新教材蘇教版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè) 同步試題 3

3.2雙曲線

一、單選題

22

1.已知橢圓土+/=1（。＞1）和雙曲線'-/=］（加＞0）有相同焦點(diǎn)，則（）

am

A.a=m+2B.m=a+2C.a2=m2+2D.m2=a2+2

【答案】A

2_____

【解析】由題得橢圓上+v=l伍＞1）的半焦距為疝斤，

m

所以y/a-l=y/m+1,:.a-l=m+l,:.a=m+2.

故選：A

2.已知片是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn),且4尸8=60。小片卜3|尸閭,則C的離心率為（）

A.—B.—C.V7D.V13

22

【答案】A

【解析】因?yàn)閨尸周=3|尸閭，由雙曲線的定義可得|3|-|尸周=2朋卜加，

所以|P閶=a,|尸葉=3a；

因?yàn)?60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°,

整理可得4/=7/,所以《2=￡=?,即6=".

a242

故選：A

3.設(shè)尸（xj）是雙曲線：-9=1的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式一2y+1-+/-6x+9的最小值為

（）

A.VioB.2V5-VWC.V10-V5D.V5+V6-3

【答案】B

2:

［解析］y/x+/_2y+］x2+「_6X+9=Jx?+（yx-^+y＞

22

設(shè)/（0,1）,尸（3,0）,上式表示|「/|-|尸",由于雙曲線/-?=1的左焦點(diǎn)為尸（-3,0）,尸（3,0）,

雙曲線的實(shí)軸24=2右,|尸盟=\PF'\-2a=|PF]-245,

\PA\-\PF\=\PA\-\PF'\+2括=一（P/'/杵I卜2人,

\PF'\~\PA\<\AF'|=732+l2=M,當(dāng)P在尸為的延長(zhǎng)線與雙曲線右支的交點(diǎn)處時(shí)取到等號(hào)，所以

忸/|-廬可=-（阿［-|）+2出的最小值為2加-M.

故選：B

2222

4.已知橢圓￡:=+仁=1（°>6>0）,雙曲線C2:三一一占「=1,4此為C2的焦點(diǎn)，尸為G和G的交點(diǎn),

abba-2b

若△尸耳心的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為2,。和C2的離心率之積為則。的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)，△尸片旦的內(nèi)切圓與邊尸耳片巴，尸鳥的切點(diǎn)分別為48,C,雙曲線的焦

則附|一|「工|=（陽|+M團(tuán)）-（附|+|。閭）=（網(wǎng)+防|）一（網(wǎng)+忸6|）=囪|一|%|=（2+°）-（°-2）=4,

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以|尸耳尸周=力=4,則6=2,

又因?yàn)?。和C?的離心率之積為:，而橢圓的離心率q=、1-與，雙曲線的離心率為《2=J1+?一，，

解得。=4.故選：C.

5.已知雙曲線1=1（4>0力>0）的左焦點(diǎn)為R。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支

上，若四邊形OEMV為菱形，則。的離心率為（）

A.72+1B.V3C.73+1D.272

【答案】C

【解析】由題意尸（P。），四邊形為菱形，如圖，貝Ijpw卜|cw|=|。川=。且皿//。下

,分別為c的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)“點(diǎn)在第二象限，N在第一象限.由雙曲線的對(duì)稱性，可得仆=會(huì)

過點(diǎn)N作NH，尤軸交x軸于點(diǎn)H,則|CW|=c,\OH\^\MN\=^-\ON\=三,所以NNOH=60。,則卜耳,

2222

所以坐c],所以:一竺=1,則0為2-3,2/=4八2,即eJ8e2+4=0,解得e2=4+2/5,或

UJ4/4廳

e2-4-273，由雙曲線的離心率e>l,所以取e2=4+2/5,則e=G+l

故選：C

一

6.設(shè)雙曲線C:才-1與直線小+尸1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)413,則雙曲線。的離心率e的取

值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.，血）5血,+8）C.1孚，+00D.￡[收,

7

【答案】B

/2=,

【解析】<4Q2，，=>（1-4Q2）%2+8。2、-8。2=0,

x+y=1

21

aw—

4

1-4/片0,2」

所以a<一

A=64a4+4x8a2(l-4a2)>0,2

a>0

e=^1+Te\U(逝+00)，故選：B

丫2丫22

7.已知雙曲線C:?-彳=1(〃〉0乃〉0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1,且與橢圓土+匕=1有公共焦點(diǎn).則雙

ab82

曲線。的漸近線方程為()

Av.+幣x

6?y—x--xB.y=±y/lxC.y=+—xD.y=+y/5x

75

【答案】C

【解析】由題意已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土指,0),即為雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線中,=&,

漸近線方程為y=±2x,其中一條為樂-町=0,

a

6,

于是有I、二I=華=1,6=1,a=#)

Ja2+6、A/6

漸近線方程為y=±g

故選：C.

8.方程J(x+10)2+y2—1(x-ioy+V=12的化簡(jiǎn)結(jié)果為()

AT-JiB龍—,C.--^=l(x>0)D.土—匕=l(x>0)

3664643636646436

【答案】C

【解析】解：設(shè)4-10,0),S(10,0),P(x,y),

由于動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為J(x+10)2+y2-^-10)2+/=12,

貝加必H尸西=12,故點(diǎn)P到定點(diǎn)/(-10,0)與到定點(diǎn)8(10,0)的距離差為⑵

則動(dòng)點(diǎn)尸(叼)的軌跡是以(±10,0)為焦點(diǎn)，以12為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支,

由于2a=12,c=10,貝IJ/=c2-a2=ioo-36=64,

22

故P的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一匕=l(x>0).

3664

fV2

所以原方程可以化簡(jiǎn)為主—念二［?！?。）.故選：C

二、多選題

丫2

9.已知雙曲線C：—-/-I,下列對(duì)雙曲線C判斷正確的是（）

3-

A.實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍B.焦距為4

C.離心率為⑺D.漸近線方程為x土耳=0

【答案】BD

丫2

【解析】,??雙曲線C：］—丁=1???/=312=1.???，=/+/?2=4.??。=2.?,?雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是2〃=26,虛

軸長(zhǎng)是26=1,A錯(cuò)誤；焦距為2c=4.B正確；離心率為￡=型，C錯(cuò)誤：漸近線方程為y=±也x,D正

a33

確.

故選：BD

10.已知圓C］：x?+/_10關(guān)_10了=0和圓：尤？+y2-6x+2y—40=0貝?。荩ǎ?/p>

A.兩圓相交B.公共弦長(zhǎng)為4加

C.兩圓相離D.公切線長(zhǎng)4而

【答案】AB

【解析】圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-5y+（y-5）2=50,圓心為（5,5）半徑為15立

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）2+（y+l『=50,圓心為（3,-1）半徑為々=5近

所以兩圓心的距離：d=J（5—3,+［5—（―1）『=2屈,

<4+4，.?.兩圓相交，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

設(shè)兩圓公共弦長(zhǎng)為、則有：=/（「3=2）

/.L=4V10,選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.已知點(diǎn)點(diǎn)尸是雙曲線=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，。是圓。?+4）2+必=；上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為6

B.C的漸近線為y=±乎x

C.|尸的最小值為g

D.|以|-歸口的最小值為6-麗

【答案】ACD

【解析】A：由雙曲線方程知：?=3,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為6,正確；

B：由雙曲線方程知：C的漸近線為y=±日尤，錯(cuò)誤；

C：雙曲線、圓如下：。(-4,0)為左焦點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)尸為x軸交點(diǎn)，。為x軸右交點(diǎn)時(shí)，|尸。|最小為正確;

D：由尸(4,0)為右焦點(diǎn)，|「尸-|尸。=2。=6,則|尸4-歸以=|尸/|+6Tp斤要使|尸/卜|尸必最小只需尸,4尸

共線，止匕時(shí)(pHTPDLm=6-Mk=6-aT,正確.

故選：ACD.

12.已知曲線C:二+亡=1,工,外分別為曲線。的左右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是()

9m

A.若加=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為(

B.若曲線C的離心率e=2,則加=-27

7T

C.若m=3,則曲線。上不存在點(diǎn)尸，使得N片桃=萬

D.若加=3,P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△咫工面積的最大值為3也

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)冽=-3時(shí)，曲線C：《-反=1表示焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線，漸近線方程為尸土且工,

933

ITSTTTT

故漸近線的傾斜角分別為9,9,所以曲線C的兩條漸近線所成的銳角為￡,故A選項(xiàng)正確；

663

對(duì)于B選項(xiàng)，離心率e=2,則曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，a=3,e=2,故c=6,所以

-m=c2-a2=36-9=27,所以切=-27,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若機(jī)=3,則曲線C:：+[=l表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，此時(shí)/=9,〃=3/2=6,設(shè)橢圓C的

短軸的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0,6）,則cos4即，+;：[分=*_卜0，故/片明為鈍角，所以線C

上存在點(diǎn)P,使得/片尸乙=1，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若加=3,則曲線C:：+[=l表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，此時(shí)/=9,"=3,02=6,p為C上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△尸片大面積的最大值為黑,=Lx2cx6=lx2?x7i=37i,故D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

三、填空題

13.雙曲線=1（“>0,6>0）的焦距為4,且其漸近線與圓6：（》-2）2+必=1相切，則雙曲線G的

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】--/=1

3-

22

【解析】因?yàn)殡p曲線G：]=1（。>0]>0）的焦距為4,所以。=2.

由雙曲線￡的兩條漸近線y=±：x與圓。2：（尤-2）2+y2=l相切，可得1=百左.

34i?2+Z?2=4,所以b=l,a-A/3>

所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故答案為：——y2=1

3

14.與雙曲線——V=i有相同的漸近線，且過點(diǎn)（1,2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】《_￡=1

33

【解析】依題意，設(shè)雙曲線方程為：x2-y2=2（2^0）,于是得4=F-2?=-3,則有/一了2=_3,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為片-二=1.

33

故答案為：片-二=1

33

15.若坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)廠（-2,0）分別為雙曲線二一/=1（°>0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上的任

a

意一點(diǎn)，則方?麗的最小值為.

【答案】3+273

【解析】解：由題意得：

尸(-2,0)是已知雙曲線的左焦點(diǎn)

??〃+1=4,即/=3

二.雙曲線方程為二-y=1

3

22

設(shè)點(diǎn)「(%%),則有氣一為2=1("6),解得"2=]__1("向

FP=(%+2,%),OP=(x0,y0),

______,X24x2

0尸/尸=/d+2)+為-=/(/+2)+^—1=-y-+2x0-l

X?>V3

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分析可知函數(shù)在［6,+可上單調(diào)遞增

當(dāng)X。=V3時(shí)，OP-FP取得最小值§x3+-1=3+2A/3,

故答案為：3+273

16.已知尸為雙曲線C：=-。~=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是以。尸為直徑的圓

ab

與雙曲線C的一個(gè)公共點(diǎn).若點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線的斜率為

【答案】±273

【解析】因點(diǎn)A是以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的一個(gè)公共點(diǎn)，則。4，/尸,

設(shè)點(diǎn)廠關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為3,雙曲線C的左焦點(diǎn)為P,則CM//F5,有BFUBF，如圖,

令|/廠|=加，貝!|=加+2。，\BF\=2m,\BF'\=2m-2a,又|OF|=c,

在RMAF戶中，-'『+|由呼=|廠尸『，即（2/-20丫+4/=4<?,

在R/ABP幺中，|8尸'『+|45『=|"/，『，即（2加-2a『+/=（加+20『

（2m—24了+4m2=4c2

于是得（2加-2°）2+〃/=（加+2a）2,解得6=2々°,即2=26,

c2=a2+b2a

所以雙曲線C的漸近線的斜率為±2百.

故答案為：±273

四、解答題

17.解答下列兩個(gè)小題：

22

⑴雙曲線￡：,-方=l（a>0,6>0）離心率為夜，且點(diǎn)（2,旬在雙曲線￡上，求E的方程；

22

（2）雙曲線C實(shí)軸長(zhǎng)為2,且雙曲線C與橢圓工+乙=1的焦點(diǎn)相同，求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

84

【解析】⑴由6=及，得￡=近，即°="?，

a

又/=,2./=（揚(yáng)）2_/=/,即q=b,

雙曲線￡的方程即為，-，=1,點(diǎn)（2,后）坐標(biāo)代入得:-。=1,解得/=2.

所以，雙曲線E的方程為巨-片=1.

22

22

（2）橢圓條+亍=1的焦點(diǎn)為（±2,0）,

22

設(shè)雙曲線。的方程為芻-1=1（°>0,6>0）,

所以2。=2,且/+從=4,

所以a=l,b2=3

所以，雙曲線C的方程為/-尤=1,

3

18.根據(jù)下列已知條件求曲線方程.

⑴求與雙曲線口三=1共漸近線且過次26,-3）點(diǎn)的雙曲線方程；

169

22

（2）求與橢圓］+/=1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)（2,-73）的橢圓方程.

【解析】（1）設(shè)與雙曲線,-：=1共漸近線的雙曲線方程為：（-：="4片0）

■丁點(diǎn)省26,-3）在雙曲線上,

1291

..x=-----=—

1694

22

221Ui

，所求雙曲線方程為：土y-匕v=-L即/—W.

16947

4

22

⑵若焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)所求橢圓方程為'+々=（＞0）,將點(diǎn)（2,-6）代入，得7=2,

故所求方程為Y+E=l.

OO

若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為］+：="％＞0）代入點(diǎn)（2,-右），得2=||，

W

2525.

T了

2

19.已知點(diǎn)與、網(wǎng),為雙曲線C:X2-%=1（6＞0）的左、右焦點(diǎn)，過鳥作垂直于x軸的直線，在x軸的上方

交雙曲線C于點(diǎn)M,且/孫8=30。.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）若直線/過點(diǎn)（0,1）且與雙曲線C交于A、8兩點(diǎn)，若A、B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線/的方程;

（3）過雙曲線C上任意一點(diǎn)尸作該雙曲線兩條漸近線的垂直，垂足分別為4、P2,求證：而「而2為定值.

【解析】（1）由雙曲線的方程可得4=1,

在直角三角形孫外中，ZMFtF2=30°,MFJFE，

可得|町|=2|崢S.\MFl\-\MF2\=2a=2,

解得|加用=2,乂|崢|=?=尸，

所以/=2,

則雙曲線的方程為》2-片=1：

2

（2）由題意可得直線/的斜率存在，設(shè)為左，直線/的方程為＞=履+1,

y=kx+l

聯(lián)立可得（2_/卜2_2而_3=0,

2x2-y2=2

△=4/+i2（2-/）＞0,解得一右〈人

設(shè)A,3的橫坐標(biāo)分別為A，4，則占+X2==y

2-k

由A、3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,可得「忍=1,

2-k

解得左=1或-2(舍去),

所以直線/的方程為y=x+i；

(3)證明：設(shè)尸(〃?,〃)，貝!!2/一/=2,

'm+6n41m+In

解得4

解得△［邛3★祖,

I3JJ

所以西?兩二

4m*2—2n2+n2-2m2

9

_2m2-n2_2

------------——，

99

—?—?2

即心?陰

22py

20.已知雙曲線U=-2=l(a>0,10)的離心率為2,右頂點(diǎn)。到一條漸近線的距離為組.

ab2

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若直線/與雙曲線C交于42兩點(diǎn)，且火?礪=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。到直線/的距離是否為定值？若是,

求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【解析】⑴

由題意，得雙曲線C的漸近線方程為/=±2》,

a

右頂點(diǎn)為。g,o).又/+62=,2,

所以￡故6=技

又。2+3=4。2,解得。2=1，

所以雙曲線C的方程為/-且=1.

3

⑵

設(shè)，（再,））3（*2，%）

當(dāng)直線/和軸線平行時(shí)，國(guó)=聞，同=必，解得㈤=聞=叼=回=手，

所以點(diǎn)。到直線/的距離為1

2

當(dāng)直線/和軸線不平行時(shí)，

設(shè)直線I的方程為x^my+t,

「2

2_匕=]

由彳3一，得（3〃/-1）/+6/。+3產(chǎn)一3=0,

x=my+t

A=（6加>-4（3加2-1）（3/2-3）=12（3療+〃一1）>o,

3d—3

所以必+%=q6｝，%%=

3m-13m2-1

又再=myl+t,x2=my2+’,

所以04?08=石毛+K外=（my\+。（加%+和+乂％<洸-4）乂%+哦K+耳+彳=0,

（m2+l）（3t2-3）-6m2t2+t2（3m2-1

得=0,

3m2-1

解得2〃=3/+3.

又點(diǎn)0到直線I的距離為d=~^=

7m+1

產(chǎn)3故心手

貝！—

m+12

所以點(diǎn)O到直線/的距離為定值逅.

2

2222

21.已知橢圓￡:=+4=1,雙曲線尸:土-匕=1,設(shè)橢圓E與雙曲線尸有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)

a2b262

（36I、

B一己一，5分別為橢圓E與雙曲線下在第一、二象限的交點(diǎn).

I乙）

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線48與y軸相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作直線交橢圓E于P，。兩點(diǎn)（不同于A,B）,求證：直線/P

與直線8。的交點(diǎn)N在一定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程.

【解析】(1)因?yàn)闄E圓E與雙曲線下有相同的焦點(diǎn)，所以=6+2=8,

將點(diǎn)/乎』代入橢圓方程得總+)=1,

聯(lián)立兩式解得，1=9,b2=\,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+y2=l.

(2)依題意，直線尤=；,則點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,；),直線尸。與直線不重合，于是得直線尸。的斜率

不為0,

19/72

設(shè)直線尸0的方程為X=加(y—j),由'M(m2+9)/-m2)；+—-9=0,

2x=m(y-^)4

設(shè)爪-Of)'N(”°),則…「仁，5=下新

3733>/3yL3/3_3百

由A,P,N共線得：上孑二上孑」即:尤。一〒373

-----=m----------

1112y,-1y-12乂-1

y°~2%一2%—2為2

尤

同理，由3,Q,N共線得：-~鄧4=加+*-

_12%-1

州v2

1

兩式相減并整理得，f22(…)+「從而得解得為=2,

2m2+9m2+9

綜上所述，直線/尸與直線8。的交點(diǎn)N在定直線歹=2上運(yùn)動(dòng).

22

22.已知雙曲線。：「-2=1(。＞0,10)的右焦點(diǎn)為廠(2,0),漸近線方程為＞=±底.

ab

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線與。的兩條漸近線分別交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(士,乂),。(尤2，%)在。上，且七＞%＞0,%＞0.過

產(chǎn)且斜率為-G的直線與過。且斜率為囪的直線交于點(diǎn)M從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一

個(gè)成立：

①“在上；?PQ//AB.③“

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】(1)右焦點(diǎn)為尸(2,0),...c=2,；漸近線方程為y=±瓜，；.2=6,.?"=6°,二

a

C2=/+/）2=船2=4,a=l,.?.b=VL，c的方程為：/-匕=1；

3

（2）由已知得直線尸。的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由

②成立可知直線43的斜率存在且不為零；若選①③推②，則M為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不

存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知”在x軸上，即為焦點(diǎn)尸，此時(shí)由對(duì)稱性可知尸、。關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而

占