2022-2023學(xué)年四川省宜賓市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年四川省宜賓市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.函數(shù)/(%)=s譏2%的最小正周期為()

7T

A.2B.nC.27rD.4兀

2.某班有男生25人，女生20人，采用分層抽樣的方法從這45名學(xué)生中抽取一個容量為9的

樣本，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

3.已知復(fù)數(shù)z滿足z(C+D=4i,則|z|=()

A.1B.<7C.AT3D.2

4.△ABC中，角4B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知a=「，B=1,A=1,貝必=()

A.2AA7B.2C.CD.7-2

5.△ABC中，~BD=3DC，則而=()

133112

研

B研c

4-4-4-4-3-3-

6.已知函數(shù)f(%)=sin(s+0(3>0,|在<》的部分圖象

如圖所示，貝！Jtcmg=()

A.

B.

C.1

D.V3

3

7.^tana=—0<cr<TT,則sina+cosa=()

4

A11

5-B.3-C.D.

8.在△ABC中，AB=BC=AC=2,將△ABC繞直線4B旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積

為()

A.B.4，37rC.兀D.1643兀

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.在△ABC中，已知B=30。，c=2,且AABC有兩解，則6的取值可以是()

A.1B.V-2C.CD.2

io.已知向量運=(o,i),b=(37-3,2)-則下列結(jié)論正確的是()

A.(a+b)■(a-b)=-28B.\a+b\=6

C.向量1+方與萬的夾角為看D.向量為+B在方上的投影向量為33

11.將函數(shù)=COS7TX的圖象沿X軸向右平移上個單位，再將圖象上所有點的橫坐標擴大為

原來的3倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y=g(?的圖象，則下列判斷正確的是()

A.y=g(x+3為偶函數(shù)

B.y=g(x-》為奇函數(shù)

C.g(x)在(0,3)單調(diào)遞減

D.g(l)+g(2)+g⑶+-??+9(2023)=?

12.在正方體力BCD中，E是側(cè)面上一動點，下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐4-BCE的體積為定值

B.若A\E〃B、C,則&E1平面ABC1

C.若A/1B]E,貝以亦與平面BiCE所成角為?

D.若BiE〃平面貝第亞與4B所成角的正弦最小值為殍

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量為=(1,1),b=(m,-2)，若五//B，則m=.

14.設(shè)zeC,且|z|W2,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點形成的圖形的面積為.

15.數(shù)據(jù)X1，%2,…，馬的方差為2,則數(shù)據(jù)2巧+1,2X2+1，…，2xn+1的方差為____.

16.已知力，B,C為球。的球面上的三個點，且4B1BC,球心。到平面4BC的距離為/攵,

若球。的表面積為12兀，則三棱錐。-4BC體積的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)a為第二象限角，sina=?.

(1)求tcma的值;

?2sin(7t-2a'),,

(2)求病后高暮石的值，

18.(本小題12.0分)

某物業(yè)管理公司為了解小區(qū)住戶對其服務(wù)管理水平的滿意度，從4B兩個小區(qū)住戶中各隨機

抽取50戶參與滿意度測評，根據(jù)住戶的測評分數(shù)，得到4小區(qū)住戶的滿意度評分的頻率分布

直方圖和B小區(qū)住戶的滿意度評分的頻數(shù)分布表.

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)51215108

(1)求a,并估計力小區(qū)住戶的滿意度評分的50%分位數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，計算力小區(qū)住戶的滿意度評分的平均數(shù)；

(3)根據(jù)小區(qū)住戶的滿意度評分，將住戶的滿意度從低到高分為三個等級

滿意度評分低于70分70分到90分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計哪個小區(qū)住戶非常滿意的百分比大？說明理由.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=2Hstnx-sin(1+%)+2cos2K—1.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若Xe[-旌],求/(x)的值域.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—48CD中，底面48CD是正方形，E為PD的中點.

(1)證明：PB〃平面ACE；

(2)已知PC=CD=PD=2,乙4cp=45。，求二面角C-AP-D的余弦值.

21.(本小題12.0分)

△力BC中，角4B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知s譏力s譏(B-C)=sinBs出(C一A).

(1)證明：2c2=a2+b2；

(2)若c=2,SAABC-求Z_C.

22.(本小題12.0分)

如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ACE_L平面4BCD,四邊形力BCD是平行四邊形，N4CB=90°,

EF//BC.

(1)求證：CE1EF；

(2)若AC=BC=2，2，EF=/攵，AE=EC=2,G為OE上一動點，求直線CG與平面力BF所

成角的正弦值的取值范圍.

/卜

B'r

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：sin2x—sin(2x+2TT)=sin2(x+zr),

?1?f(%)=S譏2久滿足f(久)=f(x+7T),

由正切函數(shù)的定義可得，函數(shù)/'(X)=sin2x的最小正周期為兀.

故選：B.

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合正切函數(shù)的定義求得函數(shù)/(尤)=s譏2%的最小正周期.

本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基礎(chǔ)的定義題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)分層抽樣法從45人中抽取容量為9的樣本，應(yīng)抽取的女生人數(shù)為9x,=4.

故選：C.

根據(jù)分層抽樣原理計算即可.

本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：z(V"~^+i)=4i,

則z=V3+t

4/

故團=1內(nèi)|0+—1|=-2=2?

故選：D.

根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由正弦定理有：急=焉

__2

asinB_

b-

sinAtI

2

故選：D.

由正弦定理直接計算即可.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因為前=3萬乙

所以前=|BC,

3

+-

故而=AB+JD=AB4BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求解.

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由圖象可知，。7=善玉=『可得7=兀，

41Zo4

則3=竿=2,

又/（%）過點篇0），

C.-T7-

則sin（2X—+（/））=0,

又i@V，

則0建，

所以tcmg=tan7=

63

故選：B.

根據(jù)圖象可得函數(shù)/（%）的周期，進而求得3,再由/（乃過點（瑞,0）,結(jié)合0的范圍，可得0的值,

進而得解.

本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：因為tcma=也竺=-p0<a<IT,

cosa4

所以s譏a>0,cosa<0,

3

所以sin2a+cos2a=(--coscr)2+cos2a=1,

4

解得cosa=-3或2(舍去),可得sizia=(―x(―=卷，

所;以sina+COSOL=——+—=——.

故選：C.

由己知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

C

【解析】解：AABC中，AB=BC=AC2,人

將△ABC繞直線4B旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐體的組合體，如圖所示：/H\\

因為圓錐底面圓的半徑為C。=2s譏亨=4t向/

所以幾何體的表面積為S=2兀x2=4「兀.X/

C

故選：B.

△ABC繞直線4B旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐體的組合體，由此求出幾何體的表面積.

本題考查了圓錐的側(cè)面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：???△4BC有兩解，

???csinB<b<c,

即2X]<6<2,

■■■Kb<2,

b的取值可以是，2，？.

故選：BC.

由三角形解的個數(shù)知識得到不等式即可.

本題考查三角形解的個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：已知向量3=(0,1),另=(3「,2)，

則五+1=(3，3,3)，a-b=(-3AT3,-1)>

對于選項A,(a+b)-(a-b)=3y/~3x-3x(-1)=-24，即選項A錯誤；

對于選項8,|萬+石|=J(31^)2+32=6,即選項B正確；

對于選項C,cos<W+1,五>=警察=磊=:，即向量五+京^的夾角為點即選項C錯誤;

|a+d||a|0X1zJ

對于選項。，向量1+B在五上的投影向量為等密2=3落即選項。正確.

I可1可

故選：BD.

由平面向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合平面向量的夾角及模的運算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，重點考查了平面向量的夾角及模的運算，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：將函數(shù)/'(久)=COS7TX的圖象沿無軸向右平移六個單位，可得y=cos(兀久-的圖象，

再將圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的3倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)=cos/x-9的

圖象.

由于y=gQ+今=cos號工,顯然它是偶函數(shù)，故A正確.

由于y=g(x-今=cos/x-5)，是非奇非偶函數(shù)，故2錯誤.

在(0,3)上，畀_旌(_1用)，函數(shù)gQ)沒有單調(diào)性，故C錯誤.

27r

由于函數(shù)9(%)的最小正周期為〒=6,

3

、,?")、_兀冗［TC

g(l)+?g(2)+1g(3)4I—+1g(,6)=cos—+Icos—+cos-57-r+.cos-7-7-r+lcos—37r+cos-11-T-T=cos—+

。乙oo乙oo

Ti,57r,n,3TT57r八

cos-+cos—+COS7+cos———cos—=0,

26626

2023=6x337+1,

g(l)+g(2)+g(3)+…+g(2023)=337x0+/(I)=0+cos'=殍，故。正確.

故選：AD.

由題意利用函數(shù)y=4s譏(3X+R)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期

性求得要求式子的值.

本題主要考查函數(shù)y=4s出（3比+"）的圖象變換規(guī)律，利用余弦函數(shù)的周期性求函數(shù)的值，屬于

中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對a選項，的面積一定，

又側(cè)面4DD14〃側(cè)面BCC/i，且E是側(cè)面力DD14上一動點，

E到側(cè)面BCG%的距離為定值，

二三棱錐/-BCE的體積為定值，4選項正確；

對B選項，如圖，若A、E〃B\C,則瓦點在線段4D上，不包含4點,

???&E在上底面的射影為而&G與不垂直，

根據(jù)三垂線定理可知&E與41Q不垂直，

&E與平面&BC1不垂直，B選項錯誤；

對C選項，如圖,若也，當如,

則根據(jù)三垂線定理可知：4Di垂直于4E在側(cè)面力。2A內(nèi)的射影,

而當在側(cè)面4DD1&內(nèi)的射影為4,且AD】1ArD,

??.E點在線段上，

與平面BiCE所成角即為與平面B1CD4所成角，

又DC1平面BCC/i，BGu平面8"出，

BC11.DC,又BC[工B[C,S.DCClBrC=C,

BC]_L平面設(shè)8clnB^C=P,

則4/與平面B1CD4所成角為NBA/,

在RtAB4]P中，易知AiB=2BP,

sinZ-BA-^P=/-BAIP=

力1萬Zo

故A/與平面/GE所成角為也C選項正確;

對。選項，如圖，連接4%,ABr,BE，

則易證平面AZA〃平面BOG，

又E是側(cè)面上一動點，且BiE〃平面BDQ,

??.E在線段也上，又4B〃4/i，

BiE與AB所成角為BiE與&&所成角，即為N&BiE,

又在Rt△&B1E中，tan乙。媼，又&的長度不變,

???當ZiE的長度最小時，即E為/1。與AD1的父點時,

-11

tan乙4/iE最小，乙4/任最小，此時/2-

xV2A1B1,

???tan乙4$iE最小值為，*=

??.sin/A/iE最小值為色=?，；.。選項正確.

故選：ACD.

根據(jù)三棱錐的體積公式，三垂線定理，線面角的概念，面面平行的性質(zhì)，異面直線所成角的概念,

對各個選項分別求解即可.

本題考查三棱錐的體積公式的應(yīng)用，三垂線定理的應(yīng)用，線面角的概念，面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，

異面直線所成角的概念，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

13.【答案】-2

【解析】解：向量五=(1,1),b=a//b，

則1x(-2)=m,解得m=-2.

故答案為：-2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】47r

【解析】解：zee,且|z|W2,復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點形成的圖形為以(0,0)為圓心，2為半徑的圓,

以及內(nèi)部區(qū)域，

故所求面積為兀x22=47r.

故選：47T.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】8

【解析】解：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為21+1,

222

則原數(shù)據(jù)的方差為;[(%!-X)+(X2-X)+...+(Xn-X)]=2,

22

則新數(shù)據(jù)的方差為q[(2%i+1—2%—1)2+(2%2+1—2%—1)+...+(2xn+1—2x—l)]=4x

i———

22

~[(%1-%)2+(%2-%)+...+(%n—%)]=8.

故答案為：8.

根據(jù)方差的計算公式可解.

本題考查方差的計算公式，屬于中檔題.

16.【答案】卓

【解析】解：,??4，B,C為球。的球面上的三個點，且4B18C,

.?.過4,B,C三點的截面小圓的圓心。1為4c中點，

設(shè)4B=zn,BC=n,截面小圓01為的半徑為2r,球。的半徑為R,

則AC=2r,m2+n2=(2r)2,且球心0到平面4BC的距離為。01=yf2,

又球。的表面積為4兀7?2=12兀，；.R=/馬，

.-.r=JR2-(00I)2=V3-2=1,???m2+n2=4,

?，?A4BC的面積SAABC=^MNW[x(m2+n2)=1,(當且僅當m=n=，^取等)，

??.△ABC的面積的最大值為1,又球心。到平面ABC的距離為。。1=/攵，

???三棱錐?！?8C體積的最大值為gxlx<7=^.

故答案為：￡?.

根據(jù)球的表面積公式，重要不等式，三棱錐的體積公式，即可求解.

本題考查球的截面問題，三棱錐的體積的最值的求解，重要不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

17.【答案】解：(I)：a為第二象限角，sina=

「------2V~~5

???cosa=—V1—sinza=------，

,sina1

tcincc=-----=一

cosa2

2sin(7r—2a)2sin2a4sinacosa4tana4

⑵2s(2a+sin2g-a)=2s譏2a+cos2a=2s譏2a+cos2a=Ztan^a+l=一王

【解析】(1)根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

(2)利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡求值得解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由題知：(2a+0.005+0.013+0.030+0,012)X10=1,

解得a=0.020,

設(shè)力小區(qū)住戶的滿意度評分的50%分位數(shù)為6，

則0.05+0.13+0.2+0.03X(m-70)=0.5,解得m=74,

2小區(qū)住戶的滿意度評分的50%分位數(shù)為74.

(2)4小區(qū)住戶的滿意度平均數(shù)為

%=45X0,05+55X0.13+65X0.2+75X0.3+85x0.2+95x0.12=73.3.

(3)4小區(qū)住戶評分不低于9(0分)的頻率為12%；

8小區(qū)住戶評分不低于9(0分)的頻數(shù)為8,頻率為。=16%,

所以估計B小區(qū)住戶非常滿意的百分比大.

【解析】(1)由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，求出a,進而求出50%分位數(shù)；

(2)由頻率分布直方圖求平均值；

(3)由頻率分布直方圖求頻率.

本小題考查運用樣本對總體進行估計，查由頻率分布直方圖求頻率、平均值，考查頻率公式，頻

數(shù)，百分位數(shù)，同時也考查數(shù)據(jù)分析處理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

19.【答案】解：⑴由題意可得/(%)=2y/~3sinxcosx+cos2x=y/~3sin2x+cos2x=2sin(2x+》

令一?+2/CTT<2x+，工1+2/CTT,kEZf

所以一g+knW%Wg+kn,

3o

所以/'(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為［*+Mr*+時，k€Z；

⑵因為一花工恭，

所以*W2x+牌今

一？Wsin(2x+^)<1>

所以</(無)<2,

所以f(x)在％￡［-屋］上的值域為［一/看,2］.

【解析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(2)由％的取值范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可求得值域.

本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：連接4G，記4CnBD=。，連接E。,

因為4BCD是正方形，

所以。為的中點.

又因為E為2P的中點，

所以PB〃OE,

又因為OEu平面力EC,PBC平面4EC,

所以PB〃平面4CE.

(2)在AAPC中，PC=2,AC=NHCP=45。，

所以P4=2,

所以P4=PB=2,宗

取P力中點M,連接OM,DM,

所以DM1PA且DM=C，/D

因為”2cP2=AC2,sr

+DBC

所以PC1PA,

又因為0,M分別為AC,P4的中點，

所以。M〃PC且。M=1,

所以。M1PA.

所以二面角C-AP一。的平面角為NOMD,

在AOMD中，OM=1,MD=V_3>OD=2,

所以二面角C一4P-D的余弦值為

【解析】(1)連接4C1，記acnBO=。，連接E。，根據(jù)題意可得。為B0的中點，E為4P的中點，

由中位線定理可得PB〃。m再由線面平行的判定定理，即可得出答案.

(2)取P4中點M,連接OM,DM,則。Ml24且DM=門，由力P?+CP2=人。2,貝曲。j.pa,

又0,M分別為AC,PA的中點，進而可得。M〃PC且。M=1,推出二面角C—AP-D的平面角為

Z-OMD,進而可得答案.

本小題考查線面平行判定，二面角定義及判斷等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理、空間想象能力，考查

數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為sinIsin(B=C)=sinBs譏(C-4),

即sin(B+C)sin(B—C)=sin(C+4)sin(C-A),

貝!J(si7iBcosC+cosBsinC^sinBcosC—cosBsinC)=(sinCcosA+cosCsinA)(sinCcosA—

cosCsinA),

???sin28cos2。—cos2Bsin2C=sinzCcos2A—cos2CsinzA,

???sin2B(l—sin2C)—(1—sin2B)sin2C=sin2c(1—sin2A)—(1—sin2C)sin27l,

???sin2B—sin2Bsin2C—sin2c+sin2Bsin2C=sin2c—sin2Csin2^4—sin27l+sin2Csin2A,

則siMB—sin2c=sin2c—sin2i4,

所以2si?12c=sin2A+sin2B,

由正弦定理可得：2c2=a2+b2；

(2)因為2c2=小+廬，。=2,

所以M+萬2=g,

又因為=小+川_2abcosC,

得abcosC=2,①

又因為S—BC=3absinC=V_3,

則absinC=2V"3,②

由您得tcmC=V_3,

又因為0VC<7T,所以

【解析】(1)將條件式用三角恒等變換知識化簡后由正弦定理即可證明；

(2)由余弦定理和條件可得abcosC=2,再由三角形的面積公式得abs譏C=27"豆，兩式相除可求

得