天成大聯(lián)考2025屆數(shù)學高一下期末考試試題含解析

天成大聯(lián)考2025屆數(shù)學高一下期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的展開式中含的項的系數(shù)為（）A．-1560 B．-600 C．600 D．15602．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．已知是等差數(shù)列，且，，則（）A．-5 B．-11 C．-12 D．34．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，為的面積，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．5．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱全面積與側面積的比為（）A． B． C． D．6．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數(shù)量積的最小值為（）A． B． C． D．7．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角8．中，，，，則（）A．1 B． C． D．49．一個圓柱的軸截面是正方形，其側面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．2：3 D．3：210．已知函數(shù)，若方程在上有且只有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數(shù)，則________.12．函數(shù)的值域是______．13．設,滿足約束條件,則的最小值是______.14．若直線平分圓，則的值為________.15．數(shù)列滿足，（且），則數(shù)列的通項公式為________.16．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛去，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐中，，平面平面，，為的中點.（1）求證://平面；（2）求點到面的距離（3）求二面角平面角的正弦值18．已知向量，.（1）當為何值時，與垂直？（2）若，，且三點共線，求的值.19．如圖，在中，，，點在邊上，且，.（1）求；（2）求的長.20．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點到平面的距離.21．若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】的項可以由或的乘積得到，所以含的項的系數(shù)為，故選A.2、D【解析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【詳解】解：以點為坐標原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則,

為平面的一個法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【點睛】此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關系,利用向量方法解決立體幾何問題．3、B【解析】

由是等差數(shù)列，求得，則可求【詳解】∵是等差數(shù)列，設,∴故故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算能力，是基礎題4、C【解析】

先由正弦定理，將化為，結合余弦定理，求出，再結合正弦定理與三角形面積公式，可得，化簡整理，即可得出結果.【詳解】因為，所以可化為，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，當且僅當時，取得最大值.故選C【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.5、A【解析】解：設圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積：側面積=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2這個圓柱全面積與側面積的比為,故選A6、B【解析】

根據(jù)條件可得，，，然后進行數(shù)量積的運算即可.【詳解】根據(jù)條件，，，，當時，取最小值.故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算，同時考查了二次函數(shù)的最值，屬于基礎題.7、D【解析】

根據(jù)象限角寫出的取值范圍，討論即可知在第一或第三象限角【詳解】依題意得，則，當時，是第一象限角當時，是第三象限角【點睛】本題主要考查象限角，屬于基礎題．8、C【解析】

利用三角形內(nèi)角和為可求得；利用正弦定理可求得結果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題.9、D【解析】

設圓柱的底面半徑為，利用圓柱側面積公式與球的表面積公式建立關系式，算出球的半徑，再利用圓柱與球的體積公式加以計算，可得所求體積之比．【詳解】設圓柱的底面半徑為，軸截面正方形邊長，則，可得圓柱的側面積，再設與圓柱表面積相等的球半徑為，則球的表面積，解得，因此圓柱的體積為，球的體積為，因此圓柱的體積與球的體積之比為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓柱的側面積和體積公式，以及球的表面積和體積公式的應用，其中解答中熟記公式，合理計算半徑之間的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、A【解析】

先輔助角公式化簡,先求解方程的根的表達式,再根據(jù)在上有且只有三個實數(shù)根列出對應的不等式求解即可.【詳解】.又在上有且只有三個實數(shù)根,故,解得或,即或,.設直線與在上從做到右的第三個交點為,第四個交點為.則,.故.故實數(shù)的取值范圍為.故選：A【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的根求解參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意先求解根的解析式,進而根據(jù)區(qū)間中的零點個數(shù)列出區(qū)間端點滿足的關系式求解即可.屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用反三角函數(shù)的定義，解方程即可．【詳解】因為函數(shù)，由反三角函數(shù)的定義，解方程，得，所以.故答案為：【點睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．12、【解析】

將函數(shù)化為的形式，再計算值域。【詳解】因為所以【點睛】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎題。13、1【解析】

根據(jù)不等式組，畫出可行域，數(shù)形結合求解即可.【詳解】由題可知，可行域如下圖所示：容易知：，可得：，結合圖像可知，的最小值在處取得，則.故答案為：1.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的基礎問題，只需作出可行域，數(shù)形結合即可求解.14、1【解析】

把圓的一般式方程化為標準方程得到圓心，根據(jù)直線過圓心，把圓心的坐標代入到直線的方程，得到關于的方程，解方程即可【詳解】圓的標準方程為，則圓心為直線過圓心解得故答案為【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，解題的關鍵是求出圓心的坐標，屬于基礎題15、【解析】

利用累加法和裂項求和得到答案.【詳解】當時滿足故答案為【點睛】本題考查了數(shù)列的累加法，裂項求和法，意在考查學生對于數(shù)列公式和方法的靈活運用.16、【解析】

根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.【詳解】假設經(jīng)過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見詳解；（2）；（3）【解析】

（1）通過取中點，利用中位線定理可得四變形為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理，可得結果.（2）根據(jù),可得平面，可得結果.（3）作，作，可得二面角平面角為，然后計算，可得結果.【詳解】（1）取中點，連接，如圖由為的中點，所以//且又，且，所以//且，故//且，所以四變形為平行四邊形，故//又平面，平面所以//平面（2）由，平面平面平面，平面平面所以平面，又平面所以，由，所以為正三角形，所以則平面所以平面，且所以點到面的距離即（3）作交于點，作交于點，連接由平面平面，平面平面平面平面，所以平面，平面，所以，又平面，所以平面又平面，所以所以二面角平面角為，又為等腰直角三角形所以，所以所以又二面角平面角為故所以二面角平面角的正弦值為【點睛】本題考查了線面平行的判定定理，還考查了點面距和面面角的求法，第（3）中難點在于找到二面角的平面角，掌握定義以及綜合線面，面面的位置關系，細心計算，屬中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用坐標運算表示出與；根據(jù)向量垂直可知數(shù)量積為零，從而構造方程求得結果；（2）利用坐標運算表示出，根據(jù)三點共線可知，根據(jù)向量共線的坐標表示可構造方程求得結果.【詳解】（1），與垂直，解得：（2）三點共線，，解得：【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，涉及到向量平行和垂直的坐標表示；關鍵是能夠明確兩向量垂直則數(shù)量積等于零，能夠利用平行關系表示三點共線.19、（1）；（2）7.【解析】試題分析：（I）在中，利用外角的性質(zhì)，得即可計算結果；（II）由正弦定理，計算得，在中，由余弦定理，即可計算結果．試題解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考點：正弦定理與余弦定理．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】

(1)利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問結論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點到平面的距離．【詳解】證明：（1）取中點為，連接分別為的中點，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因為平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,為的終點，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點到平面的距離為（也可構造三棱錐）【點睛】