廣西百色市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試模擬試題（教師版）

2022-2023學(xué)年廣西百色高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試模擬卷一、單選題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】【分析】由題，計(jì)算出復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷答案.【詳解】因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限.故選：D2.已知，，若，則（）A.2 B.3 C.5 D.12【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量線性運(yùn)算與模的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，得，則，所以，故.故選：C.3.為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級(jí)體育組教師在高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名男生，測試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)195cm及以上成績?yōu)楹细瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)全校1000名男生中立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目合格的男生有（）A.660名 B.940名 C.970名 D.800名【答案】B【解析】【分析】在頻率分布直方圖中，根據(jù)頻率之和為1求出a，然后直接計(jì)算合格率即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，所以實(shí)數(shù)，所以可估計(jì)全校1000名男生中立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目合格的男生有名.故選：B.4.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A，若，，，，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，正確；對(duì)于C，，，則或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則或異面，故錯(cuò)誤.故選：B5.若，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系得到判斷.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，故是等邊三角形，故選：D.6.在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因三點(diǎn)共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.7.甲、乙兩人進(jìn)行了羽毛球比賽，雙方約定：先勝2局者獲得比賽的勝利．若某局比賽甲先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是；若某局比賽乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知每局比賽都分出勝負(fù)，且各局比賽結(jié)果互不影響，若第一局是甲先發(fā)球，從第二局開始，每局由上一局的獲勝者發(fā)球，則這次羽毛球比賽甲獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析出甲獲勝的情況：①甲先連勝兩局，②甲第一局和第三局勝利，③甲第二局和第三局勝利，再由互斥事件概率公式求解.【詳解】這次羽毛球比賽甲獲勝的情況有三種：①甲連續(xù)獲得2局比賽的勝利，其概率；②甲第一局和第三局比賽獲勝，乙第二局比賽獲勝，其概率；③乙第一局比賽獲勝，甲第二局和第三局比賽獲勝，其概率．故所求概率．故選：C.8.金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為，現(xiàn)將它雕刻成一個(gè)球形裝飾物，則可雕刻成的最大球體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用條件求出正多形的邊長，再將求最大球的體積轉(zhuǎn)化成求金剛石的內(nèi)切球體積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求截面內(nèi)切圓的半徑，從而求出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，，中點(diǎn)分別為，，連接，，，，，,設(shè)金剛石的邊長為，則由題知，，所以，在等邊中，邊上的高，在中，，由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對(duì)稱性易知球心在點(diǎn)，與面的切點(diǎn)在線段上，球的半徑即為截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由等面積法可知：，解得，所以內(nèi)切球的半徑為則內(nèi)切球體積為故選：D.二、多選題9.某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則（）A.在每一種型號(hào)的轎車中可采用抽簽法抽取B.抽樣比為C.三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三種隨機(jī)抽樣方法的特點(diǎn)可判斷ABD；然后根據(jù)分層抽樣計(jì)算可判斷C.【詳解】因每一種型號(hào)的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯(cuò)誤；在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比為，故B正確；在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，三種型號(hào)的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確．故選：BCD10.已知為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的虛部為C.，為純虛數(shù)的充要條件是D.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)i的周期性可判斷A，根據(jù)虛部概念判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及純虛數(shù)概念判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可得到點(diǎn)的軌跡判斷D.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)的虛部為2，而不是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，則，若為純虛數(shù)，則，所以，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)，由可得，，所以，平方化簡得：，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，正確.故選：AD11.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則（）A.“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”是互斥事件B.“都是白球”與“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對(duì)立事件D.“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥，對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件的定義逐個(gè)判斷即可【詳解】對(duì)A，“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”均包含“一個(gè)白球一個(gè)黑球”的情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，“都是白球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，且不是對(duì)立事件，故為互斥事件，故B正確；對(duì)C，“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對(duì)立事件，故C正確；對(duì)D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件“第二次摸到的是黑球”的概率，又，因?yàn)椋省暗谝淮蚊降氖前浊颉迸c“第二次摸到的是黑球”不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：BC12.在如圖所示的三棱錐中，，，，兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（）A.直線與平面所成的角為B.二面角的正切值為C.到面的距離為D.作平面，垂足為，則為的重心【答案】BD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，可得為直線與平面所成的角，即可判斷A項(xiàng)；利用線面垂直的判定定理可得平面，即得為二面角的平面角，即可判斷B項(xiàng)；利用等體積法求點(diǎn)面距離即可判斷C項(xiàng)；利用線面垂直得判定定理結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷D項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)椋?，兩兩互相垂直，，平面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角為，故A錯(cuò)誤；取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，，，兩兩互相垂直，所以，因?yàn)?，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，故為等邊三角形，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影，又，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，故為的重心，故D項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示列方程求.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，所?故答案為：.14.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，體積是，則圓臺(tái)的母線長為______.【答案】20【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用圓臺(tái)的體積公式以及勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，所以，設(shè)圓臺(tái)上底面面積為，下底面面積為,高為，母線長為，所以，，根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，解得，在中，由勾股定理有：，解得.則圓臺(tái)的母線長為20.故答案為：20.【點(diǎn)睛】15.已知一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，則的方差為______________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，得到，，從而求出的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意得：，解得：，，且，解得：，故的平均數(shù)為，故方差為.故答案為：116.如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機(jī)在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機(jī)距離地面的高度PQ為__________m．【答案】200【解析】【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【詳解】根據(jù)題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故答案為：200四、解答題17.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示，再借助坐標(biāo)計(jì)算向量的模作答.（2）由向量的模，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求出向量的數(shù)量積，再求出夾角作答.【小問1詳解】向量，，則，所以.【小問2詳解】由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.18.牯藏節(jié)是苗族的傳統(tǒng)節(jié)日，西江苗寨為了豐富居民的業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于牯藏節(jié)的知識(shí)競賽，比賽共分為兩輪.在第一輪比賽中，每一位選手均需要參加兩關(guān)比賽，若在兩關(guān)比賽均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入第二輪比賽.已知在第一輪比賽中，選手、第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為，；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，，、在第一輪的每關(guān)比賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響.（1）分別求出、進(jìn)入第二輪比賽的概率；（2）若、兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】由選手、第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為，；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，，記“、進(jìn)入第二輪比賽”分別為事件和事件，則，.所以、進(jìn)入第二輪比賽的概率分別為和.【小問2詳解】記“兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽”為事件，則.所以兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率為.19.已知在某次招考測試中，甲?乙?丙3人各自通過測試的概率分別為．求：（1）至少有1人通過測試的概率；（2）恰有2人通過測試的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨(dú)立，至少有1人通過測試對(duì)立事件為1人也沒用過，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.（2）設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨(dú)立，由題意有：．設(shè)事件“甲?乙?丙3人中至少有1人通過測試”，則的對(duì)立事件【小問2詳解】設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，由于事件均相互獨(dú)立，并且事件兩兩互斥，因此20.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【小問1詳解】如圖，連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴直線平面.【小問2詳解】連接SD，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.21.如圖：在正方體中，M為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）連接BD交AC于O，連接MO，通過證明可證明結(jié)論；（2）上的中點(diǎn)N即滿足平面平面，通過證明平面結(jié)合平面可證明結(jié)論.【小問1詳解】連接BD交AC于O，連接MO.∵為正方體，底面為正方形，∴O為BD的中點(diǎn).∵M(jìn)為的中點(diǎn)，在中，OM是的中位線，所以.又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】上的中點(diǎn)N即滿足平面平面，∵N為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.22.從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)62638228（1）根據(jù)上表補(bǔ)全所示的頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）及中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【答案】（1）答案見解析；（2）平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為99.7；（3）答案見解析﹒【解析】分析】（1）由圖表繪制直方圖即可；（2）根據(jù)直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)的概念求值；（3）根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例說明即可.【小問1詳解】質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)62638228頻率/組距0.0060.0260.0380.0220.008則頻率分布直方圖如下圖所示：【小問2詳解】質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：，質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為：，∴這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)約為100，方差約為104．第一組頻率為：0.06，第二組頻率為：0.26，第三組頻率為：0.38，∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，∴中位數(shù)落在第三組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，因此，中位數(shù)為99.7；【小問3詳解】質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例約為，由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．23.從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若___________.（1）求角В的大??；（2）若為銳角三角形，с=1，求a的取值范圍.注：若選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，正弦定理邊化角得，根據(jù)角A的范圍及輔助角公式，即可得答案.若選②，正弦定理邊化角得，根據(jù)兩角和的正弦公式，化簡整理，即可得答案.若選③，正弦定理角化邊可得，根據(jù)余弦定理，即可得答案.（2）根據(jù)正弦定理，可得，根據(jù)題干條件，代入化簡整理，根據(jù)銳角三角形，可得角C的范圍，即可得答案.【小問1詳解】若選①由正弦定