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文檔簡介
專題10平行四邊形的存在性問題一、知識導航考慮到求證平行四邊形存在,必先了解平行四邊形性質:(1)對應邊平行且相等;(2)對角線互相平分.這是圖形的性質,我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中:(1)對邊平行且相等可轉化為:,可以理解為點B移動到點A,點C移動到點D,移動路徑完全相同.(2)對角線互相平分轉化為:,可以理解為AC的中點也是BD的中點.【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣,但其實可以化為統(tǒng)一:,→.當AC和BD為對角線時,結果可簡記為:(各個點對應的橫縱坐標相加)以上是對于平行四邊形性質的分析,而我們要求證的是平行四邊形存在性問題,此處當有一問:若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”,則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形?反例如下:之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化,故存在反例.雖有反例,但并不影響運用此結論解題,另外,還需注意對對角線的討論:(1)四邊形ABCD是平行四邊形:AC、BD一定是對角線.(2)以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形:對角線不確定需要分類討論.二、典例精析平行四邊形存在性問題通??煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}.三定一動已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標系內確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形.思路1:利用對角線互相平分,分類討論:設D點坐標為(m,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:(1)BC為對角線時,,可得;(2)AC為對角線時,,解得;(3)AB為對角線時,,解得.當然,如果對這個計算過程非常熟悉的話,也不用列方程解,直接列算式即可.比如:,,.(此處特指點的橫縱坐標相加減)兩定兩動已知A(1,1)、B(3,2),點C在x軸上,點D在y軸上,且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形,求C、D坐標.【分析】設C點坐標為(m,0),D點坐標為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).(1)當AB為對角線時,,解得,故C(4,0)、D(0,3);(2)當AC為對角線時,,解得,故C(2,0)、D(0,-1);(3)當AD為對角線時,,解得,故C(-2,0)、D(0,1).【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣,“三定一動”中動點是在平面中,橫縱坐標都不確定,需要用兩個字母表示,這樣的我們姑且稱為“全動點”,而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上,用一個字母即可表示點坐標,稱為“半動點”.從上面例子可以看出,雖然動點數(shù)量不同,但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標.若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為:全動點未知量=半動點未知量×2.找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量,都是根據(jù)圖形決定的,像平行四邊形,只能有2個未知量.究其原因,在于平行四邊形兩大性質:(1)對邊平行且相等;(2)對角線互相平分.但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式:,兩個等式,只能允許最多存在兩個未知數(shù),即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量.由圖形性質可知未知量,由未知量可知動點設計,由動點設計可化解問題.三、中考真題演練1.(2023·山東淄博·中考真題)如圖,一條拋物線經過的三個頂點,其中為坐標原點,點,點在第一象限內,對稱軸是直線,且的面積為18
(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式;(2)求點的坐標;(3)設為線段的中點,為直線上的一個動點,連接,,將沿翻折,點的對應點為.問是否存在點,使得以,,,為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點的坐標;若不存在,請說明理由.2.(2023·廣東廣州·中考真題)已知點在函數(shù)的圖象上.(1)若,求n的值;(2)拋物線與x軸交于兩點M,N(M在N的左邊),與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.①m為何值時,點E到達最高處;②設的外接圓圓心為C,與y軸的另一個交點為F,當時,是否存在四邊形為平行四邊形?若存在,求此時頂點E的坐標;若不存在,請說明理由.3.(2023·山東·中考真題)如圖,直線交軸于點,交軸于點,對稱軸為的拋物線經過兩點,交軸負半軸于點.為拋物線上一動點,點的橫坐標為,過點作軸的平行線交拋物線于另一點,作軸的垂線,垂足為,直線交軸于點.
(1)求拋物線的解析式;(2)若,當為何值時,四邊形是平行四邊形?4.(2023·山東聊城·中考真題)如圖①,拋物線與x軸交于點,,與y軸交于點C,連接AC,BC.點P是x軸上任意一點.(1)求拋物線的表達式;(2)點Q在拋物線上,若以點A,C,P,Q為頂點,AC為一邊的四邊形為平行四邊形時,求點Q的坐標;5.(2023·山東棗莊·中考真題)如圖,拋物線經過兩點,并交x軸于另一點B,點M是拋物線的頂點,直線AM與軸交于點D.
(1)求該拋物線的表達式;(3)若點P是拋物線上一動點,問在對稱軸上是否存在點Q,使得以D,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.6.(2023·甘肅武威·中考真題)如圖1,拋物線與軸交于點,與直線交于點,點在軸上.點從點出發(fā),沿線段方向勻速運動,運動到點時停止.(1)求拋物線的表達式;(2)當時,請在圖1中過點作交拋物線于點,連接,,判斷四邊形的形狀,并說明理由.7.(2023·四川巴中·中考真題)在平面直角坐標系中,拋物線經過點和,其頂點的橫坐標為.
(1)求拋物線的表達式.(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點,將拋物線向左平移個單位長度后,為平移后拋物線上一動點.在()的條件下求得的點,是否能與、、構成平行四邊形?若能構成,求出點坐標;若不能構成,請說明理由.8.(2023·四川南充·中考真題)如圖1,拋物線()與軸交于,兩點,與軸交于點.(1)求拋物線的解析式;(2)
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