江蘇省常熟市2023-2024學年高二數學上學期期中模擬試題（含答案）

/江蘇省常熟市2023-2024學年高二數學上學期期中模擬試題注意事項答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請在答題卷上按照順序在對應的答題區(qū)域內作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設是等差數列的前項和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.632.圓的圓心到直線的距離為（）A.0 B.1 C. D.3.數列中，，，則（）A.77 B.78 C.79 D.804.直線，，若兩條直線平行，則實數（）A. B.1 C.3 D.或35.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.6.數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A. B. C. D.7.已知，，，為其前項和，則（）A. B. C. D.8.已知正方形的邊長為2，點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確是（）A.直線的傾斜角為B.經過點，且在，軸上截距互為相反數的直線方程為C.直線與直線之間距離是D.直線，，，則10.下列命題中，正確的有（）A.數列中，“”是“是公比為2的等比數列”的必要不充分條件B.數列的通項為，若為單調遞增數列，則C.等比數列中，，是方程的兩根，則D.等差數列，的前項和分別為，，若，則11.已知圓與直線，點在直線上運動，直線，分別與圓切于點，，則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時，弦長為C.最短時，弦直線方程D.直線過定點12.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8…，該數列的特點是：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數按原順序構成的數列記為，則（）A. B.C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點，，圓心在直線上的圓的標準方程為______14.點關于直線的對稱點的坐標為__________．15.設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為__________．16.設數列的前項和為，且，數列滿足，其中．則使不等式對任意正整數都成立的最大實數的值為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，點的坐標為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點的坐標；（2）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點，求（為坐標原點）面積的最小值．18.已知等差數列的前項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和．19.已知的三個頂點分別為，，，直線經過點．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程．20.已知等差數列的前項和為，公差，且，，，成等比數列．（1）求數列通項公式；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，①求數列的前項和；②若不等式對一切恒成立，求實數的最大值．21.已知數列的前項和記為，且，數列是公比為的等比數列，它的前項和記為．若，且存在不小于3的正整數，，使得．（1）若，，求值；（2）求證：數列是等差數列；（3）若，是否存在正整數，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．22.已知線段的端點的坐標是，端點的運動軌跡是曲線，線段的中點的軌跡方程是．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為的直線與曲線相交于兩點，（異于原點）直線，的斜率分別為，，且，①證明：直線過定點，并求出點的坐標；②若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．

江蘇省常熟市2023-2024學年高二數學上學期期中模擬試題1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請在答題卷上按照順序在對應的答題區(qū)域內作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設是等差數列的前項和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.63【正確答案】C【分析】根據等差數列的性質得到，然后求和即可.【詳解】，所以，.故選：C.2.圓的圓心到直線的距離為（）A.0 B.1 C. D.【正確答案】D【分析】由點到直線的距離公式計算.【詳解】由題意可得圓心坐標為，圓心到直線的距離為．故選：D．3.數列中，，，則（）A.77 B.78 C.79 D.80【正確答案】D【分析】利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，由，解得.故選：D4.直線，，若兩條直線平行，則實數（）A. B.1 C.3 D.或3【正確答案】C【分析】根據兩直線平行的條件，列式求解即可.【詳解】因為，，由可得且，解得，故選：C.5.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據直線的方程得到直線恒過定點，根據曲線的方程曲線表示半圓，然后結合圖形求的范圍即可.【詳解】直線恒過定點，曲線的方程可整理為，，所以曲線表示以為圓心，半徑為1的半圓，圖象如下所示：，為兩種臨界情況，由題意得，則，令圓心到直線的距離，解得，則，所以當時，直線與曲線有兩個不同的交點.故選：A.6.數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由重心坐標公式可得：重心，根據垂直平分線的性質設出外心，根據，求出外心，再求出斜率，利用點斜式即可求出歐拉線方程.【詳解】由重心坐標公式可得：重心，即.設外心，因為，所以，解得，即.，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.7.已知，，，其前項和，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用遞推關系構造得是一個以3為首項，2為公比的等比數列，再賦值，結合等比數列的前n項和公式求答案.【詳解】由可得，已知，，所以，即是一個以3為首項，2為公比的等比數列，所以，即，，，，，，，故選B.8.已知正方形的邊長為2，點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立直角坐標系，取點，探討滿足條件的點的軌跡，再結合已知，求出兩條線段長度和的最小值作答.【詳解】依題意，以點為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標系，則，如圖，取點，設，當時，，化簡整理得，即點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，而點在以為圓心，1為半徑的圓上，因此，顯然點在圓：外，則，當且僅當為線段與圓的交點時取等號，而，所以的最小值為.故選：D關鍵點睛：建立坐標系，取點并求出滿足條件的點的軌跡是解題的關鍵.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經過點，且在，軸上截距互為相反數的直線方程為C.直線與直線之間的距離是D.直線，，，則【正確答案】ACD【分析】由直線斜率求出傾斜角判斷A；求出過原點的直線方程判斷B；求出平行線間距離判斷C；由兩直線垂直求出參數判斷D.【詳解】對于A，直線的斜率，則其傾斜角為，A正確；對于B，過點，且在，軸上截距互為相反數的直線還有過原點的，其方程為，B錯誤；對于C，直線與直線，即間的距離，C正確；對于D，由，得，且，解得，D正確.故選：ACD10.下列命題中，正確的有（）A.數列中，“”是“是公比為2的等比數列”的必要不充分條件B.數列的通項為，若為單調遞增數列，則C.等比數列中，，是方程的兩根，則D.等差數列，的前項和分別為，，若，則【正確答案】AD【分析】利用必要不充分條件的意義判斷A；利用遞增數列列出不等式求解判斷B；利用等比中項意義求出判斷C；利用等差數列的性質，結合前項和公式計算判斷D.【詳解】對于A，是公比為2的等比數列，則有，反之，當，若，數列不是等比數列，因此“”是“是公比為2的等比數列”的必要不充分條件，A正確；對于B，，為單調遞增數列，則，，即，而數列單調遞減，即，因此，B錯誤；對于C，令等比數列的公比為，依題意，顯然，而，因此，C錯誤；對于D，等差數列，的前n項和為分別為，，所以，D正確.故選：AD11.已知圓與直線，點在直線上運動，直線，分別與圓切于點，，則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時，弦長為C.最短時，弦直線方程為D.直線過定點【正確答案】ACD【分析】A選項，根據面積公式得到當時四邊形的面積最小，然后求面積；B選項，利用等面積的思路求；C選項，根據，得到為以為直徑的圓上的點，然后根據圓的方程求弦所在直線的方程；D選項，設，借助圓的方程得到直線的方程為，然后求定點.【詳解】由題意得四邊形PAMB的面積，，因為，，所以當長度最小時，四邊形的面積最小，最小為點到直線的距離，所以，所以四邊形的面積最小值為，故A正確；由圓的性質得，由A選項可得，最短時，四邊形的面積最小，，所以，故B錯；由題意得，，所以為以為直徑的圓上的點，所以直線為兩圓公共弦所在的直線，，直線：，即，聯(lián)立得，所以最短時，，中點坐標為，此時以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以弦所在直線的方程為，故C正確；設，則，即，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以直線的方程為，將代入得，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：ACD.12.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8…，該數列的特點是：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數按原順序構成的數列記為，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據數列各項可知其是以為周期的周期數列，由此可判斷A，B；根據斐波那契數列的定義，采用累加法可判斷C；由斐波那契數列定義可推導得到，累加即可判斷D.【詳解】斐波那契數列：，則，即數列是以6為周期的周期數列，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，，，，，故C正確；對于D，因為，所以，所以，，，，所以，又，所以，故D正確，故選：BCD.解題關鍵是能夠根據斐波那契數列的定義，確定其數列前后項所滿足的關系式，進而驗證得到新定義的數列為周期數列.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點，，圓心在直線上的圓的標準方程為______【正確答案】【分析】設圓心為，由，列方程解出和，可得圓的標準方程.【詳解】圓心在直線上，設，設圓的半徑為，由圓過點，，有，則，解得，，所以圓的標準方程為.故14.點關于直線的對稱點的坐標為__________．【正確答案】【分析】根據對稱點的求法求得正確答案.【詳解】設對稱點的坐標為，則，解得，所以對稱點的坐標為.故15.設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為__________．【正確答案】【分析】根據直線方程得到，，，根據勾股定理得到，然后根據不等式求最值即可.【詳解】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因為，所以直線與直線垂直，則，所以點的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當且僅當時等號成立.故答案為.16.設數列的前項和為，且，數列滿足，其中．則使不等式對任意正整數都成立的最大實數的值為__________．【正確答案】##0.75【分析】先通過遞推公式求出的通項公式，代入求出的通項公式，最后代入轉化為恒成立問題，研究新數列的單調性即可求出最小值.【詳解】因為，所以，所以，即，兩邊同除可得，又因為時，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數列，即，所以，代入不等式可得，即，令，則，所以，因為，所以，所以恒成立，即為單調遞增數列，所以，所以，即的最大值為，故關鍵點睛：數列的恒成立問題往往需要研究數列的單調性，一般通過作差法來判斷單調性.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，點的坐標為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點的坐標；（2）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點，求（為坐標原點）面積的最小值．【正確答案】（1）（2）4【分析】（1）根據直線的傾斜角為得到直線的方程，然后與邊上的中線所在的直線方程聯(lián)立得到點；（2）設直線的方程為，根據點的坐標得到，然后利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，又的坐標為，所以直線的方程為，即．因為BC邊上的中線經過點A，由與聯(lián)立，解得，，所以點的坐標為．小問2詳解】依題意可設直線的方程為，則．因為，，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為．18.已知等差數列的前項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據等差數列的性質和求和公式計算；（2）利用分組求和方法計算.【小問1詳解】依題意，設數列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．【小問2詳解】因為，所以，所以．19.已知的三個頂點分別為，，，直線經過點．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或．【分析】（1）先判斷三角形的形狀為等腰直角三角形，則圓心為斜邊的中點，半徑為斜邊的一半可以得到圓的方程；（2）先根據弦長求出弦心距，再考慮直線斜率是否存在，分別判斷直線是否符合要求，最后得到兩條直線方程.【小問1詳解】因，，，所以，，所以，所以，又因為，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點，即圓心，半徑，所以的方程為；【小問2詳解】因為圓的半徑為2，當直線截圓的弦長為時，圓心到直線的距離為，①當直線與軸垂直時，此時直線斜率不存在，直線為，與圓心的距離為1，滿足條件；②當直線的斜率存在時，設，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，即，綜上可知，直線的方程為或．20.已知等差數列的前項和為，公差，且，，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，①求數列的前項和；②若不等式對一切恒成立，求實數的最大值．【正確答案】20.；21.①；②．【分析】（1）根據等差數列通項公式與前n項和公式，結合等比中項進行求解；（2）①先計算的通項公式，再用錯位相減法求解；②代入，得到對一切恒成立，構造函數，再求的最小值，即可求得結果.【小問1詳解】依題意得，解得，，即．【小問2詳解】①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式對一切恒成立，即轉化為對一切恒成立，令，則，又，當時，；時，，所以，且，則．所以實數的最大值為．21.已知數列的前項和記為，且，數列是公比為的等比數列，它的前項和記為．若，且存在不小于3的正整數，