信號與系統(tǒng)-L09-CH4教材

信號與系統(tǒng)SignalsandSystems普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材《信號與系統(tǒng)》陳后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)非周期信號的頻域分析離散周期信號的頻域分析離散非周期信號的頻域分析信號的時域抽樣和頻域抽樣連續(xù)周期信號的頻域分析周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的頻譜傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì)周期信號的功率譜連續(xù)周期信號的頻域分析

為什么進行信號的頻域分析？什么是頻域的頻譜？如何進行信號的頻域分析？為什么進行信號的頻域分析

進行信號頻域分析的意義1.連續(xù)時間信號(周期為T0)2.連續(xù)時間非周期信號3.離散非周期信號4.離散周期信號(周期為N)將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合

從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進行比較提供了途徑。

從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應(yīng),及每個正弦分量通過系統(tǒng)后的變化。進行信號頻域分析的意義

傅立葉（Fourier,JeanBaptisteJoseph,1768-1830）

法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。1822年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19世紀數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開1.周期信號展開為傅里葉級數(shù)條件周期信號應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)在一個周期內(nèi)絕對可積，即滿足 (2)在一個周期內(nèi)只有有限個有限的不連續(xù)點；(3)在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開2.指數(shù)形式傅里葉級數(shù)連續(xù)時間周期信號可以用指數(shù)形式傅里葉級數(shù)表示為其中兩項的基波頻率為f0，兩項合起來稱為信號的基波分量的基波頻率為2f0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量物理含義：周期信號可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和若為實函數(shù)，則Cn具有共軛偶對稱性。即

一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開3.三角形式傅里葉級數(shù)利用此性質(zhì)可將指數(shù)Fourier級數(shù)表示寫為三角形式令由于C0是實的，所以b0=0，故則有將C0Cn

C-n代入上面指數(shù)Fourier級數(shù)中，即得三角形式一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開3.三角形式傅里葉級數(shù)一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開3.三角形式傅里葉級數(shù)純余弦形式傅里葉級數(shù)其中

a0/2稱為信號的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)稱為信號的n次諧波分量。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開

4.對稱特性

(1)縱軸對稱信號

縱軸對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含有直流項與余弦項。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開

4.對稱特性

(2)原點對稱信號

原點對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開

4.對稱特性

(3)半波重迭信號

半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開

4.對稱特性(4)半波鏡像信號半波鏡像周期信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。說明：某些信號波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對稱特性去掉直流分量后，信號呈奇對稱，只含有正弦各次諧波分量。因此該信號含有正弦各次諧波分量，直流分量。二、周期信號的頻譜及其特點1.頻譜的概念周期信號可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和

Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各次諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。不同的時域信號，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)來研究信號的特性。例1試計算圖示周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:

該周期信號

顯然滿足狄里赫勒的三個條件，必然存在傅里葉級數(shù)展開式。因此，

的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為例1試計算圖示周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:若

=T0/2，則有由于為實信號且滿足偶對稱，故其三角形式傅里葉級數(shù)展開式為例2

試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:

該周期信號顯然滿足狄里赫勒的三個條件，Cn存在例2

試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為例2

試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號的三角形式傅里葉級數(shù)展開式為由例3

求Cn

。解:根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義可得二、周期信號的頻譜及其特點2.頻譜的表示直接畫出信號各次諧波對應(yīng)的Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。幅度頻譜相位頻譜例1

周期矩形脈沖信號的頻譜圖

例2

已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出信號的Fourier級數(shù)表示式。解：由圖可知二、周期信號的頻譜及其特點3.頻譜的特性(1)

離散頻譜特性周期信號的頻譜是由間隔為w0的譜線組成的。信號周期

T0越大，w0就越小，則譜線越密。反之，

T0越小，w0越大，譜線則越疏。二、周期信號的頻譜及其特點3.頻譜的特性(2)

幅度衰減特性當(dāng)周期信號的幅度頻譜隨著諧波nw0增大時，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。若信號時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。

不連續(xù)時，Cn按1/n的速度衰減不連續(xù)時，

Cn按1/n2的速度衰減二、周期信號的頻譜及其特點3.頻譜的特性(3)

信號的有效帶寬

0~2

/

這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間

成反比。即

越大，其wB越??；反之，

越小，其wB

越大。二、周期信號的頻譜及其特點3