2024年四川省宜賓市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024年四川省宜賓市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．2的絕對值是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．下列計算正確的是（）A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2 C．3x?2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x3．某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A．方差為0 B．眾數(shù)為75 C．中位數(shù)為77.5 D．平均數(shù)為754．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠CDB＝60°，則∠ABC的度數(shù)等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且6＝1+2+3，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A．8 B．18 C．28 D．327．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點8．某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱9．如圖，△ABC內接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D，則的值為（）A． B． C．2 D．210．如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC為邊作Rt△BCD，BC＝BD，點D與點A在BC的兩側，則AD的最大值為（）A．2+3 B．6+2 C．5 D．812．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點C．以下結論：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c＝；④當c＝3時，在△AOC內有一動點P，若OP＝2，則CP+AP的最小值為．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13．分解因式：2a2﹣2＝．14．分式方程﹣3＝0的解為．15．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且CE＝DF．當AE+CF的值最小時，則CE＝．17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN＝45°，則MN的最小值為．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（10分）（1）計算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2﹣|；（2）計算：÷（﹣）．20．（10分）某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設了四個興趣小組：A．插花組；B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調查了名學生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）話劇組所對應扇形的圓心角為度；（3）書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．21．（10分）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BD＝CE，BE與AD交于點F．求證：AD＝BE．22．（10分）宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側是岷江，右側是金沙江，正面是長江）．某同學在數(shù)學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西18.17°方向上，測得點D在北偏東21.34°方向上；在B處測得點C在北偏西21.34°方向上，測得點D在北偏東18.17°方向上，測得AB＝100米．求長江口的寬度CD的值（結果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）23．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于點A（1，4）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式ax+b＜的解集；（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．24．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC＝10，過點A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連結CD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若tan∠ABE＝，求CD和DE的長．25．（14分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣4），其頂點為D．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）在y軸上是否存在一點M，使得△BDM的周長最?。舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點E在以點P（3，0）為圓心，1為半徑的⊙P上，連結AE，以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF，連結BF．求BF的取值范圍．

2024年四川省宜賓市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．2的絕對值是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【分析】計算絕對值要根據(jù)絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據(jù)絕對值定義去掉這個絕對值的符號．【解答】解：∵2＞0，∴|2|＝2．故選：A．【點評】本題考查了絕對值的意義，任何一個數(shù)的絕對值一定是非負數(shù)，所以2的絕對值是2．部分學生易混淆相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義．2．下列計算正確的是（）A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2 C．3x?2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x【分析】直接利用合并同類項法則、單項式乘以單項式以及同底數(shù)冪的除法法則分別計算判斷即可．【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合題意；B、5a﹣3a＝2a，故B不符合題意；C、3x?2x＝6x2，故C符合題意；D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了合并同類項法則、單項式乘以單項式以及同底數(shù)冪的除法法則，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A．方差為0 B．眾數(shù)為75 C．中位數(shù)為77.5 D．平均數(shù)為75【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差、中位數(shù)，眾數(shù)得出答案即可．【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，平均數(shù)＝（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8，65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按從小到大的順序排序為65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，∴中位數(shù)＝＝75，眾數(shù)為75，方差＝[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61，故選：B．【點評】本題考查了平均數(shù)，方差，中位數(shù)，眾數(shù)等知識點，能熟記中位線、眾數(shù)的定義和方差的意義是解此題的關鍵．4．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠CDB＝60°，則∠ABC的度數(shù)等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠A＝∠CDB＝60°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝60°，∴∠A＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．5．元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天【分析】設快馬追上慢馬的天數(shù)是x天，利用路程＝速度×時間，結合快馬追上慢馬時兩馬跑的路程相同，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設快馬追上慢馬的天數(shù)是x天，根據(jù)題意得：240x＝150（x+12），解得：x＝20，∴快馬追上慢馬的天數(shù)是20天．故選：D．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且6＝1+2+3，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A．8 B．18 C．28 D．32【分析】根據(jù)“完美數(shù)”的定義，先找出各個數(shù)的因數(shù)，再按完美數(shù)的要求相加，和與這個數(shù)相等的，就是“完美數(shù)”．【解答】解：A．8的因數(shù)有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美數(shù)”，故A錯誤；B．18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美數(shù)”，故B錯誤；C．28的因數(shù)有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美數(shù)”，故C正確；D．32的因數(shù)有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美數(shù)”，故D錯誤；故選：C．【點評】理解“完美數(shù)”的定義，掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法是解題的關鍵．7．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點【分析】把圖形圍成立體圖形求解．【解答】解：把圖形圍成立方體如圖所示：設正方體的棱長為1，則AD＝1，AB＝AE＝，AC＝＝，∵1＜，∴與頂點A距離最遠的頂點是C，故選：B．【點評】本題考查了展開圖折疊成幾何體，掌握空間想象力是解題的關鍵．8．某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【分析】設可以裝x箱大箱，y箱小箱，根據(jù)“該果農現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿”，可列出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為自然數(shù)，可得出x，y的值，再將其代入x+y中，取其中的最大值，即可得出結論．【解答】解：設可以裝x箱大箱，y箱小箱，根據(jù)題意得：4x+3y＝32，∴x＝8﹣y，又∵x，y均為自然數(shù)，∴或或，∴x+y＝8或9或10，∴所裝的箱數(shù)最多為10箱．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．9．如圖，△ABC內接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D，則的值為（）A． B． C．2 D．2【分析】作輔助線如圖，先證明BD＝CD，∠ACD+∠ABD＝180°，從而可以得到旋轉后的圖形，再證明△A'DA是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結果．【解答】解：如圖，連接BD、CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD，在四邊形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴△ADC繞D點逆時針旋轉90°，則A，B，A'三點共線，如圖所示，∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′，∵由旋轉可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD，∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°，∴在等腰直角三角形A′DA中，，∴．故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，旋轉的性質等知識點，合理作輔助線為解題的關鍵．10．如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．【分析】作輔助線如圖，利用函數(shù)表達式設出A、B兩點的坐標，利用D，M是中點，找到坐標之間的關系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結果．【解答】解：作過A作BC的垂線垂足為D，BC與y軸交于E點，如圖，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中點，設，，由BC中點為D，AB＝AC，在等腰三角形ABC中，∴BD＝DC＝a﹣b，∴，∵AC的中點為M，∴，即，由M在反比例函數(shù)上得，∴，解得：b＝﹣3a，由題可知，AD∥NE，∴，故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質等知識，找到坐標之間的關系是解題的關鍵．11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC為邊作Rt△BCD，BC＝BD，點D與點A在BC的兩側，則AD的最大值為（）A．2+3 B．6+2 C．5 D．8【分析】由“SAS”可證△DBE≌△CBA，可得DE＝AC＝2，由三角形的三邊關系可求解．【解答】解：如圖，將BA繞點B順時針旋轉90°，得到BE，連接AE，DE，∴BE＝AB，∠ABE＝90°，∴AE＝AB＝6，∵∠DBC＝90°＝∠EBA，∴∠DBE＝∠CBA，又∵BD＝BC，AB＝BE，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC＝2，在△ADE中，AD＜AE+DE，∴當A，D，E三點共線時，AD有最大值，∴AD的最大值＝6+2＝8，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，三角形的三邊關系，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點C．以下結論：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c＝；④當c＝3時，在△AOC內有一動點P，若OP＝2，則CP+AP的最小值為．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】拋物線過點（1，0），求得求得a+b+c＝0，即可判斷①；求得對稱軸為直線x＝﹣1，即可求得b＝2a，由a+b+c＝0，求得c＝﹣3a，則a+3b+2c＝a＜0，即可判斷②；分AC＝AB＝4和AB＝BC＝4兩種情況求得c的值即可判斷③；取點H（﹣，0），連接PH，則OH＝，可證明△HOP∽△POA，由相似三角形的性質可得PH＝PA，則CP+AP＝CP+PH，故當C、P、H共線時，CP+PH的值最小，即此時CP+AP的最小，最小值為CH，利用勾股定理求得CH即可判斷④．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點B（1，0），∴a+b+c＝0，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），∴﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，∵a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a，∵a＜0，∴a+3b+2c＜0，故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴AC≠BC，∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c），∴AB＝4，當AC＝AB＝4時，則AC2＝OA2+OC2，∴42＝32+c2，解得c＝或c＝﹣（不合題意，舍去），當AB＝BC＝4時，BC2＝OB2+OC2，∴42＝12+c2，解得c＝（負數(shù)舍去），綜上，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c＝或c＝，故③錯誤；當c＝3時，C（0，3），則OC＝3，如圖所示，取點H（﹣，0），連接PH，則OH＝，∴＝，∵，∴，∵∠HOP＝∠POA，∴△HOP∽△POA，∴＝，∴PH＝PA，∴CP+AP＝CP+PH，當C、P、H共線時，CP+PH的值最小，即此時CP+AP的最小，最小值為CH，在Rt△CHO中，CH＝＝＝，故④正確；故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13．分解因式：2a2﹣2＝2（a+1）（a﹣1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：2a2﹣2＝2（a2﹣1）＝2（a+1）（a﹣1），故答案為：2（a+1）（a﹣1）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．14．分式方程﹣3＝0的解為x＝2．【分析】先變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對方程的解進行檢驗．【解答】解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0，解得x＝2，檢驗：當x＝2時，x﹣1＝1≠0，∴x＝2是原方程的解．故答案為：x＝2．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．15．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是2+2．【分析】連接BE交AC于O，由五邊形ABCDE是正五邊形，可得∠CBA＝∠BAC＝108°，BC＝AB＝AE，即得∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝36°，故∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，從而∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝72°，可得CO＝BC＝4，證明△ABO∽△ACB，有＝，即可解得答案．【解答】解：連接BE交AC于O，如圖：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CBA＝∠BAC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE，∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠CBO＝∠BOC＝72°，∴CO＝BC＝4，∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA，∴△ABO∽△ACB，∴＝，即＝，解得AC＝2+2或AC＝2﹣2（小于4，舍去），經檢驗，AC＝2+2符合題意；故答案為：AC＝2+2．【點評】本題考查相似三角形判定與性質，正多邊形性質，解題的關鍵是掌握正多邊形的概念和相似三角形的判定定理．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且CE＝DF．當AE+CF的值最小時，則CE＝．【分析】由“SAS”可證△CDF≌△HCE，可得CF＝EH，則AE+CF＝AE+EH，即當點A，點E，點H三點共線時，AE+CF有最小值，通過證明△CEH∽△BAH，可得△CEH∽△BAH，即可求解．【解答】解：如圖，延長BC至H，使CH＝CD，連接EH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠D＝∠DCH，又∵CD＝CH，DF＝CE，∴△CDF≌△HCE（SAS），∴CF＝EH，∴AE+CF＝AE+EH，∴當點A，點E，點H三點共線時，AE+CF有最小值，此時：∵CD∥AB，∴△CEH∽△BAH，∴，∴＝，∴CE＝，故答案為：．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是乙槽（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．【分析】由三次操作三個槽總分是20+10+9＝39分，所以一次操作得總分就是13分，再根據(jù)三個球得數(shù)不相同可以列舉出綜合為13得所有情況．，然后再根據(jù)各自得分去一一分析比較即可．【解答】方法一：∵三次操作相同，且總得分是20+10+9＝39分．∴一次操作的總分，即三個球數(shù)字之后為39÷3＝13，則有以下情況：，其中只有1，4，8這一組能同時滿足三個數(shù)組合相加得20，10，9；，∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分數(shù)分別為4，8，1；第二次操作甲槽乙槽丙槽分數(shù)分別為8，1，1；第三次操作甲槽乙槽丙槽分數(shù)分別為8，1，1；∴第二次操作計分最低的是乙槽．方法二：設乙第一，第二，第三次操作計分分別為x、y、z．則x+y+z＝10，x不可能為9，否則yz出現(xiàn)為0的情況，與題意矛盾．所以x最大為8，此時8+1+1＝10，1已經是最小了，所以第二次操作計分最小的是乙槽．故答案為：乙槽．【點評】本題主要考查了推理與論證，題型比較活，屬于現(xiàn)在比較多的考查形式，要求學生具備一定的數(shù)學思維．18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN＝45°，則MN的最小值為2﹣2．【分析】由∠MAN＝45°識別出半角模型，從而構造△GAN≌△MAN，將MN線段進行轉化，設BM＝x，MN＝y(tǒng)，再利用勾股方程進行轉化，建立一個關于y的式子，利用不等式的性質求最值即可．【解答】解：如圖，延長CD到點G，使DG＝BM．∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°，∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM，又∵BM＝DG，AD＝BC，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°，在△GAN和△MAN中，，∴△GAN≌△MAN（SAS），∴GN＝MN．設BM＝x，MN＝y(tǒng)，則GN＝y(tǒng)，DG＝x．∵BC＝CD＝1，∴CM＝1﹣x，CN＝x﹣y+1，在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即y2＝（1﹣x）2+（x﹣y+1）2，整理可得：y＝＝＝x+1+﹣2，∵x+1+≥2＝2，∴y≥2﹣2，此時x＝﹣1．故：MN的最小值為2﹣2【點評】本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定和性質，其中識別半角模型進行轉化是解題的關鍵．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（10分）（1）計算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2﹣|；（2）計算：÷（﹣）．【分析】（1）把特殊角三角函數(shù)值代入，算零指數(shù)冪，去絕對值，再算加減；（2）先通分算括號內的，把除化為乘，再約分即可．【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣2+＝；（2）原式＝÷＝?＝1．【點評】本題考查實數(shù)運算和分式混合運算，解題的關鍵是掌握相關運算的法則．20．（10分）某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設了四個興趣小組：A．插花組；B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調查了40名學生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）話劇組所對應扇形的圓心角為72度；（3）書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中A的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中A的百分比可得本次調查的學生人數(shù)；求出C組的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可．（2）用360°乘以本次調查中C組的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)以及剛好抽到1名男生與1名女生的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】（1）此次調查的學生人數(shù)為：4÷10%＝40（人），“C”類興趣課的人數(shù)為：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：40；（2）“C”類興趣課所對應扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝72°；故答案為：72；（3）將1名女生記為A，3名男生分別記為B，C，D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6種，∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．21．（10分）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BD＝CE，BE與AD交于點F．求證：AD＝BE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，由此可依據(jù)“SAS”判定△ABD和△BCE全等，然后根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論．【解答】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，理解等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．22．（10分）宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側是岷江，右側是金沙江，正面是長江）．某同學在數(shù)學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西18.17°方向上，測得點D在北偏東21.34°方向上；在B處測得點C在北偏西21.34°方向上，測得點D在北偏東18.17°方向上，測得AB＝100米．求長江口的寬度CD的值（結果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）【分析】過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥CD，垂足為F，根據(jù)已知易得：AE＝BF，AB＝EF＝100m，然后設AE＝BF＝xm，從而分別在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE、DF和DE的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥CD，垂足為F，∵AB∥CD，∴AE＝BF，由題意得：AB＝EF＝100m，設AE＝BF＝xm，在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°，∴CE＝AE?tan18.17°≈0.33x（m），在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°，∴DF＝BF?tan18.17°≈0.33x（m），在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°，∴DE＝AE?tan21.34°≈0.39x（m），∵DE＝EF+DF，∴0.39x＝100+0.33x，解得：x＝，∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m），∴長江口的寬度CD的值約為1200m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．23．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于點A（1，4）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式ax+b＜的解集；（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）當AB為對角線時，由中點坐標公式得：4﹣1＝，即可求解；當AC或AD為對角線時，同理可解．【解答】解：（1）將點A、B的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：k＝4×1＝﹣n，解得：k＝4，n＝﹣4，即反比例函數(shù)的表達式為：y＝，點B（﹣4，﹣1）；將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，解得：，則一次函數(shù)表達式為：y＝x+3；（2）觀察函數(shù)圖象知，當0＜x＜1或x＜﹣4時，ax+b＜成立；（3）設點C的坐標為：（m，），點D（x，0），當AB為對角線時，由中點坐標公式得：4﹣1＝，解得：m＝，則點C（，3）；當AC或AD為對角線時，同理可得：4+＝﹣1或4＝﹣1，解得：m＝±，則點C（﹣，﹣5）或（，5），綜上，點C的坐標為：（，3）或（﹣，﹣5）或（，5）．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到解不等式、平行四邊形的性質，分類求解是解題的關鍵．24．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC＝10，過點A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連結CD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若tan∠ABE＝，求CD和DE的長．【分析】（1）連接并延長AO交BC于點F，連接OC，由AB＝AC，得∠AOB＝∠AOC，可證明∠FOB＝∠FOC，所以OF⊥BC，由平行線的性質得∠OAE＝∠OFB＝90°，即可證明AE是⊙O的切線；（2）由OB＝OA，得∠BAF＝∠ABE，則＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝，由AB＝BF＝10，求得BF＝2，AF＝4，由勾股定理得（2）2+FO2＝（4﹣FO）2，求得FO＝，則OD＝OB＝OA＝，所以CD＝2FO＝3，由＝cos∠AOE＝cos∠FOB＝，求得OE＝，則DE＝．【解答】（1）證明：連接并延長AO交BC于點F，連接OC，則OB＝OC，∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，∴∠FOB＝∠FOC，∴OF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切線．（2）解：∵OB＝OA，∴∠BAF＝∠ABE，∴＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝，∴AF＝2BF，∵AB＝＝＝BF＝10，∴BF＝2，AF＝4，∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4﹣FO，∴（2）2+FO2＝（4﹣FO）2，解得FO＝，∴OD＝OB＝OA＝4﹣＝，∵OB＝OD，