首先PC為x,則AP為4—x,點(diǎn)P到AB的距離即是過點(diǎn)P作AB的垂線，在幾何圖

形里面確定函數(shù)關(guān)系式最常用的方法是求三角形相似，利用三角形相似的比例式確定函數(shù)解

析式。如例3—1,作PQ_LAB,△APQSZXABC,利用對應(yīng)邊成比例解函數(shù)關(guān)系式。（2）中，

直線和圓由三種位置關(guān)系，需要確定點(diǎn)P到直線AB的距離PQ與半徑x的關(guān)系來解。

解：（1）過P作PQ_LAB于Q,則PQ=y：/A=/A,ZACB=ZAQP=90°ARtAAQP^A

v4—x

RtAACB,APQ:BC=AP:AB功夫依題意可得：BC=3,AP=4—x1化簡得：

31231233

y=--x+一（0<x<4）（2）令xWy,得：x<——x+—,解得：xV—.?.當(dāng)0<x<一時，

'555522

33

圓P與AB所在直線相離；了=—時，圓P與AB所在直線相切；=<x<4時，圓P與AB

22

所在直線相交。

例4：（2005湖北黃岡）小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得

CD=8米，BC=20米，CD與地面成30。角，且此時測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高

度為（）

A.9米B.28米C.（7+⑹米D.（14+2⑹米

解析要求電線桿高度需先求電線桿的影長，所以需要先補(bǔ)全電線桿的影長?延長BC與AD

相交于一點(diǎn)，然后過點(diǎn)D作BC延長線上的垂線，即是土坡的高度，那么可以求出土坡的影

長，土坡的影長加上前面到AB的距離就是電線桿的影長，利用影長求出AB的高度。答案:

D.

例5：（2005江蘇）己知：如圖，RtAABC^RtAADE,NABC=NADE=90°,試以圖中標(biāo)

有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連結(jié)兩條線段，如果你所連結(jié)的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中

的一種，那么請你把它寫出來并證明.

解析此題是一道開放性試題。大家可以依據(jù)題目中告訴你的條件，任意連接兩條線段，來

求證成立。不過在選擇條件是可以選擇比較好證明的結(jié)論來證明。最好證明的就是證明線段

CD=BE,它可以通過兩個三角形的全等來證明。證明：略。

例6：在三角形紙片ABC中，/C=90°,ZA=30°,AC=3,折疊該紙片，使點(diǎn)A與點(diǎn)

B重合，折痕與AB、AC分別相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E（如圖），折痕DE的長為

解析這是一道三角形的折疊問題，三角形折疊牽扯到的知識點(diǎn)是三角形的全等，那么在△

ADE折疊使其與點(diǎn)B重合，那么4ADE會BDE,其對應(yīng)線段全部相等，對應(yīng)角相等。所以線

段AE=DE,NEAD=EBD,故NA=NEBD=NCBE=30°.設(shè)線段CE為x,則線段BE為2x,

AE也為2x。所以CE+AE=3,所以線段AE=2,利用直角三角形中30°的角所對邊等于

斜邊對一半。所以線段DE=1。此題考查了三角形的全等問題，也考查了在直角三角形中30。

的特殊角的問題。對于三角形的全等并不是直接利用三角形的全等，而是借助于折疊問題考

查三角形全等，設(shè)計(jì)很巧妙。答案1。

例7：（2005云南玉溪市）如圖，CD是RtZ\ABC斜邊AB上的高，將4BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰

好落在AB的中點(diǎn)E處，則NA等于（）A.25°B.30°C.45°D.60°

解析因?yàn)槿切窝鼐€段CD折疊，則折疊的三角形為全等三角形，其對應(yīng)邊相等，所以線段

CB=CE,又因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，所以線段CB也為線段AB的一半。在直角三角形中，30°

所對的直角邊為斜邊的一半，所以/A為30°。充分考查了30°的特殊角在直角三角形中的

如何應(yīng)用。答案B

解析：由軸對稱圖形的定義可以知道軸對稱圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)180。能夠與原來的圖形重合,

從圖中找不到一條直線繞其旋轉(zhuǎn)180。能與原來圖形重合，所以它不是軸對稱圖形。而繞對

角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。能夠與原來的圖形重合。所以它是中心對稱圖形。答案：B.

【常見誤區(qū)】

1.忽視特殊的勾股數(shù)能夠組成直角三角形，如5、12、13；6、8、10。

2.忽視折疊圖形的意義，通過折疊圖形可以構(gòu)造全等三角形，也可以構(gòu)造軸對稱圖形。其

關(guān)鍵是理解折疊三角形其實(shí)就是全等三角形。對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。如例6、例7。

3.忽視在直角三角形中，30°、45°等特殊角的特殊應(yīng)用，對特殊角對特殊值技記憶不準(zhǔn)。

【基礎(chǔ)演練】

1、若直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm,則直角三角形面積是_cn/.

2.如下圖，若CD是RtAABC斜邊上的高，AD=3,CD=4,貝U8C=.

3.將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)重合為如下圖的位置，若NAOD=11O°,則N

BOC=_______

4.已知，在RtZ^ABC中NC=90°,/BAC=30°,AB=10,那么8C=

5.如上圖，D、E為aABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，將aABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在

點(diǎn)F處，若/B=55°,則NBDF=°.

6.如上圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABC。，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂

點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CQ交于點(diǎn)F,與CB延長線交于點(diǎn)￡則四邊形AECF的

面積是.

7.如圖，把直角^ABC的斜邊AB放在定直線1上，按順時針的方向在直線1上轉(zhuǎn)動兩次，

使它轉(zhuǎn)到AAzB2c2的位置，設(shè)AC=石，BC=1,則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A?

的位置時，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與直線1圍成的面積為多少？

8.已知在RtZkABC中，ZABC=90°,ZC=60°,邊AB=6cm.（1）

求邊AC和BC的值；（2）求以直角邊AB所在的直線/為軸旋轉(zhuǎn)一周

所得的幾何體的側(cè)面積.（結(jié)果用含“的代數(shù)式表示）

參考答案：

20。

1.302.—3.704.55.70°6.167

3-

8.(1)AC=48cm,BC=2\/3cm(2)所求幾何體的側(cè)面積S=24%(cm2)

第五講等腰三角形

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念。

2.掌握等腰三角形的性質(zhì)。等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成等邊對等角；等腰三

角形的頂角平分線，底邊上的高和中線互相重合，簡稱“三線合一”。

3.理解等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系。

4.初步建立學(xué)生空間觀念，發(fā)展兒何直覺。

5.在探索中提出問題、解決問題、并進(jìn)行反思，而獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)，體會到與他

人合作的重要性。

6.增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識和創(chuàng)新意識。

二、命題落點(diǎn)

1.利用等腰三角形的性質(zhì)推證兩條線段相等、角相等、兩條直線互相垂直。

2.利用“三線合一”進(jìn)行幾何方面的計(jì)算。

3.利用圖形的對稱性考查圖形的折疊問題以及相關(guān)連的實(shí)際生活問題。

4.根據(jù)軸對稱知識，畫某圖形關(guān)于直線的對稱圖形，并能夠識別軸對稱圖形。

【典例精析】K/4-

例1.等腰三角形的兩邊為4,8,則它的周長為.

解析從表面上看本題有兩種可能，以4、4、8為邊的等腰三角形和以8、8、4為邊

的等腰三角形，但前者不符合三角形的三邊關(guān)系，所以周長為20.答案：20.

例2：（2005年蘇州市）右圖可以看作是一個等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)若干次而生成的則

每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是A.90°B.60°C.45°D.30°

解析根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：兩底角為45°o所以等腰直角三角形旋力小

轉(zhuǎn)一次其角度旋轉(zhuǎn)了45°。此題也可以利用等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)了360°。/V\

正好旋轉(zhuǎn)了8個等腰三角形來計(jì)算。/\

例3：（余姚市2005年）如圖，已知D、E是等腰4ABC底邊BC上兩點(diǎn)，」/J

BDF

且BD=CE.求證:NADE=NAED

解析首先有等腰三角形性質(zhì)可知AB=AC,根據(jù)等邊對等角，所以NB=NC。

在4ABD和4ACE中，AB=AC,ZB=ZC,BD=CE,所以4ABD絲AACE。有全等三角形

的對應(yīng)角相等，故/ADB=NAEC。其補(bǔ)角也相等。

例4：（揚(yáng)州市2005年）下列圖形中不是中心對成圖形的是（）.

解析首先需要理解中心對稱圖形的定義，繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，該圖形能與原來的圖形重合,

才是中心對稱圖形。圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，直徑所在的直線是對稱軸，圓心

是對稱中心；等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，其底邊的高所在的直線是對

稱軸；正多邊形只有當(dāng)邊數(shù)為偶數(shù)的時候才是中心對稱圖形，對稱中心是正多邊形的中心。

答案：B

例5：（長沙市2005年）如上圖所示，把一個直角三角形尺D

繞著30°角的頂點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使得A與CB的延匕筮卜.―—

的C8/

點(diǎn)E重合.（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）連結(jié)CD,試判斷

△CBD的形狀；（3）求/BDC的度數(shù).

解析因?yàn)閳D形的旋轉(zhuǎn)過程中圖形的形狀沒有發(fā)生變化，所以原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形是全等

形。它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊分別相等，所以題目中線段?

AB=BE,BC=BD,AC=DE.旋轉(zhuǎn)的角為NABE即150°。ZDBE=ZA

CDB+NDCB=30°,所以NBDC=15°。/\

答案：（1）150°；（2）等腰三角形；（3）15°./\

例6：已知：如圖，Z\ABC中，AB=AC,AD_LBC于點(diǎn)D,E是nl-一L—AD

延長線上一點(diǎn)，連BE、CE?

求證：BE=CE。''

解析要想證明BE=CE需要找出BE和CE所在的三角形全等，或者

證明NEBC=NECB.有已知AB=AC,AD1BC得到NABD=NACD,由此得到△ABD^A

ACD,然后得至I」BD=CD,再力口上DE=DE和NBDE=NCDE,所以△BDEZZ\CDE.故證得結(jié)果。

【常見誤區(qū)】

1.忽視等腰三角形的分類討論，如按角進(jìn)行分類則分為鈍角三角形、銳角三角形和直

角三角形。如等腰三角形一腰的高與底邊的夾角。

2.忽視圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的關(guān)系。對圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后其新圖形與原圖形全等。

3.忽視題目中隱含的條件或者多種情況。如等腰三角形的一個角為40。，那么題目中

隱含多種情況，40?？赡苁琼斀牵部赡苁堑捉?。

【基礎(chǔ)演練】

1.（1）一個等腰三角形的頂角度數(shù)為100°,底角度數(shù)為。（2）一個等腰三角形

的一個角為40。，則另兩個角為o

2.有一等腰直角三角形紙片,以它的對稱軸為折痕，將三角形對折,得到的三角形還是等腰直角

三角形（如圖）.依照上述方法將原等腰直角三角形折疊四次，所得小等腰直角三角形的周長

是原等腰直角三角形周長的（）A、LB、,c,-D.—

24816

3.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形。如圖，AABC、ABDC.ZiDEC都是黃金三

角形，已知AB=1,則DE=

4.已知|x—3|+Jj1石=0,以x,y為兩邊長的等腰三角形的周長是。

5.如圖，RtAABC中，NACB=90°,NCAB=30°,用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種方法把它

分成兩個三角形，且要求其中一個三角形的等腰三角形。（保留作圖痕跡,

不要求寫作件和證明）

6.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,直線BD交AC于D,把直角三角形沿著直線BD翻

折，使點(diǎn)C落在斜邊AB上，如果4ABD是等腰三角形，那么ZA等于

（）

A、60°B、45°C、30°D、22.5°

7.如圖，AB=AD,BC=DC,AC與BD相交于E,由這些條件你能推出

哪些

結(jié)論？若加上AC平分DB呢？

8.如圖，梯形ABCD中，AD/7BC,AB=DC,P為梯形ABCD外一點(diǎn),

PA、PD分別交線段BC于點(diǎn)E、F,且PA=PD。（1）寫出圖中三對你認(rèn)為全等

的三角形（不再添加輔助線）；（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意

一對進(jìn)行證明。

參考答案：

3-V5

1.(1)40°(2)40°和100°或者70°和70°2.B3.———4.15

2

5.解：作法一：作AB邊上的中線；作法二：作NCBA的平分線；作法三：在CA上取一

6.C.7.答案很多，略。8.?AABP^ADCP；?AABE^ADCF；③△BEP^A

CFP；?ABFP^ACEP；（答對三對即可）（2）略

第六講勾股定理

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.理解直角三角形的性質(zhì)和判定。

2.掌握勾股定理的多種證明方法，關(guān)鍵理解掌握利用面積法證明勾股定理。

3.理解勾股定理及其逆定理的具體應(yīng)用。通過其逆定理判斷三角形是否為直角三角形。

4.理解角的平分線、線段平分線的定理以及逆定理。

5.能運(yùn)用勾股定理作長是較為簡單的無理數(shù)線段.

6.進(jìn)一步體驗(yàn)代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用。

二、命題落點(diǎn)

1.運(yùn)用勾股定理的逆定理證明兩直線垂直。

2.對于含有特殊角的幾何圖形，常常添加一條垂線構(gòu)造直角三角形。。

3.利用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形。

4.輔助線的做法。

【典例精析】

例1：（揚(yáng)州市2005年）如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為3；

了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路他們僅僅少走了?

步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草。

解析此題在中考中出錯率較高，因?yàn)橛泻芏嗳藳]有理解題目告訴你的意思.“少走了幾步”，

很多人求出了路的長度，確沒有算出少走了幾步。離正確答案盡一步之遙?；蛘咴陬}目中“步”

轉(zhuǎn)化為“米”的過程中出錯?！敖輳铰贰遍L為5m,10步，不走捷徑的話是走7m,14步，所

以少走了4步。答案：4

例2：（2005蘇州）如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°,腰長為10,則底邊上的高

AD=.>

解析首先有等腰三角形的三線合一可知，高AD也是角平分線，所以NBAD=N

DAC=60°.推出/B=30°。在直角三角形中，30°所對的邊等于其斜邊的一半，所以AD

=5。答案：5

例3：(麗水市2005)如圖，在RSABC中，NACB=90o,CD_LAB于D,若AD=1,BD=4,

則CD=()A.2B.4C.V2D.3

解析此圖是課本中的一個基本圖形，很多題目都是以此圖為基礎(chǔ)延伸變化而來。在這個圖形

2

中有三對三角形相似，有此延伸出有三對比例式、三對乘積式。即AC2=AD?AB、CD=AD

?DB、BC2=BD?BA.答案：A

例4：（2005常州）如圖，正方形ABCD的周長為16cm,順次連接正方形ABCD各邊的中

點(diǎn)，得到四邊形EFGH,則四邊形EFGH的周長等于cm,四邊形EFGH的面積等于

解析正方形的周長為16cm,則邊長為4cm。E、F、G、H為各邊的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊EH,也能求出面積。此題也可以通過觀察求中點(diǎn)四邊形的面

積。如連接EG、HF,就把原正方形分成了四個小正方形，很明顯可

以看出里面四邊形與外面

的四個三角形的面積相

等。答案：8-\/28o

例5：已知：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CQ_LA8于。，AC=6,

DB=5,求4力的長

解析：本題是“雙垂直圖形”中的求值問題，也是借助于三角形相似，利用比例式求線段的長

問題.通過那兩個三角形相似求解，要充分觀察已知條件；求解方法有直接法和解方程法.由

已知AC=6,DB=5,選用AC2=AD?AB來解決。答案：AD=4.

例6：（浙江省2005年）如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm,那

么這個直角三角形的面積是cm2.

解析首先利用勾股定理求出直角三角形的另一邊為12cm,然后利用直角三角形的面積公式:

JLx底X高。此題考查直角三角形的概念。答案：30cm2

2

【常見誤區(qū)】

1.利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算和推理時，容易忽視其前提條件必須是直角三角形。

2.勾股定理的多種證法中，不會利用面積法進(jìn)行證明。

3.在解綜合性問題時，不會構(gòu)造直角三角形，

4.動手操作能力和將知識學(xué)以致用的能力不強(qiáng)，比如利用拼圖驗(yàn)證勾股定理。

【基礎(chǔ)演練】

1.將直角三角形的三邊長都擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形是什么三角形？（提示直角

三角形、銳角三角形、鈍角三角形）

2.下列各組數(shù)中，以a,b,c為邊的三角形不是直角三角形的是（）

A^a=l.5,b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10Da=3,b=4,c=5

3.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形面積為（）A、56B、48C、40D、32

4.已知直角三角形的三邊長為6、8、X,則以x為邊的正方形的面積為。

5.直角三角形兩直角邊的長分別為5和12,則斜邊上的高為。

6.小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱中，他

能放進(jìn)去嗎？答：（填“能"、或”不能”）。

7.把一根長為10cm的鐵絲彎成一個直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是9

cm2,那么還要準(zhǔn)備一根長為—cm的鐵絲才能把三角形做好。

8.一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距

地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

9.青中中學(xué)初一（1）的學(xué)生想知道學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多

I米，如圖（1）,當(dāng)他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，如圖（2）,你

能幫他們把旗桿的高度和繩子的長度計(jì)算出來嗎？請你與同伴交流并回答用的是什么方法.

第R厥國

參考答案:

1.RTA.A.3.B.4.100或者64。5.的6.不能。7.8cm8.24,89.略

13

第七講全等三角形

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.理解全等三角形的概念和性質(zhì)。

2.理解“邊角邊”、“角邊角”、“邊邊邊"、“斜邊、直角邊”公理及其推論。

3.理解三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。

4.會運(yùn)用三角形的判定公理來證明三角形的全等。

5.能利用三角形的角平分線的有關(guān)定理進(jìn)行證明和計(jì)算。

二、命題落點(diǎn)

1.三角形全等的證明方法。

2.常見的添加輔助線的方法：①倍長中線法②割補(bǔ)法③構(gòu)造三角形全等。

3.利用三角形的全等考察三角形等幾何圖形等翻轉(zhuǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)。

4.解幾何問題的基本方法：①綜合法②