第7講 善用內(nèi)力定理（含解析）

兀【例1】已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()B.C.3D.2△PAB,△PBC,△PAC的面積S1,S2,S3滿足,則【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中線,且BD=3,則△ABC的面積S△ABC的最大值是.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a+b=4,(2?cosA)tan=sinA,則△ABC面積的最大值為.【例5】設(shè)a,b,c分別是△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且=6cosC,1.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,P是它們的一個(gè)交點(diǎn),且<F1PF2=60。,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則當(dāng)取最大值時(shí),e1,e2的值分別是()2.已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若asinA+bsinB-csinC=·asinB,則7C=. 3.已知在凸四邊形ABCD中,AB=1,BC=·3,ACTCD,AC=CD,當(dāng)7ABC變化時(shí),對(duì)角線BD的最大值是.4.已知在等腰△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在線段AC上,AD=kAC(k為常數(shù),且0<k<1),BD=l為定長(zhǎng),則△ABC的面積最大值是.5.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若tanB=tanC,則△ABC面積的最大值為.?！纠?】已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()【解析】由正弦定理的得,即,故3sinθ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故【點(diǎn)撥】本題可以從橢圓與雙曲線的定義入手﹐得到橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)之和接下來(lái)圍繞這個(gè)等式求最值﹐方法很多﹐可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判別式法、平面幾何法﹑向量法等不同的方法求解.22mncos60。=m2+n2mn思路一：配方法222mn當(dāng)且僅當(dāng)n=0時(shí)等號(hào)成立,故選A.思路二:基本不等式法也就是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選A.思路三:判別式法2m2c(2c)2=m2+n2—mn得n2-mn+m2-4c2=2m2c關(guān)于n的一元二次方程有解，,也就是,故選A.【點(diǎn)撥】第一類方法：記F1F2=m>0,PF2=n>0,F1F2=別為e1和e2，不妨設(shè)m>n,則PF1+PF2=m+n,PF1-PF2=m-n,則橢圓和雙曲線離心率的倒數(shù)之和易得如圖72,c為定值,只要m最大即可.故當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)等號(hào)成立,故選A.【點(diǎn)撥】本題也可以從橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式入手﹐得到橢圓與雙曲線的離心率的恒等關(guān)系式接下來(lái)圍繞這個(gè)等式求最值﹐方法很多﹐可以采用換元法,均值不等式法、柯西不等式法、線性規(guī)劃法﹑導(dǎo)數(shù)法、齊次式法等不同的方法求解.第二類方法：利用在橢圓中=b2tan上在雙曲線中S△=b2cot上設(shè)橢圓在雙曲線中，b12當(dāng)且僅當(dāng)e2=3e1=3時(shí)等號(hào)成立,故選A.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束條件+=1下，求z=x+y的最大值.+y,,則x2+3y2=4,需求x+y的最大值.設(shè),則f,,所以f處取得最大值,.所以f(t)max=16,即x+y的最大值為4·i3.【賞析】本題以橢圓、友曲線為載體,考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)、正余弦定理等知識(shí)點(diǎn),注重知識(shí)的遷移,條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.第一類方法圍繞離心率的倒數(shù)之和,從粆圓與雙曲線的定義入手,得到橢圓與攵曲線的離心率的倒數(shù)之和接下來(lái)圍繞這個(gè)等式求最值,方法很多,可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判別式法、平面幾何法、向量法等不同的方法求解.解法1:把所求問(wèn)題化成三角函數(shù)問(wèn)題,利用正弦函數(shù)的有界性求最值,注意等號(hào)取得的條件.解法2:利用余弦定理得到4c2=m2+n2-mn后,從配方法、基本不等式法和判別式法三個(gè)角度展開(kāi).其中判別式法應(yīng)注意變量的轉(zhuǎn)換,把等式看成關(guān)于n的方程.【解法1】和【解法2】系常規(guī)解法,上手容易.【解法3】:利用平面幾何知識(shí),數(shù)形結(jié)合,需要較好的初中基礎(chǔ).解法4:基于向量的角度思考,以向量為工具,把所求問(wèn)題通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題,是值得關(guān)注的解法.第二類方法從柇圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式入手,得到橢圓與雙曲線的離心率的恒等關(guān)系式接下來(lái)圍繞這個(gè)等式求最值,方法很多,可以采用換元法、均值不等式法、柯西不等式法、線性規(guī)劃法、導(dǎo)數(shù)法、齊次式法等不同的方法求解,體現(xiàn)了多種思考視角,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想,值得細(xì)細(xì)品味.【解法5】:利用平方和為定值采取三角換元的方法,最后用輔助角公式化成正弦函數(shù)形式,注意取等的條件.【解法6】:巧妙構(gòu)造出均值不等式的形式,思想靈活,切入點(diǎn)難,不易想到.【解法7】:用柯西不等式求解,對(duì)學(xué)生能力要求較高.【解法8】:以線性規(guī)劃為工具,在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.解法9:采取暴力求導(dǎo)的方法,對(duì)學(xué)生要求較高,適合基礎(chǔ)較好的學(xué)生練習(xí)使用.【解析】【解法10】利用齊次化的方法,最后通過(guò)求導(dǎo)的方法求最值. △PAB,△PBC,△PAC的面積S1,S2,S3滿足,則【解析】因?yàn)镈PAC+DBAP=DPAC+DPCA=60°所以所以AP=2BP,CP=2AP=4BP,所以【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合,利用三角形相似的判定定理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，問(wèn)題即可迎刃而解.【解法2】如圖7-4,作點(diǎn)P關(guān)于AB,BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2,P3,則7P1=7P1AP3=7AP3C=7BP2C=120。,12,237PBP=180。712,23=AP3,即x=2y,所以P2P3=2AP1,即z=2x=4y,所以.【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合,作出點(diǎn)P關(guān)于AB,BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2,P3,結(jié)合圖形的特點(diǎn),即可求解.【解法3】如圖7-5，由條件知sinDAPB=sinDAPC=sinDBPC,所以7APB=7APC=7BPC=120。,作△APC的外接圓圓O,延長(zhǎng)BP交圓O于點(diǎn)D.因?yàn)?CAB=7ADC,所以BA是圓O的切線,又因?yàn)?BPC=120。,所以7DPC=60。,7DAC=60。.所以△DAC為等邊三角形,因?yàn)?BCD=7BCA+7ACD=90。,所以DCTBC, 所以BD=7,因?yàn)锽A2=BP.BD,所以BP=.【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合,作出△APC的外接圓,結(jié)合余弦定理即可求解.因?yàn)樗陨螦PB=上APC=上BPC=12再由面積關(guān)系有xy+yz+zx=2,所以x2+y2+z2=3,所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=7,即x+y+z=·,將x=·-(y+z)代入x2+y2+z2=3得7-2(y+z)+y2+z2+2yz+y2+z2=3再將y2+z2+yz=3代入上式可得y+z=所以【點(diǎn)撥】利用面積公式結(jié)合條件得出上APB=上BPC=上CPA=120。,再利用余弦定理列方程組求解.在△ABP中，由正弦定理有所以【點(diǎn)撥】引入角參數(shù),利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理進(jìn)行邊化角求解.【賞析】本題條件涉及三角形邊、角和面積關(guān)系,結(jié)論是求長(zhǎng)度的比值問(wèn)題,有一定的難度.【解法1】和【解法2】通過(guò)平面幾何的知識(shí),回歸三角形的本質(zhì),減少運(yùn)算量,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.【解法3】:通過(guò)構(gòu)造外接圓,再利用相關(guān)的平面幾何知識(shí)和余弦定理進(jìn)行求解.這三種解法都需要掌握必要的幾何知識(shí),對(duì)學(xué)生的平面幾何能力要求比較高,值得品味.解法4:通過(guò)余弦定理建立各末知量的方程關(guān)系,消元求解,需要很好的運(yùn)算功底.3【解法5】通過(guò)正弦定理,將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再利用三角公式進(jìn)行求解,是解有關(guān)三角形題目的常見(jiàn)方法.3,則△ABC的面【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中線,則△ABC的面積S△ABC的最大值是.【解析】所以S△ABC=.2x.2x.sinA【點(diǎn)撥】設(shè)出邊長(zhǎng),巧用余弦定理,把面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即可求出△ABC面積的最大值.所以由海倫公式2【點(diǎn)撥】利用海倫公式、中線性質(zhì)及中線長(zhǎng)公式,結(jié)合均值不等式求解.所以,5S5S,所以S24,S2.【點(diǎn)撥】設(shè)出邊長(zhǎng),利用余弦定理及輔助角公式進(jìn)行等價(jià)變換,即可求出△ABC面積的最大值.【解法4】如圖710,設(shè)AD=DC=x,BC=2y,則AB=2x.22+(2y)2化簡(jiǎn)得2x2=64y2,,【點(diǎn)撥】利用余弦定理引出三邊的關(guān)系,巧用均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),則DE= ,,所以S△ABC=4sinαcosα=2sin2α2.【點(diǎn)撥】利用中線及重心性質(zhì),將S△ABC轉(zhuǎn)化為S△ABC問(wèn)題,以角代邊,利用三角函數(shù)有界性解題.【解法6】如圖7-12,過(guò)點(diǎn)A作AO丄BC,以BC為x軸,AO為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以D,所以 所以所以ab2,【解法7】設(shè)點(diǎn)G為△ABC的重心,因?yàn)锳B=AC,所以BG=CG=【點(diǎn)撥】直接利用重心的性質(zhì)即可求出△ABC面積的最大值.【解法8】取BC的中點(diǎn)H,AH^BC,G為VABC的重心，BG=S△ABC=6S△BGH2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào))【點(diǎn)撥】利用重心的性質(zhì)找到等價(jià)關(guān)系式,再結(jié)合基本不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法9】如圖7—13,G為△ABC的重心,取BC中點(diǎn)E,平方得則BE.EA2,【點(diǎn)撥】利用重心的性質(zhì)及向量的數(shù)量積性質(zhì),結(jié)合均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法10】如圖714,以BD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OD及OD的垂直平分線所在直線分別為x軸,y軸建立坐標(biāo)系.化簡(jiǎn)得2+y2=2,所以【點(diǎn)撥】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A的軌跡方程,即可求出△ABC面積的最大值.【解法11】如圖7-15,因?yàn)锳B=2AD,所以點(diǎn)A的軌跡是以EF為直徑的圓,其中E,F是使的內(nèi)外分點(diǎn),且EF=3.當(dāng)點(diǎn)A到BD的距離為圓的半徑【點(diǎn)撥】確定點(diǎn)A的軌跡圓,利用幾何法求解.【解法12】如圖7-16,過(guò)點(diǎn)A作外角平分線AG,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線AE,交BD于點(diǎn)F,易證B,F,D,G四點(diǎn)共線,即=2,上EAG=90。,所以A點(diǎn)的軌跡是以FG為直徑的圓.【點(diǎn)撥】通過(guò)作輔助線﹐確定點(diǎn)A的軌跡圓,利用幾何法求解.點(diǎn)C的軌跡是以為圓心為半徑的圓,其中直徑端點(diǎn)M,N分別為線段AB的內(nèi)外分點(diǎn)CM,CN分別為上ACB的內(nèi)外角平分解法13】如圖7-18,B0,3,A-a解法13】如圖7-18,B0,3,A-a,-,Ca,,所以【點(diǎn)撥】建系﹐用坐標(biāo)表示所求三角形面積,再結(jié)合中線長(zhǎng),利用二次函數(shù)求最值.【賞析】本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用,根據(jù)條件設(shè)出變量,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值,或構(gòu)造建系轉(zhuǎn)化為均值不等式問(wèn)題,注意取等條件.本題考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力,運(yùn)算量較大,屬于中檔題.如果能利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)則運(yùn)算就簡(jiǎn)化許多,值得推廣.解法1:設(shè)出邊長(zhǎng),巧用余弦定理,把面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,即可求出△ABC面積的最大值.【解法2】:利用周長(zhǎng)的關(guān)系,把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系,巧用海倫公式結(jié)合均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.【解法3】和解法4:設(shè)出邊長(zhǎng),利用余弦定理及輔助角公式進(jìn)行等價(jià)變換，即可求出面積的最大值.【解法5】:面積轉(zhuǎn)化后利用倍角公式轉(zhuǎn)化求值域.解法6:建立平面直角坐標(biāo)系,把問(wèn)題坐標(biāo)化,然后利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再巧用均值不等式,即可求出△ABC面積的最大值.解法7,8、9利用三角形的重心的性質(zhì)進(jìn)行解題,從不同側(cè)面考慮間題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.【解法9】到12利用了阿波羅尼斯圓的具體性質(zhì)解題.解法13:建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)A,C的坐標(biāo),利用模長(zhǎng)關(guān)系,把面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,即可求出△ABC面積的最大值.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a+b=4,(2?cosA)tan,則△ABC面積的最大值為.【解析】又a+c=4,即BC+BA=4>AC,故B點(diǎn)軌跡是棛圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)).以線段AC的中點(diǎn)為原點(diǎn),線段AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),C(1,0),點(diǎn)B的軌跡方程為以A,C為焦點(diǎn)的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)),即【點(diǎn)撥】根據(jù)題干條件進(jìn)行等價(jià)變換,即可得出點(diǎn)B的軌昹方程是橢圓,然后利用橢圓的性質(zhì),即可求出△ABC面積的最大值.因?yàn)?sinA,所以2sinB=sinA+sinC,所以由海倫公式得S△ABC=·p(p-a)(p-b)(p-c)3(33(3-a)(3-c)2 【點(diǎn)撥】根據(jù)題千條件進(jìn)行等價(jià)變換，然后利用海倫公式及均值不等式的常用變形,即可求出△ABC面積的最大值.因?yàn)?sinA，所以2sinB=sinA+sinC,所以b=2.【點(diǎn)撥】根據(jù)題干條件進(jìn)行等價(jià)變換﹐然后利用余弦定理及基本不等式，即可求出△ABC面積的最大值.【賞析】本題給出的三個(gè)解法均由條件(2-cosA)tan=sinA得到b=2,后續(xù)的解法有所不同.【解析】【解法1】:利用BA+BC為定值,得到點(diǎn)B的軌跡為橢圓（去掉長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)),然后利用B為短軸端點(diǎn)時(shí)△ABC面積最大的特點(diǎn),求出最值.解法2:注意到三角形的周長(zhǎng)為定值,利用海倫公式及平均值不等式得解.【解法3】:由余弦定理求出cosB,進(jìn)而有sinB,再利用均值不等式可得ac2=4,得到△ABC面積的最大值.【例5】設(shè)a,b,c分別是△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且=6cosC,【解析】【解法1】+===+2cosC=6cosC→=4cosC【點(diǎn)撥】根據(jù)題干條件進(jìn)行等價(jià)變換,然后利用正弦定理,化邊為角，即可求出代數(shù)式的值.222222ababab222222ababab【點(diǎn)撥】根據(jù)題干條件進(jìn)行等價(jià)變換﹐然后利用余弦定理,即可求出代數(shù)式的值.【解法3】+=6cosC→+=6sinAsinB-6cosAcosB+=6tanAtanB-6tan2B+tan2A+2tan2Atan2B=6tanAtanB(tanAtanB-1)(tanB+tanA)2+2tanAtanB(tanAtanB-1)=6tanAtanB(tanA-tanB)(tanAtanB,(tanB+tanA)tanC=4tanAtanB→tanC(|1(tanAtanB,【點(diǎn)撥】根據(jù)題千條件進(jìn)行等價(jià)變換,化邊為角,然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為