微專題04 平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題（四大題型）（原卷版）

微專題04平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.【典型例題】題型一：重心定理【例1】（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），設(shè)，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心題型二：內(nèi)心定理【例2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為．【變式2-1】（2024·江蘇南通·高一如皋市第一中學(xué)期末）已知點(diǎn)P為的內(nèi)心，，若，則．【變式2-2】（2024·廣西柳州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則題型三：外心定理【例3】（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則．【變式3-1】（2024·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考期末）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）【變式3-2】（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．題型四：垂心定理【例4】（2024·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的垂心為點(diǎn)，面積為15，且，則；若，則.【變式4-1】（2024·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期末）若為的垂心，，則＝，．【變式4-2】（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）若O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，H，N，Q在△ABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則直線AP一定經(jīng)過(guò)的____心，點(diǎn)H滿足，則H是的____心，點(diǎn)N滿足，則N是的____心，點(diǎn)Q滿足，則Q是的____心，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．外心，內(nèi)心，重心，垂心 B．內(nèi)心，外心，重心，垂心C．內(nèi)心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內(nèi)心二、多選題3．（2024·河南鄭州·高一校聯(lián)考期末）點(diǎn)為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)為△的重心B．若，則點(diǎn)為△的垂心C．若．則點(diǎn)為△的垂心D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)△的外心4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)是邊BC的三等分點(diǎn)C．若，則點(diǎn)是邊的重心D．若，且，則的面積是面積的5．（2024·山東棗莊·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽池州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的重心為，邊的中點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若△ABC為正三角形，則C．若，則D．7．（2024·廣東廣州·高一校考期末）下列命題正確的是（

）A．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則B．在中，若O點(diǎn)滿足，則O點(diǎn)是的重心C．若，把右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為D．在中，若，則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心8．（2024·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點(diǎn)O為的垂心B．若，則點(diǎn)O為的外心C．若，則1D．若且，則點(diǎn)O是的內(nèi)心三、填空題9．（2024·甘肅武威·高一校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若O為的重心，，則.10．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對(duì)角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．11．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則；若，則的值為.12．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎獮樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為的內(nèi)心，則存在實(shí)數(shù)使；②若，則為的外心；③若，則為的內(nèi)心；④若，則與的面積比為．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）13．（2024·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，已知，，，為的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，則的外接圓的面積為，.14．（2024·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的(填序號(hào)）．①內(nèi)心

②垂心

③重心

④外心15．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為．16．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（填“內(nèi)心”“外心”“垂心”或“重心”）.17．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則.18．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，，若，則．19．（2024·湖北武漢·高一期末）中，，，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù)．20．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，則的余弦值為.21．（2024·四川達(dá)州·高一達(dá)州中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為的外心a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若，，則．22．（2024·廣東汕頭·高一金山中學(xué)校考期末）已知為的外心，若，則最小值.23．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┠惩瑢W(xué)在查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，且存在，使得，則．請(qǐng)以此結(jié)論回答：已知在中，，，O是的外心，且，則．24．（2024·遼寧大連·高一育明高中?？计谀┮阎c(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的有①若為的垂心，，則②若為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則的最小值為③若為銳角三角形且外心為，且，則④若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的外心25．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若