高中數(shù)學(xué)8.2.1隨機(jī)變量及其分布列同步練習(xí)教師版蘇教版選擇性必修第二冊(cè)

8.2.1隨機(jī)變量及其分布列一、單選題1．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．隨機(jī)事務(wù)個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)B．隨機(jī)變量與區(qū)間一一對(duì)應(yīng)C．隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)D．隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)【答案】C【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的定義干脆得到答案.【解析】依據(jù)隨機(jī)變量的定義知：隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，C正確；隨機(jī)事務(wù)個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量不肯定是一一對(duì)應(yīng)的，A錯(cuò)誤；離散型隨機(jī)變量與區(qū)間不是一一對(duì)應(yīng)的，B錯(cuò)誤；連續(xù)型隨機(jī)變量與自然數(shù)不是一一對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：C.2．袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）．A．至少取到1個(gè)白球 B．取到白球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)白球 D．取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的定義進(jìn)行求解.【解析】依據(jù)隨機(jī)變量的定義，選項(xiàng)B是隨機(jī)變量，其可能取值為0,1,2,其他三個(gè)選項(xiàng)均不能作為隨機(jī)變量.故選：B3．袋中裝有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ全部可能取值的個(gè)數(shù)是（

）A．25 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】依據(jù)有放回抽樣，將號(hào)碼之和可能的狀況列舉求解.【解析】由題意得：兩個(gè)球的號(hào)碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個(gè).故選：D4．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出的全部可能的狀況，即得.【解析】因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種狀況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．5．設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)分布列的學(xué)問列方程來求得.【解析】依題意，，解得（大于，舍去）或.故選：C6．袋中有大小相同的6個(gè)黑球，5個(gè)白球，從袋中每次隨意取出1個(gè)球且不放回，直到取出的球是白球，記所須要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用隨機(jī)變量的定義求解.【解析】因?yàn)槿〉桨浊驎r(shí)停止，所以最少取球次數(shù)為1，即第一次就取到了白球；最多次數(shù)是7次，即把全部的黑球取完之后才取到白球．所以取球次數(shù)可以是1，2，3，???，7．故選：B．7．隨機(jī)變量ξ的全部可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，則a的值為（

）A． B． C．110 D．55【答案】B【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的概率和為1,列出方程即可求解【解析】∵隨機(jī)變量ξ的全部可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故選：B.8．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（

）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]【答案】B【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和分布列的性質(zhì)可求解.【解析】解：由題意得：設(shè)隨機(jī)變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，由，解得.所以公差的取值范圍是.故選：B9．某一隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)和已知條件得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，由此可求得的值.【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)以及已知條件得，解得，因此，.故選：B.10．若實(shí)數(shù)x∈R，記隨機(jī)變量ξ＝，則不等式≥1的解集所對(duì)應(yīng)的ξ的值為（

）A．1 B．0C．－1 D．1或0【答案】A【分析】先解不等式≥1，再依據(jù)隨機(jī)變量ξ求解.【解析】不等式≥1，可化為不等式，即，解得0<x≤1.而當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，ξ＝1.故選：A.11．已知集合，，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】列舉法確定分別從集合A、B中取3個(gè)元素后對(duì)應(yīng)的最小、最大元素及全部組合，再由題設(shè)知的取值為，利用古典概型的概率求法求即可.【解析】依據(jù)題意，從集合中任取3個(gè)不同的元素有4種：，其中最小的元素取值分別為，從集合中任取3個(gè)不同的元素有10種：，其中最大的元素的取值分別為，由，隨機(jī)變量的取值為，故對(duì)應(yīng)，∴，故選：C.12．信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為1，2，…，n，且，定義X的信息熵．命題1：若，則隨著n的增大而增大；命題2：若，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為1，2，…，m，且，則．則以下結(jié)論正確的是（

）A．命題1正確，命題2錯(cuò)誤 B．命題1錯(cuò)誤，命題2正確C．兩個(gè)命題都錯(cuò)誤 D．兩個(gè)命題都正確【答案】A【分析】依據(jù)信息熵公式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷命題1；由已知公式得到關(guān)于的綻開式，應(yīng)用作差法及對(duì)數(shù)的性質(zhì)推斷的大小推斷命題2.【解析】若，則，故隨著n的增大而增大，命題1正確；，則，而，，，所以，故，命題2錯(cuò)誤；故選：A二、多選題13．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式不正確的是（

）A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0【答案】ABD【分析】利用分布列和概率的性質(zhì)求出概率，逐一驗(yàn)證即可.【解析】P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A錯(cuò)誤；P(ξ＞1)＝＋＝，B錯(cuò)誤；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正確；P(ξ＜0.5)＝＋＝，D錯(cuò)誤．故選：ABD．14．已知隨機(jī)變量的分布列為：若，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出的分布列，對(duì)各選項(xiàng)依次推斷即可.【解析】由隨機(jī)變量的分布列可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，，的分布列為：，，，，用表格表示為∴對(duì)于A，時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，時(shí)，，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.15．一盒中有7個(gè)乒乓球，其中5個(gè)未運(yùn)用過，2個(gè)已運(yùn)用過．現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已運(yùn)用過的球的個(gè)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．X的全部可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為 D．X等于4的概率為【答案】AC【分析】求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對(duì)應(yīng)的概率，即得.【解析】記未運(yùn)用過的乒乓球?yàn)镸，已運(yùn)用過的為N，任取3個(gè)球的全部可能是：1個(gè)M球和2個(gè)N球，2個(gè)M球和1個(gè)N球，3個(gè)M球．M球運(yùn)用后成為N球，故X的全部可能取值是3，4，5，所以選項(xiàng)A正確；又，，，所以X最有可能的取值是4，所以選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．故選：AC．16．乒乓球（tabletennis），被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，是推動(dòng)外交的體育項(xiàng)目，被譽(yù)為“小球推動(dòng)大球”．某次競(jìng)賽采納五局三勝制，當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局競(jìng)賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而競(jìng)賽結(jié)束．每局競(jìng)賽皆須分出輸贏，且每局競(jìng)賽的輸贏不受之前已賽結(jié)果影響．假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，下列說法正確的是（

）A．三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為 B．的常數(shù)項(xiàng)為3C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，先計(jì)算出可能取值的概率，即可推斷A選項(xiàng)；進(jìn)而求出期望值，即可推斷BCD選項(xiàng).【解析】設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，則，，，因此三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為，則A正確；則，由，則常數(shù)項(xiàng)為3，則B正確；由，則D正確；由，，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，且越極端，越可能快結(jié)束，有，得，則C不正確.故選：ABD.三、填空題17．已知隨機(jī)變量，若，則p＝_____．【答案】##0.25【分析】由可得，進(jìn)而可求解答案.【解析】已知X～B（2，p），則，∴，解得或（因?yàn)?＜p＜1，故舍去）．故答案為：．18．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，（，2，3），則a的值為___________.【答案】##【分析】利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，列式計(jì)算作答.【解析】依題意，，解得，所以a的值為.故答案為：19．設(shè)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，其分布列為：X－101P則實(shí)數(shù)q的值為______.【答案】##【分析】依據(jù)概率和為1，結(jié)合概率的范圍列式求解即可.【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知，故，因?yàn)?，解?故答案為：20．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則______．【答案】【分析】由概率之和為1以及數(shù)列求和公式即可求解.【解析】由題意知：隨機(jī)變量的全部可能取值的概率和為1，即，則，由等比數(shù)列的求和公式，得，所以，得.故答案為：四、解答題21．一個(gè)袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1、2、3、4、5、6，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼．(1)求的分布；(2)求的取值不小于4的概率．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）隨機(jī)變量的可能取值為3、4、5、6，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率得到分布列.（2），計(jì)算得到答案.【解析】（1）隨機(jī)變量的可能取值為3、4、5、6，且，，，，所以的分布為：（2）的取值不小于4的概率為：．22．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布，．(1)求常數(shù)的值；(2)求和的值．【答案】(1)(2)；【分析】（1）（2）由分布列的性質(zhì)求解即可；【解析】（1）解：由，得．（2）解：由題知：．．23．某機(jī)構(gòu)對(duì)于某地區(qū)的10000戶家庭的年可支配收入的調(diào)查中，獲得如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：60%的家庭將年可支配收入用來購買銀行結(jié)構(gòu)性存款，20%的家庭將年可支配收入存入銀行，其余家庭將年可支配收入用于風(fēng)險(xiǎn)投資.已知銀行結(jié)構(gòu)性存款獲得的年收益率為5%的概率為95%，獲得的年收益率為-2%的概率為5%，存入銀行的年收益率為2%，風(fēng)險(xiǎn)投資的平均年收益率為3%.把頻率當(dāng)作概率，假設(shè)該地區(qū)的每戶家庭的年可支配收入均為10萬元.(1)求這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率；(2)每戶家庭獲得的年收益為X萬元，求X的分布列.【答案】(1)80%(2)分布列見解析【分析】（1）利用對(duì)立事務(wù)的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.（2）計(jì)算出隨機(jī)變量X的可能取值，求出每個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值，列出隨機(jī)變量X的分布列.（1）由已知得，這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率為.（2）由已知得，X的可能取值為，，，，，，，，所以X的分布列為X0.20.30.5P0.030.20.20.5724．近日，某調(diào)查公司在一家大型超市進(jìn)行了顧客運(yùn)用移動(dòng)支付狀況的調(diào)查．調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機(jī)抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù)：年齡人數(shù)類型運(yùn)用移動(dòng)支付45402515不運(yùn)用移動(dòng)支付0102045(1)現(xiàn)從這200人中隨機(jī)依次抽取2人，已知第1次抽到的人運(yùn)用移動(dòng)支付的條件下，求第2次抽到的人不運(yùn)用移動(dòng)支付的概率；(2)在隨機(jī)抽取的200人中對(duì)運(yùn)用移動(dòng)支付的人群采納分層隨機(jī)抽樣的方式抽取25人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，再從這25人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參加獎(jiǎng)，設(shè)這3人中年齡在之間的人數(shù)為X，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）利用條件概率即可得解；（2）寫出隨機(jī)變量的全部取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再寫出分布列即可.（1）解：記事務(wù)A：第1次抽到的人運(yùn)用移動(dòng)支付，事務(wù)B：第2次抽到的人不運(yùn)用移動(dòng)支付，所以；（2）解：在年齡段中抽取的人數(shù)為，則X的可能取值為0，1，2，3，且，，，，則X的分布列為012325．近日，某調(diào)查公司在一家大型超市進(jìn)行了顧客運(yùn)用移動(dòng)支付狀況的調(diào)查．調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機(jī)抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù)：年齡人數(shù)類型運(yùn)用移動(dòng)支付45402515不運(yùn)用移動(dòng)支付0102045(1)現(xiàn)從這200人中隨機(jī)依次抽取2人，已知第1次抽到的人運(yùn)用移動(dòng)支付的條件下，求第2次抽到的人不運(yùn)用移動(dòng)支付的概率；(2)在隨機(jī)抽取的200人中對(duì)運(yùn)用移動(dòng)支付的人群采納分層隨機(jī)抽樣的方式抽取25人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，再從這25人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參加獎(jiǎng)，設(shè)這3人中年齡在之間的人數(shù)為X，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）利用條件概率即可得解；（2）寫出隨機(jī)變量的全部取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再寫出分布列即可.（1）解：記事務(wù)A：第1次抽到的人運(yùn)用移動(dòng)支付，事務(wù)B：第2次抽到的人不運(yùn)用移動(dòng)支付，所以；（2）解：在年齡段中抽取的人數(shù)為，則X的可能取值為0，1，2，3，且，，，，則X的分布列為012326．某高校對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了一次“身體素養(yǎng)測(cè)試”，包括鉛球、50米跑、立定跳遠(yuǎn)三項(xiàng)．現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示優(yōu)良，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定身體素養(yǎng)等級(jí)，若，則為一級(jí)；若，則為二級(jí)；若，則為三級(jí)．為了了解該校學(xué)生身體素養(yǎng)的狀況，隨機(jī)抽取了10人的測(cè)試成果，得到如下表所示結(jié)果：編號(hào)編號(hào)（1）在這10人中任取2人，求抽取的2人指標(biāo)z