2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（全國(guó)）專(zhuān)題17 歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用（教師版）

PAGE1PAGE專(zhuān)題17歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是觀(guān)察一歸納一猜想一證明(驗(yàn)證)，具體做法是:①認(rèn)真觀(guān)察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系:②分析概括所給數(shù)式圖的特征，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論;③結(jié)合問(wèn)題所給的材料查是證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。題型一：數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想1．（2024?馬鞍山一模）觀(guān)察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，．按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)前4個(gè)等式的規(guī)律求解此題；（2）根據(jù)前5個(gè)等式歸納出此題規(guī)律進(jìn)行求解．【解答】解：（1）第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，故答案為：；（2）由題意得，第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，，第個(gè)等式：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過(guò)觀(guān)察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解．2．（2024?包河區(qū)一模）觀(guān)察下列等式：；；；（1）猜想并寫(xiě)出第6個(gè)等式．；（2）猜想并寫(xiě)出第個(gè)等式；（3）證明（2）中你猜想的正確性．【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，進(jìn)行總結(jié)即可；（3）把（2）中的左邊進(jìn)行整理，從而可求證．【解答】解：（1）由題意得：第6個(gè)等式．故答案為：；（2）由題意得：第個(gè)等式．故答案為：；（3）（2）中的等式左邊右邊．故猜想成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．3．（2024?嘉善縣一模）觀(guān)察下面的等式：，，，，（1）寫(xiě)出的結(jié)果；（2）按照上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論；（用含的等式表示，為正整數(shù)）（3）試運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明你所得到的結(jié)論是正確的．【分析】（1）由上述等式得，，所以；（2）觀(guān)察上面的等式可得，；（3）計(jì)算是否等于．【解答】解：（1）由上述等式得，；（2）；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，關(guān)鍵是從等式中找到規(guī)律．4．（2024?新樂(lè)市一模）每個(gè)人都擁有一個(gè)快樂(lè)數(shù)字，我們把自己出生的年份減去組成這個(gè)年份的數(shù)字之和，所得的差就是我們自己的快樂(lè)數(shù)字．比如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚出生于1910年，他的快樂(lè)數(shù)字是．（1）某人出生于1949年，他的快樂(lè)數(shù)字是1926；（2）你再舉幾個(gè)例子并觀(guān)察，這些快樂(lè)數(shù)字都能被整除，請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明你的猜想．（3）請(qǐng)你重新對(duì)快樂(lè)數(shù)字定義，并寫(xiě)出一個(gè)你找到的規(guī)律（直接寫(xiě)出結(jié)果，不用證明）．【分析】（1）根據(jù)快樂(lè)數(shù)字的定義即可解決問(wèn)題．（2）按要求舉幾個(gè)例子，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行重新定義即可．【解答】解：（1）由題知，，即他的快樂(lè)數(shù)字是1926．故答案為：1926．（2）例如：1986，1995，，，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，這些快樂(lè)數(shù)字都能被9整除．證明如下，令這個(gè)四位數(shù)為：，，則，故此代數(shù)式是9的倍數(shù)，所以猜想是正確的．（3）定義如下，若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字相等，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字相等，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“快樂(lè)數(shù)字”．發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是，“快樂(lè)數(shù)字”能被101整除．（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，理解題中“快樂(lè)數(shù)字”的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）某班數(shù)學(xué)小組在研究個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時(shí)，得到了下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）填空：5625；（2）已知且為整數(shù)，猜想第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)上述等式得；（2）根據(jù)上述等式，得出規(guī)律，，且為整數(shù)），再證明即可．【解答】解：（1）5625；；（2），，且為整數(shù)）證明：，猜測(cè)的算式正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和列代數(shù)式，從題目中找出數(shù)字與等式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．（2024?廬江縣一模）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）各等式都成立時(shí)，；（2）在（1）的條件下，寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)所給等式，求出得值即可解決問(wèn)題．（2）觀(guān)察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題知，因?yàn)?，解得，所以的值為．故答案為：．?）因?yàn)榈?個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；，觀(guān)察所給等式各部分的變化規(guī)律可知，第個(gè)等式：；證明如下，左邊；右邊；左邊右邊，所以此等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律進(jìn)而得出第的等式是解題的關(guān)鍵．7．（2023?利辛縣模擬）觀(guān)察下列等式：第①個(gè)等式：，第②個(gè)等式：，第③個(gè)等式：，第④個(gè)等式：，根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第⑤個(gè)等式；（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)等式的計(jì)算規(guī)律分析即可；（2）利用等式的計(jì)算規(guī)律寫(xiě)出猜想，再運(yùn)用平方差公式計(jì)算證明．【解答】解：（1）第⑤個(gè)等式為：；（2）第個(gè)等式（用含的式子表示）為：，證明：左邊，右邊，左邊右邊，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字規(guī)律的探究，熟練掌握平方差公式的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023?全椒縣三模）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并驗(yàn)證其正確性．【分析】（1）根據(jù)前5個(gè)等式規(guī)律寫(xiě)出第6個(gè)等式；（2）根據(jù)前5個(gè)等式猜想出第個(gè)等式并驗(yàn)證．【解答】解：（1）第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：，可得第6個(gè)等式為：，故答案為：；（2）由題意可猜想得，第個(gè)等式為：，證明：，第個(gè)等式為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過(guò)觀(guān)察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解．9．（2023?夏邑縣校級(jí)三模）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字．例如：當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．（1）嘗試：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．（2）歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．（3）運(yùn)用：若與的和為6325，求的值．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意列出方程求解即可．【解答】解：（1）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（2），理由如下：；（3）由題知，，即，解得或（舍去），的值為7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．10．（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)三模）觀(guān)察等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；根據(jù)以上等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出第5個(gè)等式：；（2）猜想并寫(xiě)出第個(gè)等式，證明你所猜想的正確性．【分析】先分別找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式，并證明即可．【解答】解：（1）先得到第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為7，，第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為1，7，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母分別為1，，故得：．（2）第個(gè)等式：證明：左邊右邊，得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式的能力，用分式運(yùn)算證明是難點(diǎn)．11．（2023?蕭縣三模）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第4個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)題目中的三個(gè)等式各部分的變化規(guī)律，可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)此等式各部分的變化規(guī)律，可歸納猜想出第個(gè)等式．將所得等式的左邊通分，與右邊相等，則可得出此等式成立【解答】解：（1）由題知，第4個(gè)等式為：．故答案為：；（2）猜想第個(gè)等式為：．證明：左邊右邊，所以此等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)式變化規(guī)律的歸納猜想問(wèn)題，抓住等式中各部分的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2023?無(wú)為市四模）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：．（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）利用所給的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）按照以上規(guī)律，第5個(gè)等式為：；故答案為：；（2）按照以上規(guī)律，第個(gè)等式為：．證明如下：等式左邊，等式右邊，等式左邊等式右邊，等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的加減法，數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到已知等式的規(guī)律．13．（2023?思明區(qū)模擬）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話(huà)從左往右讀和從右往左讀，結(jié)果完全相同．文學(xué)上把這樣的現(xiàn)象稱(chēng)為“回文”，數(shù)學(xué)上也有類(lèi)似的“回文數(shù)”，比如252，7887，34143．小明在計(jì)算兩位數(shù)減法的過(guò)程中意外地發(fā)現(xiàn)有些等式從左往右讀的結(jié)果和從右往左讀的結(jié)果一樣，如：；；．?dāng)?shù)學(xué)上把這類(lèi)等式叫做“減法回文等式”．（1）①觀(guān)察以上等式，請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式”；②請(qǐng)歸納“減法回文等式”的被減數(shù)（十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為與減數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，并證明．（2）兩個(gè)兩位數(shù)相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出“乘法回文等式”的因數(shù)與因數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件．【分析】（1）①根據(jù)題意寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式“即可；②由已知“減法回文等式”的定義證明即可；（2）類(lèi)似“減法回文等式”定義得到“乘法回文等式”，再根據(jù)“乘法回文等式”定義證明即可．【解答】解：（1）①觀(guān)察已知等式，再寫(xiě)出一個(gè)“減法回文等式”可以是（答案不唯一）；②歸納“減法回文等式”的被減數(shù)（十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為與減數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是，證明如下：，即，整理，得：，；（2）兩個(gè)兩位數(shù)相乘，也存在“乘法回文等式“，“乘法回文等式“的因數(shù)與因數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是，理由如下：，即，整理，得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減，注意發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出運(yùn)算的規(guī)律解決問(wèn)題．14．（2023?武安市三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：，，，．觀(guān)察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且積有一定的規(guī)律”．（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫(xiě)出結(jié)果：3016；；（2）設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為．①請(qǐng)用含，的等式表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明；②上述等式中，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘（如調(diào)換為．若記新的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為，①中的運(yùn)算結(jié)果為，求證：能被99整除．【分析】（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得這兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，從而得到這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為，然后分別計(jì)算等式的左右兩邊，即可求解；②由①得：，可得新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，進(jìn)而得到，然后計(jì)算出，即可解答．【解答】（1）解：根據(jù)題意得：，；故答案為：3016；5625；（2）①解：其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，這兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，根據(jù)題意得：這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為，證明：左邊，右邊，左邊右邊；②證明：由①得：，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，，，，為正整數(shù)，為整數(shù)，能被99整除．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．15．（2024?安徽模擬）【觀(guān)察】觀(guān)察下列式子：①；②；③；④；【猜想】根據(jù)上述式子猜想式子⑥：7；【發(fā)現(xiàn)】用含的式子表示出第個(gè)式子：；【應(yīng)用】利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【分析】猜想：根據(jù)上述四個(gè)式子猜想第六個(gè)式子即可；發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上述式子得出一般規(guī)律，即；應(yīng)用：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可．【解答】解：猜想：⑥：，故答案為：7，8；發(fā)現(xiàn)：第個(gè)式子：，故答案為：；應(yīng)用：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2024?蕪湖二模）如圖被稱(chēng)為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第3行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．圖中兩平行線(xiàn)之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，，我們把第1個(gè)數(shù)記為，第2個(gè)數(shù)記為，第3個(gè)數(shù)記為，，第個(gè)數(shù)記為．（1）根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律，36，；（2）這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)嗎？如果有，求；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意，可以得出規(guī)律：第個(gè)數(shù)記為，再求即可；（2）設(shè)，求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：；；；；，第個(gè)數(shù)記為，；故答案為：36；．（2）設(shè)，解得：，這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．17．（2024?池州二模）觀(guān)察下列式子：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；（1）請(qǐng)寫(xiě)出第4個(gè)等式：；（2）設(shè)一個(gè)兩位數(shù)表示為，根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出的一般性規(guī)律，并予以證明．【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)等式的規(guī)律，即可寫(xiě)出答案；（2）根據(jù)前3個(gè)等式的運(yùn)算過(guò)程，即可得出一般性規(guī)律，再進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1），故答案為：；（2）一般性規(guī)律：．證明：等式左邊，等式右邊，等式左邊等式右邊，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和有理數(shù)的混合運(yùn)算，找出等式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．（2024?廬江縣校級(jí)模擬）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；（1）請(qǐng)你按照上述等式規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）根據(jù)上述等式規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)等式；（3）證明（2）中你所寫(xiě)等式的正確性．【分析】（1）根據(jù)前幾個(gè)等式，可得第5個(gè)等式：；（2）第個(gè)等式：；（3）證明等式左邊等于等式右邊即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）左邊右邊，等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．（2024?沅江市一模）設(shè)，，，容易知道，，，如果一個(gè)數(shù)能表示為8的倍數(shù)，我們就說(shuō)它能被8整除，所以，，都能被8整除．（1）試探究是否能被8整除，并用文字語(yǔ)言表達(dá)出你的結(jié)論．（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出，，這一系列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并說(shuō)出當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，為完全平方數(shù)．【分析】（1）由題意，是相鄰倆奇數(shù)、的平方差，化簡(jiǎn)結(jié)果是8的倍數(shù)，可整除；（2）由找到前四個(gè)完全平方數(shù)，從下標(biāo)2、8、18、32可知它們是一個(gè)完全平方數(shù)的2倍．【解答】解：（1）由題意得：能被8整除．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．這一系列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)依次為：16、64、144、256．由、、、四個(gè)完全平方數(shù)可知，所以為一個(gè)完全平方數(shù)兩倍時(shí)，是完全平方數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用代數(shù)式來(lái)表示一般規(guī)律，利用已總結(jié)的規(guī)律進(jìn)一步探索、發(fā)現(xiàn)、歸納得出下一步結(jié)論是本題難點(diǎn)．20．（2023?新華區(qū)校級(jí)二模）【發(fā)現(xiàn)】如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字能被5整除，那么這個(gè)整數(shù)就能被5整除．【驗(yàn)證】如：，又和10都能被5整除，5能被5整除，能被5整除，即：345能被5整除．（1）請(qǐng)你照著上面的例子驗(yàn)證343不能被5整除；（2）把一個(gè)千位是、百位是、十位是、個(gè)位是的四位數(shù)記為．請(qǐng)照例說(shuō)明：只有等于5或0時(shí)，四位數(shù)才能被5整除．【遷移】（3）設(shè)是一個(gè)三位數(shù)，請(qǐng)證明；當(dāng)?shù)暮湍鼙?整除時(shí)，能被3整除．【分析】（1）仿照所給的例子進(jìn)行求解即可；（2）仿照所給的例子進(jìn)行求解即可；【遷移】仿照所給的例子進(jìn)行求解即可．【解答】證明：（1），100和10都能被5整除，3不能被5整除，不能被5整除，即343不能被5整除；（2），1000和100和10都能被5整除，當(dāng)能被5整除時(shí)，能被5整除；只有等于5或0時(shí)，四位數(shù)才能被5整除．【遷移】證明：，，能被3整除，若“”能被3整除，則能被3整除．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，列代數(shù)式，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型二：圖案規(guī)律中的猜想歸納思想1．（2023?棗莊）（1）觀(guān)察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀(guān)察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫(xiě)出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：軸對(duì)稱(chēng)圖形，；（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿(mǎn)足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．【分析】（1）觀(guān)察圖形可得出結(jié)論．（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接畫(huà)出圖形即可．【解答】解：（1）觀(guān)察圖形可知：三個(gè)圖形都為軸對(duì)稱(chēng)圖形且面積相等，故答案為：軸對(duì)稱(chēng)圖形，面積相等．（2）如圖：（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行圖形的變換是解題的關(guān)鍵．2．（2024?肥西縣一模）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成下列的問(wèn)題：（1）在圖②中用了8塊白色正方形，在圖③中用了塊白色正方形；（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第個(gè)圖形要用塊白色正方形；（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請(qǐng)說(shuō)明它是第幾個(gè)圖形；如果不能，說(shuō)明你的理由．【分析】（1）觀(guān)察如圖可直接得出答案；（2）認(rèn)真觀(guān)察題目中給出的圖形，結(jié)合問(wèn)題（1），通過(guò)分析，即可找到規(guī)律，得出答案；（3）根據(jù)問(wèn)題（2）中總結(jié)的規(guī)律，列出算式，如果結(jié)果是整數(shù)，則能夠拼出具有以上規(guī)律的圖形，否則，不能．【解答】解：（1）觀(guān)察如圖可以發(fā)現(xiàn)，圖②中用了8塊白色正方形，在圖③中用了11塊白色正方形；故答案為：8，11；（2）在圖①中，需要白色正方形的塊數(shù)為；在圖②中，需要白色正方形的塊數(shù)為；在圖③中，需要白色正方形的塊數(shù)為；由此可以發(fā)現(xiàn)，第幾個(gè)圖形，需要白色正方形的塊數(shù)就等于3乘以幾，然后加2．所以，按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第個(gè)圖形要用塊白色正方形；故答案為：；（3）能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：假設(shè)第個(gè)圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則，解得：，即第674個(gè)圖形中恰好用完2024塊白色正方形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了列代數(shù)式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，通過(guò)分析、思考，總結(jié)出圖形變化的規(guī)律．3．（2024?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）將一些相同的“☆”按如圖所示擺放，觀(guān)察其規(guī)律并回答下列問(wèn)題：（1）圖6中的“☆”的個(gè)數(shù)有35個(gè)；（2）圖中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)；（3）圖中的“☆”的個(gè)數(shù)可能是100個(gè)嗎；如果能，求出的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)說(shuō)明理由．【分析】（1）圖1中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖2中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖3中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖4中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，由此得到規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；（3）令，解方程求出的值，看是否是正整數(shù)即可得到答案．【解答】解：（1）圖1中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖2中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖3中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖4中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，可以得到規(guī)律，圖中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，圖6中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，故答案為：35；（2）由（1）得圖中的“☆”的個(gè)數(shù)有個(gè)，故答案為：；（3）圖中的“☆”的個(gè)數(shù)不可能是100個(gè)，理由如下：令，則，解得，又為整數(shù)，圖中的“☆”的個(gè)數(shù)不可能是100個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，解一元二次方程，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2024?宣城模擬）【觀(guān)察思考】如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個(gè)圖案有4個(gè)正方形；第2個(gè)圖案有6個(gè)正方形；第3個(gè)圖案有8個(gè)正方形；依此規(guī)律，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個(gè)圖案有正方形12個(gè)．（2）第個(gè)圖案有正方形個(gè)．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中正方形的排列方式，現(xiàn)有4050個(gè)正方形，若干個(gè)三角形（足夠多）．依此規(guī)律，是否可以組成第個(gè)圖案（正方形一次性用完），若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為：；，所以第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為個(gè)，當(dāng)時(shí)，（個(gè)，即第5個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為12個(gè)．故答案為：12．（2）由（1）知，第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為個(gè)．故答案為：．（3）存在．令，解得，所以可以組成第個(gè)圖案，的值為2024．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)正方形的個(gè)數(shù)依次增加2是解題的關(guān)鍵．5．（2024?淄博模擬）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面：（1）觀(guān)察圖形，填寫(xiě)下表：圖形①②③黑色瓷磚的塊數(shù)4710黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)915（2）依上推測(cè)，第個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）；（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)可能是2024塊嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，數(shù)出圖中黑色瓷磚塊數(shù)和黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)即可．（2）根據(jù)（1）中求出的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，第1個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；第2個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；第3個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；，所以第個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為塊，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為塊；故答案為：10，21．（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，第個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為塊，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為塊；故答案為：塊，塊．（3）不可能．令，解得，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)不可能是2024塊．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑色瓷磚的塊數(shù)依次增加3，黑白瓷磚的總塊數(shù)依次增加6是解題的關(guān)鍵．6．（2024?蜀山區(qū)模擬）某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)．圖1為有1塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有11塊，三角形地磚有10塊；．（1）按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加5塊，三角形地磚會(huì)增加塊；（2）若鋪設(shè)這條小路共用去塊六邊形地磚，分別用含的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量；（3）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形和三角形地磚的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，圖1中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：1；圖2中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：2；圖3中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：3；，所以圖中三角形地磚塊數(shù)為塊，正方形地磚塊數(shù)為塊，六邊形地磚塊數(shù)為塊；由此可見(jiàn)，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加5塊，三角形地磚會(huì)增加4塊．故答案為：5，4．（2）由（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，當(dāng)鋪設(shè)這條小路共用去塊六邊形地磚時(shí)，用去正方形地磚的塊數(shù)為塊，用去三角形地磚的塊數(shù)為塊．（3）當(dāng)時(shí)，（塊，（塊，所以（塊，即此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為228塊．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形、正方形和六邊形地磚塊數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2024?瑤海區(qū)校級(jí)模擬）將字母“”，“”按照如圖所示的規(guī)律擺放，其中第1個(gè)圖形中有1個(gè)字母，有4個(gè)字母；第2個(gè)圖形中有2個(gè)字母，有6個(gè)字母；第3個(gè)圖形中有3個(gè)字母，有8個(gè)字母；根據(jù)此規(guī)律解答下面的問(wèn)題：（1）第4個(gè)圖形中有4個(gè)字母，有個(gè)字母；（2）第個(gè)圖形中有個(gè)字母，有個(gè)字母（用含的式子表示）；（3）第2024個(gè)圖形中有個(gè)字母，有個(gè)字母．【分析】根據(jù)圖中信息找規(guī)律即可：（1）根據(jù)規(guī)律作答即可；（2）根據(jù)規(guī)律找到個(gè)數(shù)與的關(guān)系即可；（3）代入（2）中的關(guān)系式計(jì)算即可．【解答】解：（1）第1個(gè)圖形中有1個(gè)字母，有4個(gè)字母；第2個(gè)圖形中有2個(gè)字母，有6個(gè)字母；第3個(gè)圖形中有3個(gè)字母，有8個(gè)字母，依此類(lèi)推，第4個(gè)圖形中有4個(gè)字母，有10個(gè)字母；（2）觀(guān)察規(guī)律：第1個(gè)圖形中有1個(gè)字母，第2個(gè)圖形中有2個(gè)字母，第3個(gè)圖形中有3個(gè)字母，，字母的數(shù)量等于，第個(gè)圖形中有個(gè)字母，同理觀(guān)察規(guī)律：第1個(gè)圖形中有4個(gè)字母；第2個(gè)圖形中有6個(gè)字母；第3個(gè)圖形中有8個(gè)字母；；字母的個(gè)數(shù)是字母的個(gè)數(shù)的2倍多2，字母的數(shù)量等于，字母的個(gè)數(shù)是，即第個(gè)圖形中有個(gè)字母；（3）根據(jù)第（2）問(wèn)，將數(shù)字代入即可，字母的數(shù)量等于，第2024個(gè)圖形中有2024個(gè)字母，字母的個(gè)數(shù)是，第2024個(gè)圖形中有4050個(gè)字母．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)以及列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵在于找到規(guī)律．8．（2024?蚌埠模擬）【觀(guān)察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）若圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作，圖2中小正方形個(gè)數(shù)記作，，圖中小正方形個(gè)數(shù)記作，則，；（用含的式子表示）【規(guī)律應(yīng)用】（2）結(jié)合上述規(guī)律，試說(shuō)明是否存在正整數(shù)，使得等于的4倍？【分析】（1）根據(jù)所給圖形依次求出，，，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：由所給圖形可知，圖1中小正方形的個(gè)數(shù)為：，即；圖2中小正方形的個(gè)數(shù)為：，即；圖3中小正方形的個(gè)數(shù)為：，即；，所以圖中小正方形的個(gè)數(shù)為個(gè)，即；則．故答案為：，．（2）存在．由題知，，解得，．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，故存在這樣的正整數(shù)6，使得等于的4倍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)小正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2024?蜀山區(qū)一模）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第5個(gè)圖案有34顆黑色棋子，第個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為；（2）據(jù)此規(guī)律用2024顆黑色棋子，是否能擺放成一個(gè)圖案，如果能，是第幾個(gè)圖案？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出黑色棋子的顆數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；第2個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；第3個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；第4個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；，所以第個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為顆，當(dāng)時(shí)，（顆，即第5個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為34顆．故答案為：34，．（2）不能．令，解得（舍負(fù)），因?yàn)闉檎麛?shù)，所以用2024顆黑色棋子不能擺成一個(gè)圖案．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)棋子個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2024?長(zhǎng)豐縣一模）如圖，第1個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；第2個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；第3個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；（1）在第個(gè)圖案中，“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為．（用含的式子表示）（2）根據(jù)圖案中“●”和“〇”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得第個(gè)圖案中“●”的個(gè)數(shù)是“〇”的個(gè)數(shù)的．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“●”和“〇”個(gè)數(shù)變化的規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題知，第1個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；第2個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；第3個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；，所以第個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為，“●”的個(gè)數(shù)為；故答案為：，．（2）由題知，，解得或6，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以．故正整數(shù)的值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“●”和“〇”個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2024?阜陽(yáng)一模）【觀(guān)察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第4個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為13，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為．（2）第個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）【規(guī)律應(yīng)用】（3）白色方塊的個(gè)數(shù)可能比黑色方塊的個(gè)數(shù)多2024嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）依次求出圖形中黑色方塊及黑、白兩種方塊的總數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為：；，所以第個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為塊，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為塊．當(dāng)時(shí)，，，即第4個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為13塊，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為45塊；故答案為：13，45．（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，第個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為塊，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為塊；故答案為：，．（3）不能．若白色方塊的個(gè)數(shù)比黑色方塊的個(gè)數(shù)多2024，則，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以白色方塊的個(gè)數(shù)不能比黑色方塊的個(gè)數(shù)多2024．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑、白兩種顏色地磚個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．（2024?安徽模擬）【觀(guān)察思考】下列是由空白長(zhǎng)方形和陰影長(zhǎng)方形構(gòu)成的圖案：【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含的式子填空：圖1中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；圖2中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；圖3中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；（1）圖中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；【規(guī)律應(yīng)用】（2）在圖中，是否存在空白長(zhǎng)方形的塊數(shù)恰好比陰影長(zhǎng)方形塊數(shù)少8塊？若存在，通過(guò)計(jì)算求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題中所求出的陰影長(zhǎng)方形及空白長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題知，因?yàn)閳D1中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；圖2中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；圖3中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；，所以圖中有塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有（塊；故答案為：，，．（2）存在．假設(shè)在圖中，存在空白長(zhǎng)方形的塊數(shù)恰好比陰影長(zhǎng)方形塊數(shù)少8塊，則，解得或6，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即圖6中空白長(zhǎng)方形的塊數(shù)恰好比陰影長(zhǎng)方形塊數(shù)少8塊．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形用含的代數(shù)式表示出圖中陰影及空白長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2023?蕪湖三模）觀(guān)察與思考：我們知道，那么結(jié)果等于多少呢？請(qǐng)你仔細(xì)觀(guān)察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問(wèn)題：（1）嘗試：第5個(gè)圖形可以表示的等式是；（2）概括：；（3）拓展應(yīng)用：求的值．【分析】（1）根據(jù)所給的圖形與等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，進(jìn)行總結(jié)即可；（3）利用（2）的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）第5個(gè)圖形可以表示的等式是：，故答案為：；（2），故答案為：；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．14．（2023?青島二模）如圖，個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線(xiàn)上，設(shè)△的面積為，△的面積為，，△的面積為．【規(guī)律探究】：探究一探究二探究三△△，，．，，，．，，，【結(jié)論歸納】（用含的式子表示）【分析】由個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線(xiàn)上，則，，，在一條直線(xiàn)上，可作出直線(xiàn)．求得△的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，求得的值，同理求得的值，繼而求得的值．【解答】解：個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線(xiàn)上，則，，，在一條直線(xiàn)上，作出直線(xiàn)．探究一：，，，△是等邊三角形，且邊長(zhǎng)，△△，，，探究二：同理：，，；；探究三：同理：，，，，結(jié)論歸納：，，．故答案為：；；；；；．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類(lèi)推．按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉41盆；（2）第個(gè)圖案需要花卉盆（用含的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．【分析】（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，，據(jù)此可求解；（2）根據(jù)（1）進(jìn)行總結(jié)即可；（3）可設(shè)第個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，結(jié)合（2）進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第4個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，故答案為：41；由（1）可得：第個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：；故答案為：；（3）設(shè)第個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，由題意得：，解得：，，答：該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)為2601．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．16．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）用同樣大小的兩種不同顏色（白色．灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成長(zhǎng)方形．觀(guān)察思考第（1）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（2）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（3）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（4）個(gè)圖形中有張正方形紙片；以此類(lèi)推規(guī)律總結(jié)（1）第（5）個(gè)圖形中有30張正方形紙片（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：；（用含的代數(shù)式表示）問(wèn)題解決（3）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：．【分析】（1）觀(guān)察圖形的變化即可得第（5）個(gè)圖形中正方形紙片張數(shù)；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)即可猜想：；（3）根據(jù)（2）即可進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）第（1）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（2）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（3）個(gè)圖形中有張正方形紙片；第（4）個(gè)圖形中有張正方形紙片；，第（5）個(gè)圖形中有張正方形紙片張正方形紙片；故答案為：30；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)猜想：；故答案為：；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型圖形的變化類(lèi)，解決本題的關(guān)鍵是觀(guān)察圖形的變化尋找規(guī)律．17．（2024?宣城一模）如圖所示的圖形是由邊長(zhǎng)為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個(gè)數(shù)為8，周長(zhǎng)為18．（1）推測(cè)第4個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為23，周長(zhǎng)為；（2）推測(cè)第個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為，周長(zhǎng)為；（都用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）依次數(shù)出，2，3，4時(shí)正方形的個(gè)數(shù)，算出圖形的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)規(guī)律以此類(lèi)推，可得出第個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)及周長(zhǎng)．【解答】解：（1）時(shí)，正方形有8個(gè)，即，周長(zhǎng)是18，即，當(dāng)時(shí)，正方形有13個(gè)，即，周長(zhǎng)是28，即，當(dāng)時(shí)，正方形有18個(gè)，即，周長(zhǎng)是38，即，當(dāng)時(shí)，正方形有23個(gè)，即，周長(zhǎng)是48，即，故答案為：23，48．（2）由（1）可知，時(shí)，正方形有個(gè)，周長(zhǎng)是，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圖形的變化規(guī)律，從題目中找出正方形的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．（2024?安徽二模）【觀(guān)察思考】如圖，是某同學(xué)在棋盤(pán)上用圍棋擺成的圖案．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第⑤個(gè)圖案中“●”的個(gè)數(shù)為15，“”的個(gè)數(shù)為；（2）第個(gè)圖案中“●”的個(gè)數(shù)為