初中數(shù)學(xué)-：初中數(shù)學(xué)幾何模型

最全：初中數(shù)學(xué)幾何模型

幾何是初中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，一般會(huì)在壓軸題中進(jìn)行考察，而掌握幾何模

型能夠?yàn)榭荚嚬?jié)甯不少時(shí)間，小編整理了常用的各大模型，一定要認(rèn)真掌握限~

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對(duì)稱：角平分線或垂直或半角

旃轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱全等模型

角分線模型

過角分啖某點(diǎn)作■線

往角西邊作"爆ttmAiattwtsn

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)林全等。兩邊進(jìn)行邊

或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。

對(duì)稱半角模型

說明：上圖依收是45。、30\225、15。及有一個(gè)角是30。直角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折

成正方形或者等腹直角三角形、等邊三角形、對(duì)林全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

自窿轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旃轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長中直相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過窿轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二

分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60僮旋60度，造等效三角形；遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旃頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等；遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱

共旋轉(zhuǎn)模型

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過"8"字模

型可以證明。

模型變形

說明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形

與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公

共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):

說明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂

點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要

證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和巳知的等腰直角三角形

（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明窿轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三

角形從而得證。

中點(diǎn)模型

倍長中娛連中點(diǎn)內(nèi)造中位過倍K-邊W8中ffittttasttA-梅財(cái)邊中桂

幾何最值模型

對(duì)稱最值（兩點(diǎn)間線段最細(xì)）

線段和差模型

”■■WMWM

*卡

士.'X：

■1M2■31

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和批短模型同側(cè)、異惻兩線段之舉最小模型

軸對(duì)稱模型

L"=^=7&>

“〈x1

\

\丁、，，，

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

最短模型最小模型最小模型

對(duì)稱最值（點(diǎn)到直線垂線段最細(xì)）

，1

?1

°rG'''/'1\'''

說明：通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線班陶。

旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）%q國

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段

的差為最小值。

剪拼模型

三角形—四邊形

四邊形一四辿形

國U

說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

柜形一正方形

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形T正方形

E

面積等分

E

B

B

旋轉(zhuǎn)相似模型

說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旃轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形窿轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”

字的規(guī)律。

D

DC

相似模型

說明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相

似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。

（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外,相似、射

影定理、相交弦定理（可以推廣到圓累定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等

比值、等乘積進(jìn)行代換,進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平

行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

A模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

AMft：CD!/AB,將&OCD放轉(zhuǎn)至右圖位時(shí)

A結(jié)論：

a右圖中①4。＜加1AoMeAO"AOBD；

a②延長XC交BD于點(diǎn)E,必有“EC?乙BOA

<2)特殊1￡況

a條件：CD3AB,人“8?90°,將A"C。族轉(zhuǎn)至右圖

位貿(mào)

a結(jié)論：右圖中①AOC￡>sAO/8=ACMCAOBD：②

延長AC交BD于點(diǎn)E,史有乙BEC.乙BO4,

BDODOB.“八

----■=—■=tsnZ.OCD

Q)ACOCOA3⑥BDLAC§

?ii接皿BC,行m+3C'⑥s‘""（對(duì)角姐相垂直的四糜）

⑶全等型任意角，

條件：①乙＜O8,2a/DC￡.180-2a.?CD-CE.

結(jié)論：①0（秘乙〃陽3?OD+OE-2CK'?cosa,

?§皿￡-OC2?sina?cosa

當(dāng)乙DCE的一邊交AO的延長線于點(diǎn)D時(shí)（如右上圖）：

原結(jié)論變成：①

②___________________

③________________

可委考上述第②種方法進(jìn)行證明。請(qǐng)里考初始條件徽化對(duì)模型儺晌.

A對(duì)角互;檄型總結(jié)：

①常見初始條件：四邊形對(duì)角互撲；注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圖及直甬三角形斜邊中線;

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩,怖見睇觸慨作法,

Q注意0c平分408時(shí)，乙CDE-LCED~LCOA?ZTO相等如何推導(dǎo)？

A模型四：角含半角模型90。

（1）角含半角模型90°-1

*條件：①正方形ABCD,②LEAF-45",

A結(jié)論：①EF?DF+BE,②\CEF的周長為正方形48。畦的一半,

也可以這樣：

*條件：①正方形ABCD}②EF-DF+BE

a結(jié)論：㈤尸.45。

<2）角含半角模型90--2

A條件：①正方形.4BCD；②LEAF-45°,

?結(jié)論：EF-DF-BE

>$?Bj線如下圖所示：

a刷：①RTM8C,②乙以￡-45\\

?結(jié)論：BD'+CE：=DE，BDECHDE

若旗節(jié)糊M8C外部時(shí)，結(jié)論8加+a=仍然成立.

^T\

□BEcDB￡C

<4>角合半角饃型90°變形

溫喟：也M.??（方》不唯一>

V儼、：.NC4E

V“m?"CE?4S?：.AADHSMCE

a條件：①正方形&BCD.②ZE4F-45°.

a結(jié)論：/為等腹直甬三角形。

模型五：倍長中線類模型

T

a條件：賺形*88,②,③。尸?￡尸，/

a結(jié)論：AFLCFy~

模型提?。汉米云叫芯€4°〃8￡，②帝亍線間線段有中點(diǎn)?EF.

可以構(gòu)造“8”字全等MDF?UJ1EF.

<2）倍長中熨源里-2

A條件：碼行四邊形^BCD；@BC-2.4B；③兒”?DM,@CE1AD.

A結(jié)論:乙EMD?3乙MEA

ttMA：有+H.4B//CD.W*.#.AM~DM

處長EV.構(gòu)迨\,IME\1>MF.>14*CM構(gòu)

迨年樓\E\K,\SKF

通，t構(gòu)迨8字殳■?饃歿收北及色工美樂.角的大

小#化

A模型六：相似三角形360。旋轉(zhuǎn)模型

《D相咋角形（等腰直角）360,旋轉(zhuǎn)模型悟長中線法UMtt：色長/?'網(wǎng)66.VLFG^DF.連

a條件：①&〃）￡、A4灰均

為等腰直角三角形J②

EF-CF

a結(jié)論：①DF?BF,②

DF1BF

<1>佛三ft形《等JRS角〉則°端模料M嚏法

a條件：①AS陽A4儀.均為等腰直角三角形，②）'?C片

a結(jié)論：①DF?BF5②DFLBF

”的城：構(gòu)遺尋腰JL用A4￡G?A.4//C

橇曲R:籽1訃馬HI“化到（<；與EH

M財(cái)愎：篁長區(qū)4,使.<；.6,通長

?新：①AOABsAODC〕②20/8,LODC■90°C7>XAHftDH=Cl),#會(huì)MMiB.

③BE-CE

OC'H4速諛"幄曼.崢比J￡與D￡HCG

a牯論：①4E-Z)￡)@LAED-2LABO

AMi.0支在崢化NJ￡Z)

■財(cái)根：城長DE￡M.傀l他?&,葉”

a條件：①AOABsAODC、②LOAB'LOCK',90°.③沒的幽卜上件”化為1叫AJA〃>\〃*J.It

BE-CEQ

勺04?轎ZAfA0HB（,施倏”化為溫明

a結(jié)論：①AE■DE5②乙4ED,2LABO

XJZM8A.〃九位用四邊也比11/用'

此處*^A城明N4A”,N“N）

A模型七：最短路程模型

總”：以上B圖為常義的件**獻(xiàn)/?<1同々.

*后.??化到：??馬晟之㈣，自a“植”M/

HA：①助恨上:04*.忤點(diǎn)圖。

（2）最妞路程模型二（點(diǎn)到幽淡1）

,4］）pHMH：#np<tex*H*Aj?'.#it

IP（zp-zx?.itA.Wf?

正戰(zhàn)段破好o0A/n\m+p.s\m+/v2\iH（.CM）

A條件：①oc平分乙"叩，②“為（小上一定點(diǎn),③P為0c上一動(dòng)點(diǎn),@。為08上一動(dòng)點(diǎn),

A求：，“"+尸。最小時(shí)，凡0的位舞？

⑸耐髓程陋二（融信峰石ZZ-

>條件：404）津（-20）?0."）4'A

1

PB+§PA4r‘d'：

A同S：”為何值時(shí)，5最小

*求解方法：①x軸上取C（2.0）,使5，②過8作8",??，交）’軸于點(diǎn)、*即為所求,

tanLEBO-tanLOAC--..

③2,即￡（<M）.

A

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A模型八：二倍角模型

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八,法之一.但外不乏《一件▲

一、中點(diǎn)模型

【模型1】倍長

1、倍長中纜；2、倍長類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長相交

A

【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形6￡尸中，乙46%60°,G是，下的中點(diǎn)，連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在6c邊上時(shí)，若/8=10,BF=4,求GF的長；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在46的延長線上時(shí)，線段GC、GF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫

出你的睛想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在C6的延長線上時(shí)，(2)阿中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并

給予證明.

二、角平分線模型

【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2】角平分線jg平行構(gòu)造等腰三角形

［例】如圖，平行四邊形48co中,平分乙外，交6c邊于E,EF'AE及CZ7邊于F,

交4。邊于〃，延長班到點(diǎn)G,便AG=CF,連接外：若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF

的長為—.

三、手拉手模型

【雉】0A=OB,0C=OD,ZAOB=NCOD

【結(jié)論】AOAC=AOBD；NAEB=NOAB=/COD（即都是睜角）;OE平分ZAED;

【例】如圖，正方形46C。的邊長為6,點(diǎn)。是對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CO上，

且DE=2CE,過點(diǎn)。作C尸，6F,垂足為尸，連接OF,則。尸的長為—.

W、鄰邊相等的對(duì)角互補(bǔ)模型

【例1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，.4B=.4。，N&4D+ZBCD=ZABC+ZADC=180'

【結(jié)論】AC^ZBCD

【醺2】

【條件】如圖，四邊形ABCD中,.4B=.4D,ZBAD=ZBCD=90'

【結(jié)論】①N/1C5=N/1CD=45'?BC+CD=42AC

【例】如圖，矩形ABCD中，46=6,AD=5,G為CO中點(diǎn)，DE=DG,尸G1BE于F,則

。尸為一.

【例】如圖，正方形ABCD的邊長為3,延長C3至點(diǎn)M,使5*1,連接AM,過點(diǎn)B作

BN工AM,垂足為N,。是對(duì)角線NC、的交點(diǎn)，連接OV,則ON的長為.

【例1】如圖，正方形488的面積為64,JCE是等邊三角形，尸是CE的中點(diǎn)，AE、

B尸交于點(diǎn)G,則DG的長為.

DC

E

B

五、半角模型

【睡1】

【例2】

【條件】在正方形438中，已知E、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足NE4尸=45。，AE、

乂尸分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、M

【結(jié)論】

(I)BE+DF=EF;⑵SUBT-SU沖SUEF;(3)AH=AB)(4)C，ECF=2AB;

(5)8出1>田3;

(6)&4NM^ADNFs4BE詆3AM：

(由/。：AH=AO:.45=1:應(yīng)可得到AXNV和ME尸的相似比為1:應(yīng))；

(7)SA4V￡\^=S工彳.WE;(8)AJO.iaA")尸'&4ON^>&ABE;

(9)U￡V為等腰直角三角形,4EJ5。；&4FM為等腰直角三角形，乙4尸必=45。

(1.N￡ZFM50;2/E:AV=1:垃為

(107、尸、D四點(diǎn)共圓，aB、E、N四點(diǎn)共圓，M、M尸、C、E五點(diǎn)共圓.

【睡2翹】

【條件】在正方形ABCD中，已知E、尸分別是邊CB、DC延長線上的點(diǎn)，且滿足NE4F=45。

［結(jié)論】BE+EF=DF

【睡2翹】

【條件】在正方形ABCD中，已知E、尸分別是邊CB、DC延長線上的點(diǎn)，且滿足/瓦4戶35。

【結(jié)論】DF+EF=BE

【例】如圖，&