2025屆新高考數(shù)學(xué)精準沖刺復(fù)習 雙曲線的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)

必備知識·逐點夯實2025屆新高考數(shù)學(xué)精準沖刺復(fù)習雙曲線的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.了解雙曲線的實際背景及雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(zhì).(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)3.了解雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象.【命題說明】考向考法高考對雙曲線的考查形式有兩種:(1)根據(jù)題設(shè)條件求雙曲線的標準方程;(2)通過雙曲線的標準方程研究雙曲線的基本性質(zhì),常以選擇題或填空題形式出現(xiàn).預(yù)測預(yù)計2025年高考在雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)仍會出題,一般在選擇題、填空題中出現(xiàn),雙曲線與其他圓錐曲線交匯考查比較靈活,各種題型都可能涉及.必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.雙曲線的定義(1)一般地,把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個______叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)數(shù)學(xué)表達式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0.定點微點撥

(1)當|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)時,點P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.當|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)時,點P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.(2)若a=c,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若a>c,則軌跡不存在;若a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程圖形性質(zhì)范圍x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R對稱性對稱軸:________

對稱中心:______頂點頂點坐標:A1______,A2_____

頂點坐標:A1______,A2_____

坐標軸原點(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)性質(zhì)漸近線離心率a,b,c的關(guān)系c2=______實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=____;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=____;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長等軸雙曲線a2+b22a2b微思考雙曲線的范圍經(jīng)常在什么情況下使用?提示:在求最值、范圍、是否存在等題目求解時,使用范圍這個性質(zhì).

基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號13241.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)雙曲線的焦點一定位于雙曲線的實軸上.(

)提示:(1)雙曲線的焦點一定在實軸上;√

×√

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核心考點·分類突破

解題技法1.雙曲線定義的主要應(yīng)用(1)判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程.(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.2.與雙曲線兩焦點有關(guān)的問題常利用定義求解.3.如果題設(shè)條件涉及動點到兩定點的距離,求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解.

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解題技法求雙曲線標準方程的方法(1)定義法.根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點位置,求出雙曲線方程,常用的關(guān)系有:①c2=a2+b2;②雙曲線上任意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的絕對值等于2a.(2)待定系數(shù)法.一般步驟.

考點三雙曲線的幾何性質(zhì)考情提示雙曲線的離心率