廣東省廣州市越秀區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2022學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研測試高一年級數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.用2B鉛筆將考生號、座位號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的實部是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的實部是.故選：B2.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將平方結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】因為，，，所以，即，即，即，解得.故選：A3.在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由誘導(dǎo)公式得到，利用兩角和的正弦公式計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：C4.為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點（）A.向右平行移動個單位長度 B.向左平行移動個單位長度C.向右平行移動個單位長度 D.向左平行移動個單位長度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可求解.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選：A5.從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A=“抽到的兩人都是男生”，事件B=“抽到1名男生與1名女生”，則（）A.在有放回簡單隨機(jī)抽樣方式下，B.在不放回簡單隨機(jī)抽樣方式下，C.在按性別等比例分層抽樣方式下，D.在按性別等比例分層抽樣方式下，【答案】D【解析】【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】記3名男生為，3名女生為.對于選項A，有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36個樣本點，事件有9個樣本點，所以，故選項A錯誤；對于選項B，不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為123abc1×(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)×(23)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)×(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)×(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)×(b,c)c(c1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)×共30個樣本點，事件有18個樣本點，所以，故選項B錯誤；對于選項C，在按性別等比例分層抽樣方式下，從男生中抽取一人，從女生中抽取一人，所以，故選項C錯誤；對于選項D，在按性別等比例分層抽樣方式下，先從男生中抽取一人，再從女生中抽取一人，其樣本空間為，共有9個樣本點，事件，所以，故選項D正確.故選：D.6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）A.中位數(shù)為，眾數(shù)為 B.平均數(shù)為，中位數(shù)為C.中位數(shù)為，極差為 D.平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】C【解析】【分析】利用特例說明A、B，利用標(biāo)準(zhǔn)差公式判斷D，根據(jù)極差說明C中最大數(shù)不超過，即可判斷.【詳解】對于A：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，所以A不可以判斷；對于B：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，可以出現(xiàn)點6，所以B不能判斷；對于C：因為中位數(shù)為，極差為，則最大數(shù)不超過，故一定不會出現(xiàn)，故C正確；對于D，若平均數(shù)為，且出現(xiàn)點數(shù)為，則其余個數(shù)的和為，即均為，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯誤；故選：C．7.三棱錐中，，，.若，，則該三棱錐體積的最大值為（）A.3 B.4 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】依題意可得平面，即可得到，從而求出，再由，利用勾股定理及基本不等式求出面積最大值，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】因為，，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以，又，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：B8.在四棱錐中，，，則下列結(jié)論中不成立的是（）A.平面內(nèi)任意一條直線都不與平行B.平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面平行C.平面和平面的交線不與底面平行D.平面和平面的交線不與底面平行【答案】D【解析】【分析】利用反證法證明A、C，只需在平面內(nèi)，與平面和平面的交線平行的所有直線（交線除外）均與平面平行，即可判斷B，根據(jù)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理判斷D.【詳解】因為，，所以四邊形為梯形，且、不平行，對于A：若平面內(nèi)存在直線與平行，又平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，與、不平行矛盾，所以平面內(nèi)任意一條直線都不與平行，故A正確；對于B：因為平面和平面的一個交點為，故二者存在過點的一條交線，在平面內(nèi)，與平面和平面的交線平行的所有直線（交線除外）均與平面平行，故B正確；對于C：若平面和平面的交線與底面平行，設(shè)平面和平面的交線為，則平面，因為平面平面，平面，所以，同理可得，所以，與、不平行矛盾，所以平面和平面的交線不與底面平行，故C正確；對于D：因為，平面，平面，所以平面設(shè)平面和平面的交線為，平面，所以，因為平面，平面，所以平面，故平面和平面的交線與底面平行，故D錯誤；故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.一個袋子中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的4個小球，除標(biāo)號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號為2”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號為3”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號之和為4”，事件“兩次摸出球的標(biāo)號之和為5”，則（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨立C.事件與互斥 D.事件與相互獨立【答案】CD【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的概念判斷即可.【詳解】設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個，事件發(fā)生包含的基本事件：，有個，事件發(fā)生包含的基本事件：，，，有個，顯然當(dāng)出現(xiàn)時事件、同時發(fā)生，故事件與不互斥，故A錯誤；事件與不可能同時發(fā)生，即事件與互斥，故C正確；又，，，事件與不可能同時發(fā)生，即事件與互斥，則，故事件與不獨立，故B錯誤；事件發(fā)生包含的基本事件：有個，所以，因為，所以與相互獨立，故D正確；故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于點對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D，根據(jù)即可判斷C.【詳解】因為，所以的最小正周期，故A錯誤；，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；因，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；若，則，因為在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD11.已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，即可判斷B，設(shè)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為、，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律判斷C，設(shè)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】對于A：若，即，所以，故A正確；對于B：因為，所以，而，故B錯誤；對于C：設(shè)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為、，則且，所以，即，解得，所以，即，故C正確；對于D：設(shè)，由，即，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在如圖所示的圓環(huán)內(nèi)（不含邊界）圓心為坐標(biāo)原點，半徑分別為、，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為，故D錯誤；故選：AC12.在中，，將分別繞邊，，所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的側(cè)面積分別記為，，，體積分別記為，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先分別求出將繞邊、、旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積和側(cè)面積，然后對四個選項逐一判斷即可.【詳解】將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長為，高為，所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長為，高為.所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊（）所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個底面重合的圓錐，其底面半徑是，母線長分別為和，高之和為.所以其體積，其側(cè)面積.對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，而，所以，故C錯誤.對于D：，故D正確；故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是分別求出將繞邊、、旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積和側(cè)面積.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直數(shù)量積為求出參數(shù)的值，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得，所以，則，，所以在方向上的投影向量為.故答案為：14.某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生100名和女生60名，測量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生10017218女生6016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計算出該校高中學(xué)生身高的總樣本方差______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由樣本的方差和平均數(shù)的計算公式，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在樣本中，男生有人，女生有人，則其平均數(shù)，其方差，故答案為：．15.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于扇形OPQ，其中點B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意連接，可得，過點B作的垂線，垂足為N,設(shè)，分別在和中求出線段，從而表示出，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】如圖，連接，因為，所以，又因為矩形ABCD，，所以，從而可得，所以，，且，為等邊三角形，，又因為矩形ABCD，，，過點B作的垂線，垂足為N,設(shè)，，，，在中，，，，，當(dāng)，即時，矩形面積最大，且最大值為故答案為：16.已知四邊形ABCD是正方形，將沿AC翻折到的位置，點G為的重心，點E在線段BC上，平面，.若，則______，直線GB與平面所成角的正切值為______.【答案】①.2②.3【解析】【分析】空1：延長交于點，由線面平行的性質(zhì)，可得到，從而得到，進(jìn)而得解；空2：取中點,找到平面，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，進(jìn)而得解.【詳解】如圖所示：空1：延長交于點，連接，則為中點，如下圖所示：因為平面，平面，平面平面，所以，因為點G為的重心，所以,所以.空2：取中點,連接，則,設(shè)正方形ABCD邊長為2，因為，，所以，又則為中點，所以，中，,同理可得，，因為，所以，又，所以平面，則為在平面內(nèi)的投影，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，中，，，故答案為：2；3.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了減少水資源的浪費，計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價制度，即確定一個合理的居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：），使得用戶月均用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費.通過隨機(jī)抽樣，獲得了該市戶居民生活月均用水量（單位：）的數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布直方圖.（1）求這戶居民生活月均用水量在區(qū)間內(nèi)的頻率；（2）若該市政府希望的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，試估計的值，并說明理由.【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算可得；（2）根據(jù)第百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知內(nèi)的頻率為.【小問2詳解】因為，又，，則，依題意可得，解得.所以要使的居民生活月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，則居民生活用水量標(biāo)準(zhǔn)為.18.如圖是函數(shù)在一個周期上的圖象，點是函數(shù)圖象與軸的交點，點，分別是函數(shù)圖象的最低點與最高點，且.（1）求的最小正周期；（2）若，求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意設(shè)，則，，即可表示，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）由（1）求出，再由，代入利用誘導(dǎo)公式及和（差）角公式整理得到，即可求出，從而得解.【小問1詳解】設(shè)的最小正周期為，依題意設(shè)，則，，所以，，所以，即，解得或（舍去）.【小問2詳解】由（1）可得，解得，所以，又，即，即，所以，所以，解得，又，所以，所以.19.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩人進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方平后，乙先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束.（1）求事件“”的概率；（2）求事件“且乙獲勝”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意甲連贏球或甲連輸球，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（2）依題意前個球中乙贏一個、輸一個，而后乙連贏球，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】依題意若，則甲連贏球或甲連輸球，所以.【小問2詳解】若且乙獲勝，則在前個球中乙贏一個、輸一個，而后乙連贏球，記且乙獲勝為事件，所以.20.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面平面；（2）若直線AC與平面所成的角為，二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及題意，由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）過作垂直于點，根據(jù)（1）的結(jié)論，以及線面角的概念，可得是直線與平面所成的角；再根據(jù)二面角的概念易知是二面角的平面角，再在直角三角形中利用正弦公式，通過比值比較即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，易知，又，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】過作垂直于點，連接由（1）可知平面平面又平面平面，所以平面，垂足為，則是直線與平面所成的角，即，由（1）可知平面，所以，又，所以是二面角的平面角，即,在中，，在中，又，得，又,，所以.21.已知內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.（1）求；（2）若點在邊上，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換化簡得出，求出的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用平面向量的線性運算可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值.【小問1詳解】解：因為，正弦定理可得，即，即，因為、，則，所以，，即，所以，，因為，所以，，故.【小問2詳解】解：因為點在邊上，且，，則，則，即，所以，，①由余弦定理可得，又因為，所以，，②聯(lián)立①②可得.22.如圖，在棱長為4的正方體中，為的