微專題08 解三角形圖形類問題（六大題型）（原卷版）

微專題08解三角形圖形類問題【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題【方法技巧與總結】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.【典型例題】題型一：妙用兩次正弦定理【典例7-1】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）記的內角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點在邊上，且，，求.【典例7-2】（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內一點，，，，，求．【變式7-1】（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習）如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長的最大值；(2)若，，求的值．題型二：兩角使用余弦定理【典例8-1】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【典例8-2】（2024·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考開學考試）如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【變式8-1】（2024·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并求解．問題：如圖，在中，角所對的邊分別為是邊上一點，，，若_________，(1)求角A的值；(2)求的值．題型三：張角定理與等面積法【典例9-1】（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知△ABC中，分別為內角的對邊，且.(1)求角的大小；(2)設點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.【典例9-2】（2024·貴州黔東南·凱里一中校考一模）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．【變式9-1】（2024·山西晉中·統(tǒng)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．題型四：角平分線問題【典例10-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？茧A段練習）解答下列問題：(1)中，角所對的邊分別為若，判斷的形狀；(2)在中，角的平分線求的長.【典例10-2】（2024·高一課前預習）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD為的平分線，試求BD．【變式10-1】（2024·全國·高一專題練習）如圖，已知在中，M為BC上一點，，且．(1)若，求的值；(2)若AM為的平分線，且，求的面積．題型五：中線問題【典例11-1】（2024·安徽·高一統(tǒng)考期末）已知在中，.(1)求邊的長；(2)求邊上的中線的長.【典例11-2】（2024·全國·高一專題練習）已知中，為中線，，.(1)若，求邊的長；(2)當面積最大時，求的值.【變式11-1】（2024·全國·高一專題練習）在中，內角的對邊長分別為，若.（1）求角的大小；（2）若，求邊上的中線的最大值.題型六：高問題【典例12-1】（2024·四川廣安·高一四川省岳池中學?？茧A段練習）在中，，，，的平分線交于，為邊上的高，則的面積為．【典例12-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）如圖，是邊上的高，若，則.【變式12-1】（2024·山西運城·高一?？奸_學考試）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長為.【過關測試】1．（2024·高一課時練習）在中，若，且，邊上的高為，求角A，B，C的大小與邊a，b，c的長．2．（2024·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在邊上，為的平分線，．

（1）求；（2）若,,求．3．（2024·江蘇揚州·高一江蘇省邗江中學校考期末）已知的面積為，且且（1）求角的大?。唬?）設為的中點，且，的平分線交于，求線段的長度．4．（2024·福建廈門·高一福建省廈門第二中學?？计谀┰谥?，角所對的邊分別是，.（1）求角的大小；（2）是邊上的中線，若，，求的長.5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，求邊上的中線的長．6．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）在中，，為邊上的中線，記.（1）求證：為直角三角形；（2）若，延長到點，使得，求的面積.7．（2024·遼寧·統(tǒng)考一模）在中，角、、的對邊分別為、、，且，，邊上的中線的長為.（1）求角和角的大??；（2）求的面積．8．（2024·吉林通化·高一梅河口市第五中學校考階段練習）如圖，在，邊上的中線為3，且，．（1）求的值；（2）求邊的長9．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.10．（2024·山西太原·高一山西大附中校考階段練習）如圖，在梯形中，，，.(1)若求的面積；(2)若求11．（2024·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）記的內角的對邊分別為已知，點D是邊AC的中點，.（1）證明：；（2）求：12．（2024·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習）已知的內角的對邊分別為，點在邊上，且滿足．(1)若，證明：；(2)若，求．13．（2024·重慶北碚·高一西南大學附中校考階段練習）記的內角